Vektorrechnung in Indexnotation (Einstein‘sche Summenkonvention)

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Helmuts Kochrezept Nummer 4:

Vektorrechnung in Indexnotation (Einstein‘sche Summenkonvention)

(Version 3, 14.03.2019)

Dieses „Kochrezept“ erklärt Dir, wie du Vektorrechnungen in die Indexnotation gemäß Einstein‘scher Summen- konvention umwandelst, in dieser Indexnotation rechnest, und das Endergebnis wieder in Indexschreibweise zurückverwandelst. Dabei wird hier von einer euklidischen Metrik ausgegangen und nicht zwischen ko- und kontravarianten Indizes unterschieden. Weiters ist zu beachten, dass in dieser Erklärung nur Skalare und Vekto- ren, aber (mit Ausnahme der Erwähnung des Vektorgradienten) keine Tensoren höherer Stufe auftauchen.

1 Allgemeines

1.1 Grundlegendes

In herkömmlicher Vektorschreibweise schreibt man einen Vektor mit n Komponenten folgendermaßen an:

𝑥⃗ = ( 𝑥1

… 𝑥𝑛

) (1)

In Indexnotation schreibt man stattdessen einfach nur 𝑥𝑖, wobei der Index 𝑖 für das i-te Element des Vektors 𝑥⃗

steht:

(𝑥⃗)_𝑖= 𝑥_𝑖 (2)

Diese Schreibweise meint: Wenn du für i den Wert 1 einsetzt, dann bekommst du aus deiner Rechnung genau die erste Vektorkomponente, wenn du 2 einsetzt, die zweite, etc. Wenn man 𝑥𝑖 schreibt, repräsentiert dies im Allgemeinen den gesamten Vektor 𝑥⃗.

Statt 𝑖 kann natürlich auch ein anderer Buchstabe als Platzhalter verwendet werden. Eine Variable mit einem Index repräsentiert also einen Vektor.

1.2 Summenkonvention

Wenn in einem Produktterm derselbe Index genau zweimal vorkommt („abgesättigt ist“), wird darüber summiert, z.B:

𝑎_𝑖𝑥_𝑖= ∑ 𝑎_𝑖𝑥_𝑖

𝑛 𝑖=1

= 𝑎₁𝑥₁+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 (3)

Das obige Beispiel entspricht dem inneren Produkt zweier Vektoren.

(𝑎⃗ ∙ 𝑥⃗)_𝑖= 𝑎𝑖𝑥𝑖 (4)

Zwei Variablen mit demselben Index im selben Produktterm repräsentieren also ein Vektorprodukt und somit einen Skalar.

Regeln:

 In einem Produktterm darf derselbe Index niemals mehr als zweimal auftauchen

 Auch ein Bruch ist ein Produktterm!

 Schreibe als Anfänger vielleicht nicht 𝑥_𝑖², sondern 𝑥_𝑖𝑥_𝑖, damit du erkennst, dass über 𝑖 summiert wird.

 √𝑥𝑖𝑥𝑖 bedeutet√∑𝑛 𝑥𝑖𝑥𝑖

𝑖=1 , nicht ∑𝑛 √𝑥𝑖𝑥𝑖 𝑖=1

 Die Reihenfolge der Variablen in einem Produktterm spielt keine Rolle, z.B. 𝑎_𝑖𝑏_𝑖𝑐_𝑗= 𝑐_𝑗𝑎_𝑖𝑏_𝑖

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1.3 Freier Index und abgesättigte Indizes

Gibt es in einem Produktterm ausschließlich „doppelte“ (sogenannte „abgesättigte“) Indizes, dann repräsen- tiert dieser Term einen skalaren Ausdruck. Beispiel: 𝑎_𝑖𝑏_𝑖𝑐_𝑗𝑑_𝑗. Es müssen dann aber in allen Produkttermen die in einer Gleichung additiv verknüpft sind, ausschließlich abgesättigte Indizes auftauchen (eine Addition von Vektor und Skalar ist ja nicht möglich).

Umgekehrt: Gibt es in einem Produktterm einen „freien“ Index (also einen Index, der nur einmal vorkommt), dann repräsentiert dieser Produktterm einen Vektor. Die linke und die rechte Seite der Gleichung, sowie alle vorkommenden Terme müssen denselben freien Index haben.

