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Modellieren von Wachstum – Lösung
1. a)
b) 0: 15 = − ∙ (I) = − 15 1: 24 = − ∙ (II) ∙ = − 24 2: 31,2 = − ∙ (III) ∙ = − 31,2 (III)/(II): =,
(II)/(I): =
gleichsetzen: .
=
= 60
einsetzen: =
= 0,8
= − 15 = 45 Funktion: = !" − #$ ∙ ", %
c) Der Parameter b steht für die anfängliche Temperaturdifferenz, s für die Temperatur im Heizraum und a für die Zerfallskonstante.
2. a) Exponentielles Wachstum: &' = &0 ∙ ( Mit Start bei 1997: &' = 10000 ∙ 3(
b) 1984 ' = −13: &−13 = 10000 ∙ 3 ≈ 0,0063. Dies entspricht 63*
c) 2012 ' = 15: &15 = 10000 ∙ 3≈ 1,43 ∙ 10. (Das 2,8-fache der Erdoberfläche) d) 20000 = 10000 ∙ 3(
2 = 3(, also +,-2 = 0,63
Die Verdoppelungszeit sind 0,63 Jahre, also etwa 230 Tage.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 20 30 40 50 60
t T
O
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3. a) Die Temperaturdifferenz zur Außentemperatur unterliegt einem exponentiellen Zerfall.
Somit handelt es sich um eine Exponentialfunktion, die um den entsprechenden Betrag s nach oben verschoben ist. Nachdem die Temperaturdifferenz dazu addiert werden muss, folgt, dass es sich um eine Summe handelt.
b) 5: 132,3 = + ∙ (I) ∙ = 132,3 − 10: 107,8 = + ∙ (II) ∙ = 107,8 − 15: 88,9 = + ∙ (III) ∙ = 88,9 − (III)/(II): = 11,2
3,1
(II)/(I): = 3,1
,
gleichsetzen: 3,1
, = 11,2
3,1 = 24,0 einsetzen: = 11,2
3,1 = 0,95
= ,
45 = 140,0
Funktion: = 6# + 7#" ∙ ", 8$
c) Nach einer halben Stunde: ' = 30: 9" = 6# + 7#" ∙ ", 8$9" = 54,0.
Nach einer halben Stunde hat die Pizza noch eine Temperatur von 54° Celsius.
4. a) :
:= 0,61. :
:= 0,61. D.h. es handelt sich um einen exponentiellen Zerfall, da der Quotient zweier aufeinander folgender Werte gleich ist.
b) ;' = 1 ∙ 0,61(
c) 0,5 ∙ ; = ;∙ 0,61(
0,5 = 0,61( +,-,0,5 ≈ 1,4
Die Halbwertsdicke von Blei beträgt etwa 1,4<*.
d) 0,1 ∙ ; = ;∙ 0,61(
0,1 = 0,61( +,-,0,1 ≈ 4,7
Die Zehntelwertsdicke von Blei beträgt etwa 4,7<*.
