Oberfl¨ achenbestimmung
Sei F eine Fl¨ ache im R
3, dargestellt durch z = f (x, y) ¨ uber B (Pro- jektion von F in die xy-Ebene). Dabei sei f (x, y) stetig differenzierbar auf B .
Der ”tangentielle Dachziegel” ¨ uber △ x
i△ y
jist das St¨ uck der Tangen- tialebene in (ξ
i, η
j, f (ξ
i, η
j)) ¨ uber △ x
i△ y
j.
Dies stellt eine Approximation des Fl¨ acheninhalts des Fl¨ achenst¨ ucks ¨ uber
△ x
i△ y
jdar.
Eine N¨ aherungsformel f¨ ur die Oberfl¨ ache von F ergibt sich somit durch O(F ) = ∑
i
∑
j
Fl¨ acheninhalt des ij-ten ”Dachziegels”.
Es gilt : △ x
i△ y
j= △ F
ijcos γ . Ist ⃗ n der Normaleneinheitsvektor der Tangentialebene, dann ist cos γ = (⃗ n, ⃗ e
3) .
1
Die Tangentialebene z = f (ξ
i, η
j) +
∂f∂x(ξ
i, η
j)(x − ξ
i) +
∂f∂y(ξ
i, η
j)(y − η
j) hat als Normaleneinheitsvektor
⃗
n = √
11+fx2+fy2
−
∂f∂x−
∂f∂y1
(ξi,ηj)
.
Somit ist
∑
i
∑
j
△ F
ij= ∑
i
∑
j
△xi△yj
cosγ
= ∑
i
∑
j
△xi△yj
(⃗n,⃗e3)
=
= ∑
i
∑
j
√ 1 +
[
∂f∂x
(ξ
i, η
j) ]
2+ [
∂f∂y
(ξ
i, η
j) ]
2△ x
i△ y
j.
Der letzte Ausdruck stellt die Riemannsche Summe S
P(h; ξ, η) der - weil f stetig differenzierbar ist - stetigen Funktion h =
√
1 + f
x2+ f
y2dar.
Also gilt
S
P(h; ξ, η) →
|
P(n)|
→0∫∫
B
h(x, y)dxdy = ∫∫
B
√
1 + f
x2+ f
y2dxdy = O(F ) .
Man beachte, dass
√
1 + f
x2+ f
y2=
cos1γ.
Beispiel. Man bestimme den Fl¨ acheninhalt jenes St¨ ucks der Sattelfl¨ ache z = xy , das innerhalb des Zylinders x
2+ y
2= 1 liegt.
f (x, y) = xy , B : x
2+ y
2= 1 O = ∫∫
x2+y261
√ 1 + y
2+ x
2dxdy =
∫
1−1
dx
√1
∫
−x2−√ 1−x2