Richtig:

𝑥𝑗 = 𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑗+ 𝑏𝑘𝑣𝑘𝑣𝑗 (Vektor) (5)

𝛼 = 𝑎_𝑖𝑢_𝑖+ 𝑏_𝑗𝑣_𝑗 (Skalar) (6)

Falsch:

𝑥𝑗 = 𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑗+ 𝑏𝑖𝑣𝑖𝑣𝑘 (7)

𝑥_𝑗= 𝑎_𝑖𝑢_𝑖+ 𝑏_𝑖𝑣_𝑖𝑣_𝑗 (8)

𝛼 = 𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖+ 𝑏𝑖𝑣𝑖𝑣𝑗 (9)

 Fehler bei (7): Der freie Index 𝑘 rechts passt nicht zum freien Index 𝑗 auf der linken Seite der Glei- chung.

 Fehler bei (8): Auf der linken Seite der Gleichung steht ein Vektor (freier Index 𝑗), aber der Term 𝑎𝑖𝑢𝑖

ist ein Skalar.

 Fehler bei (9): Der Term 𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖 hat dreimal denselben Index, und außerdem steht auf der linken Seite der Gleichung ein Skalar, und der rechte Ausdruck 𝑏_𝑖𝑣_𝑖𝑣_𝑗 mit freiem Index 𝑗 repräsentiert einen Vek- tor.

2 Besondere Symbole 2.1 Kronecker-Delta

𝛿𝑖𝑗 = {1, 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑖 = 𝑗

0, 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 (10)

2.2 Levi-Civita-Symbol

𝜀_{𝑖𝑗𝑘…}= {

1, 𝑤𝑒𝑛𝑛 (𝑖𝑗𝑘 … ) 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑜𝑛 (123 … ) 𝑖𝑠𝑡

−1, 𝑤𝑒𝑛𝑛 (𝑖𝑗𝑘 … ) 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑜𝑛 (123 … ) 𝑖𝑠𝑡 0 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑖. 𝑒. 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑧𝑤𝑒𝑖 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ 𝑠𝑖𝑛𝑑)

(11)

Beispiele:

 𝜀₁₂₃= 1 (lt. Definition)

 𝜀₁₃₂= −1 (weil eine Permutation notwendig ist: 𝜀₁₂₃→ 𝜀₁₃₂)

 𝜀₃₁₂= 1 (weil zwei Permutationen notwendig sind: 𝜀₁₂₃→ 𝜀₁₃₂→ 𝜀₃₁₂)

 𝜀122= 0 (weil der Index 2 doppelt vorkommt)

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2.3 Ableitung

∇⃗⃗⃗_𝑖= 𝜕𝑖≝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

(12) Anmerkung: Per Konvention wirkt der Differentialoperator nur auf das Objekt rechts davon. Daher: Jedenfalls Klammerung verwenden, wenn der Operator auf mehrere Objekte wirkt, und am besten auch sonst zur Über- sichtlichkeit. Zum Beispiel lautet die Produktregel:

𝜕_𝑖(𝑥_𝑖𝑥_𝑗) = (𝜕_𝑖𝑥_𝑖)𝑥_𝑗+ 𝑥_𝑖(𝜕_𝑖𝑥_𝑗) ≡ 𝜕_𝑖𝑥_𝑖𝑥_𝑗+ 𝑥_𝑖𝜕_𝑖𝑥_𝑗 (13)

2.4 Indexnotation bei Anwendung der Kettenregel

Vektorschreibweise äquivalente Indexschreibweise Freier Index

𝛻⃗⃗ 𝑓(𝑔(𝑥⃗)) =𝜕𝑓

𝜕𝑔∇⃗⃗⃗𝑔(𝑥⃗) 𝜕𝑖𝑓(𝑔(𝑥𝑚)) = 𝑓^′(𝑔) 𝜕_𝑖𝑔 𝑖

𝜕

𝜕𝑡𝑣⃗(𝑤⃗⃗⃗(𝑡)) = 𝐷𝑣⃗(𝑤⏟ ⃗⃗⃗)

𝐹𝑟é𝑐ℎ𝑒𝑡−

𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔

∙ 𝑤⃗⃗⃗̇(𝑡) 𝜕_𝑡𝑣_𝑖(𝑤_𝑚(𝑡)) = 𝜕_𝑗𝑣_𝑖𝑤̇_𝑗(𝑡) 𝑖

3 Konvertierung zwischen Vektor- und Indexschreibweise

Regel Objekt/Operation Vektorschreibweise äquivalente Indexschreibweise Freier Index

(a) Vektor 𝑥⃗ 𝑥_𝑖 𝑖

(b) Skalarprodukt 𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ 𝑥𝑖𝑦𝑖 -

(c) Betragsquadrat ‖𝑥⃗‖²= 𝑥⃗ ∙ 𝑥⃗ 𝑥𝑖𝑥𝑖 -

(d) Vektorlänge ‖𝑥⃗‖ = √𝑥⃗ ∙ 𝑥⃗ √𝑥𝑖𝑥_𝑖 -

(e) Gradient (skalar) ∇⃗⃗⃗𝑓 𝜕𝑖𝑓 𝑖

(f) Divergenz ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ 𝜕𝑖𝑣𝑖 -

(g) Kreuzprodukt x⃗⃗ × 𝑦⃗ 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑗𝑦_𝑘 𝑖

(h) Rotation ∇⃗⃗⃗ × 𝑥⃗ 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜕𝑗𝑥𝑘 𝑖

(i) Gradient (vektoriell) grad(𝑣⃗) = ∇⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣⃗ 𝜕𝑗𝑣𝑖 𝑗, 𝑖

(j) Laplaceoperator (skalar) ∇⃗⃗⃗²𝑓 = ∇⃗⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗⃗𝑓) 𝜕𝑖𝜕𝑖𝑓 𝑖

(k) Laplaceoperator

(vektoriell) ∇⃗⃗⃗²𝑣⃗ = (

∇⃗⃗⃗²𝑣₁

∇⃗⃗⃗²𝑣2

∇⃗⃗⃗²𝑣₃

) 𝜕_𝑗𝜕_𝑗𝑣_𝑖 𝑖

Anmerkung zu Punkt (i) (vektorieller Gradient): Das Ergebnis dieser Operation ist (in herkömmlicher Vektorno- tation) eine Matrix. Der Index 𝑗 repräsentiert die Zeilen, und der Index 𝑖 die Spalten der Matrix.

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4 Rechenregeln und Umformungen

𝛿𝑖𝑗= 𝛿𝑗𝑖 (14)

𝛿𝑖𝑖= 𝑛 (15)

𝛿𝑖𝑗𝛿𝑗𝑘= 𝛿𝑖𝑘 (16)

𝛿𝑖𝑗𝑎𝑖= 𝑎𝑗 (17)

𝛿_𝑖𝑗𝑎_𝑗= 𝑎_𝑖 (18)

𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜀_𝑘𝑙𝑚 = det (𝛿_𝑖𝑙 𝛿_𝑖𝑚

𝛿𝑗𝑙 𝛿𝑗𝑚) = 𝛿_𝑖𝑙𝛿_𝑗𝑚− 𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙 (19)

𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑖𝑗𝑙= 2𝛿𝑘𝑙 (20)

𝜀_𝑖𝑗𝜀_𝑖𝑗 = 2!; 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜀_𝑖𝑗𝑘= 3!; 𝜀_{𝑖𝑗𝑘𝑙}𝜀_{𝑖𝑗𝑘𝑙} = 4!, … (21) 𝜀𝑖𝑗𝑘𝛿𝑖𝑗 = 0; 𝜀𝑖𝑗𝑘𝛿𝑖𝑘= 0; 𝜀𝑖𝑗𝑘𝛿𝑗𝑘= 0 (22)

𝜕_𝑖𝑥_𝑗= 𝛿_𝑖𝑗 (23)

𝜕𝑖𝑥𝑖= 𝛿𝑖𝑖 = 𝑛 (24)

Anmerkungen zu Rechenregel (19):

 Bei abweichender Indexbenennung kann man (wenn es einem dann leichter fällt) natürlich die Indizes zur Übersichtlichkeit entsprechend umbenennen (aber dann selbstverständlich in der ganzen Glei- chung)

 Bei abweichender Indexreihenfolge kann man die Indizes unter Berücksichtigung von Regel (11) solan- ge permutieren, bis man auf die Darstellung (19) kommt.

Anmerkungen zu den Rechenregeln (15) und (24):

 Der Buchstabe 𝑛 steht für die Anzahl der Dimensionen (daher ist im Allgemein 𝑛 = 3).

5 Strategie

Hier eine kleine Strategie zur Umformung und Rechnung:

1. Betrachte zunächst die gegebene Gleichung in Vektorschreibweise. Welche Teile stellen Skalare dar?

Vektorprodukte oder Gradienten sind zum Beispiel Skalare. Welche Teile sind vektorwertig? Ist der Gesamtausdruck ein Vektor oder Skalar?

2. Wandle nun mit Hilfe der Regeln aus Kapitel 3 den Ausdruck um. Gehe dabei Schrittweise vor, und weise den freien Index dem Teilausdruck zu, der den Gesamtausdruck zum Vektor macht.

Beispiel: Gegeben Sei z.B. der Ausdruck (25)

𝑣⃗ = (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗)𝑐⃗ (25)

(𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) ist Skalar, erst durch 𝑐⃗ wird der Gesamtausdruck wieder vektoriell. Vergeben wir mal den freien Index, und nennen wir ihn 𝑖.

(𝑣⃗)_𝑖= (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗)(𝑐⃗)_𝑖 (26)

In Indexschreibweise:

𝑣_𝑖= (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗)𝑐_𝑖 (27)

(5)

© Helmut Hörner, 2018-2019 - 5 - www.goldsilberglitzer.at Den Vektor 𝑣⃗ wandeln wir mittels Regel (a) aus Kapitel 3, und das Skalarprodukt 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ mittels Regel (b) aus Kapitel 3 um, wobei wir darauf achten, dass wir den Index 𝑖 bereits verwendet haben:

𝑣_𝑖= 𝑎_𝑗𝑏_𝑗𝑐_𝑖 (28)

3. Die umgewandelte Gleichung kann man nun mit Hilfe der Rechenregeln aus Kapitel 4 umformen. Oft versucht man, zuerst mit Hilfe der Regeln (19), (20), (21) und (22) die Levi-Civita-Symbole entweder loszuwerden, oder in Delta-Symbole umzuwandeln, welche man dann mittels der Regeln (14), (15), (16), (17) und (18) mit den Variablen „kontrahiert“.

4. Bei Ableitungen beachtet man streng die Produkt- oder Quotientenregel. Wichtig: Auf die Klamme- rung, die anzeigt, worauf ein bestimmter Differenzialoperator wirkt, nicht vergessen! Dann Regeln (23) und (24) anwenden.

5. Wenn beim Ausmultiplizieren von Klammern ein Index mehr als zweimal vorkommt, auf jeden Fall neue Indexbezeichnungen vergeben.

6. Nicht vergessen: In einem Produktterm können die Variablen beliebig angeordnet werden. 𝑎𝑗𝑏𝑗𝑐𝑖 ist dasselbe wie 𝑎_𝑗𝑐_𝑖𝑏_𝑗. Beides repräsentiert den vektoriellen Ausdruck (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗)𝑐⃗.

7. Mit Hilfe der Regeln aus Kapitel 3 kann die Gleichung wieder in Vektorschreibweise zurückverwandelt werden.

6 Beispiel

Die folgende Gleichung ist umzuformen (wobei 𝑞⃗ ein konstanter Vektor ist):

𝑣⃗ = ∇⃗⃗⃗ ×𝑞⃗ × 𝑥⃗

‖𝑥⃗‖ (29)

Offensichtlich steht links und rechts vom Gleichheitszeichen ein Vektor. Wir vergeben den freien Index 𝑖, und verwenden Regel (h) aus Kapitel 3, um das erste Kreuzprodukt umzuwandeln:

𝑣_𝑖= 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜕_𝑗(𝑞⃗ × 𝑥⃗

‖𝑥⃗‖)

𝑘

(30) Weiter geht es mit dem Kreuzprodukt über dem Bruchstrich. Hier ist der für sich genommen freie Index des Teilausdrucks 𝑞⃗ × 𝑥⃗ (der im Gesamtterm wegen 𝜀_𝑖𝑗𝑘 nicht mehr frei ist) gemäß Gleichung (30) bereits mit 𝑘 festgelegt:

𝑣𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜕𝑗

𝜀_𝑘𝑙𝑚𝑞_𝑙𝑥_𝑚

‖𝑥⃗‖ (31)

Schließlich können wir noch ‖𝑥⃗‖ mittels Regel (d) aus Kapitel 3 ersetzen, wobei wir beachten, dass die Indizes 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 und 𝑚 bereits vergeben sind:

𝑣𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜕𝑗

𝜀_𝑘𝑙𝑚𝑞_𝑙𝑥_𝑚

√𝑥𝑛𝑥_𝑛 (32)

𝜀𝑘𝑙𝑚 und 𝑞𝑖 sind konstant. Wir können sie daher vor den Differenzialoperator 𝜕𝑗 ziehen. Außerdem können wir

1

√𝑥_𝑛𝑥_𝑛 als (𝑥_𝑛𝑥𝑛)^−1/2 ausdrücken:

𝑣𝑖= 𝑞𝑙𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑘𝑙𝑚𝜕𝑗[𝑥𝑚(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²] (33) Wir wenden die Produktregel an:

𝑣𝑖= 𝑞𝑙𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑘𝑙𝑚[𝜕𝑗(𝑥_𝑚)(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²+ 𝑥𝑚𝜕𝑗(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²] (34) Nach Regel (23) ist 𝜕𝑗(𝑥_𝑚) = 𝛿_𝑗𝑚

𝑣𝑖= 𝑞𝑙𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑘𝑙𝑚[𝛿𝑗𝑚(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²+ 𝑥𝑚𝜕𝑗(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²] (35)

(6)

Wir wenden die Kettenregel an:

𝜕_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻¹²= −1

2(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻³²𝜕_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛) (36) Auf 𝜕_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛) wenden wir die Produktregel an:

𝜕_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻¹²= −1

2(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻³²[𝜕_𝑗(𝑥_𝑛)𝑥_𝑛+ 𝑥_𝑛𝜕_𝑗(𝑥_𝑛)] (37) Natürlich ist 𝜕𝑗(𝑥_𝑛)𝑥_𝑛+ 𝑥𝑛𝜕𝑗(𝑥_𝑛) = 2𝑥_𝑛𝜕𝑗𝑥𝑛:

𝜕𝑗(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²= −1

2(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻³²2𝑥𝑛𝜕𝑗𝑥𝑛 (38) Nach Regel (23) ist 𝜕𝑗𝑥𝑛= 𝛿𝑗𝑛. Außerdem kürzt sich ½ gegen 2:

𝜕𝑗(𝑥_𝑛𝑥𝑛)⁻¹²= −(𝑥𝑛𝑥𝑛)⁻³²𝑥𝑛𝛿𝑗𝑛 (39) Nach Regel (18) ist 𝑥_𝑛𝛿_𝑗𝑛= 𝑥_𝑗:

𝜕_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻¹²= −𝑥_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻³² (40) Ende der Nebenrechnung

Wir setzen nun das Ergebnis der Nebenrechnung (40) in Gleichung (35) ein:

𝑣_𝑖= 𝑞_𝑙𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜀_𝑘𝑙𝑚[𝛿_𝑗𝑚(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻¹²− 𝑥_𝑚𝑥_𝑗(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)⁻³²] (41) Das lässt sich natürlich auch so schreiben:

𝑣𝑖= 𝑞𝑙𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑘𝑙𝑚[ 𝛿𝑗𝑚

√𝑥𝑛𝑥_𝑛− 𝑥𝑚𝑥𝑗

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2] (42)

Wir multiplizieren 𝑞𝑙 in die Klammer hinein:

𝑣_𝑖= 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜀_𝑘𝑙𝑚[𝑞_𝑙𝛿_𝑗𝑚

√𝑥𝑛𝑥_𝑛− 𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2] (43)

Wir wandeln 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑘𝑙𝑚 mittels Regel (19) um:

𝑣_𝑖= (𝛿_𝑖𝑙𝛿_𝑗𝑚− 𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙) [𝑞𝑙𝛿𝑗𝑚

√𝑥𝑛𝑥𝑛

− 𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2] (44)

Ausmultiplizieren ergibt:

𝑣_𝑖=𝑞_𝑙𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑖𝑙𝛿_𝑗𝑚

√𝑥𝑛𝑥_𝑛 −𝑞_𝑙𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙

√𝑥𝑛𝑥_𝑛 −𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑙𝛿_𝑗𝑚 (𝑥_𝑛𝑥_𝑛)³²

+𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (45)

Im Zähler des ersten Bruchs steht 𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑗𝑚. Gemäß Regel (14) ist das gleich 𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑚𝑗. Nach Regel (16) kontrahiert das zu 𝛿𝑗𝑗, und das ist gemäß Regel (15) gleich der Dimension 𝑛 (hier: 3). Also ist 𝛿𝑗𝑚𝛿𝑗𝑚= 𝛿𝑗𝑗= 3, und somit:

𝑣_𝑖= 3𝑞𝑙𝛿𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥𝑛

−𝑞𝑙𝛿𝑗𝑚𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑙

√𝑥𝑛𝑥𝑛

−𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑚

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 +𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (46)

Im Zähler des zweiten Bruchs steht 𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑖𝑚. Gemäß Regel (14) ist das dasselbe wie 𝛿_𝑗𝑚𝛿_𝑚𝑖. Nach Regel (16) kontrahiert das zu 𝛿𝑗𝑖:

√𝑥𝑛𝑥𝑛

−𝑞𝑙𝛿𝑗𝑙𝛿𝑗𝑖

√𝑥𝑛𝑥𝑛

−𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑚

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2 +𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2 (47)

(7)

√𝑥𝑛𝑥𝑛

− 𝑞𝑙𝛿𝑙𝑖

√𝑥𝑛𝑥𝑛

−𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑙𝛿_𝑗𝑚

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 +𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (48)

Gemäß Regel (17) kann man im Zähler des dritten Bruchs folgende vereinfachen: 𝑥_𝑚𝛿_𝑗𝑚= 𝑥_𝑗. 𝑣𝑖= 3𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥_𝑛− 𝑞_𝑙𝛿_𝑙𝑖

√𝑥𝑛𝑥_𝑛− 𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙𝑥_𝑗𝑥_𝑗

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2+𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2 (49)

Nun ist _(𝑥^𝑥^𝑗^𝑥^𝑗

𝑛𝑥_𝑛)^3/2 im dritten Bruch aber nichts anderes als ¹

√𝑥_𝑛𝑥_𝑛: 𝑣_𝑖= 3𝑞𝑙𝛿𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥𝑛

− 𝑞𝑙𝛿𝑙𝑖

√𝑥𝑛𝑥𝑛

− 𝑞𝑙𝛿𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥𝑛

+𝑞𝑙𝑥𝑚𝑥𝑗𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (50)

Das 𝛿_𝑙𝑖 im zweiten Bruch ist gemäß Regel (14) dasselbe wie 𝛿_𝑖𝑙: 𝑣𝑖= 3𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥_𝑛− 𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙

√𝑥𝑛𝑥_𝑛+𝑞_𝑙𝑥_𝑚𝑥_𝑗𝛿_𝑖𝑚𝛿_𝑗𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (51)

Die ersten drei Brüche lassen sich nun zusammenfasen:

𝑣𝑖= 𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (52)

Gemäß Regel (17) kann man den Zähler des ersten Bruchs wie folgt weiter vereinfachen: 𝑞_𝑙𝛿_𝑖𝑙= 𝑞_𝑖 𝑣_𝑖= 𝑞_𝑖

(𝑥_𝑛𝑥_𝑛)^3/2 (53)

Im Zähler des zweiten verbleibenden Bruchs lässt sich gemäß Regel (17) folgendes vereinfachen: 𝑥_𝑚𝛿_𝑖𝑚= 𝑥_𝑖 und 𝑥_𝑗𝛿_𝑗𝑙= 𝑥_𝑙:

𝑣𝑖= 𝑞_𝑖

√𝑥𝑛𝑥_𝑛+ (𝑞_𝑙𝑥_𝑙)𝑥_𝑖

(𝑥_𝑛𝑥𝑛)^3/2 (54)

Dies lässt sich unter Verwendung der Regeln (a), (b) und (d) in Vektorschreibweise zurückverwandeln:

𝑣⃗ = 𝑞⃗

‖𝑥⃗‖+(𝑞⃗ ∙ 𝑥⃗)𝑥⃗

‖𝑥⃗‖³ (55)