Vorkurs Mathematik
Dr. Regula Krapf
Universität Koblenz-Landau, Campus Koblenz
Wintersemester 2019/20
Bestandteile der Veranstaltung
Herzlich willkommen!
Vorlesung:10:00-12:00 im E011
Übungen:13:00-15:30 in verschiedenen Räumen
Die Einteilung in Übungsgruppen erfolgt am Ende der 1. Vorlesung.
Materialien: https://userpages.uni-koblenz.de/~krapf/
unter Wintersemester 2019 → Vorkurs
Ziele und Aufbau des Vorkurses
Ziele: Erleichterung des Übergangs von Schule zu Hochschule durch...
Thematischer Einblick in die Hochschulmathematik Einblick in die Lehr- und Lernformen an der Hochschule Kennenlernen der Methoden der Mathematik
Vertrautheit mit der mathematischen Fachsprache Gruppenarbeit und Kennenlernen von Kommiliton/innen
Themen
1 Logik
2 Beweismethoden
3 Mengenlehre
4 Relationen und Funktionen
5 Folgen und ihre Konvergenz
6 Lineare Gleichungssysteme
7 Grundbegriffe der linearen Algebra
Einleitung
Was ist Mathematik?
eine Hilfswissenschaft bzw. ein Werkzeug für die Natur- und Ingenieurwissenschaften?
Rechnen und Algorithmen?
eine Form der Kunst?
die Wissenschaft von Zahlen und Formen?
die Wissenschaft von Beweisen?
eine Sprache?
Einleitung
Was ist Mathematik?
Gemäß Wikipedia: (Altgriechischµαθηµατ ικη τ εχνη die Kunst des Lernens‘, ‚zum Lernen gehörig‘) ist eine Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition;
heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.
1. Logik
Logikrätsel
Aufgabe 1. Auf der Logikinsel gibt es zwei Typen von Menschen:
Ritter: sagen immer die Wahrheit Schurken: lügen immer.
Sie sind nun auf der Logikinsel zu Besuch und treffen zwei Inselbewohner Lo und Gik.
Lo sagt: „Wir gehören dem gleichen Typ an.“
Gik sagt: „Lo ist ein Schurke.“
Welchem Typ gehören die beiden Inselbewohner an?
Aussagen
Definition
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem man sinnvoll und eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist. Jede Aussage hat also genau einen Wahrheitswert, entweder wahr oderfalsch.
Aufgabe 2. Bei welchen der folgenden Sätzen handelt es sich um eine Aussage? Welchen Wahrheitswert haben die Aussagen?
1 23 ist eine Primzahl.
2
√2 lässt sich als Bruch darstellen.
3 Halt die Klappe!
4 Es gibt Marsmenschen, die dreizehn Beine haben.
5 x2+4x +2=0.
6 Dieser Satz ist falsch.
Aussagenlogik
Aussagen können durch sogenannteJunktoren verknüpft werden und lassen sich durch Wahrheitstafelndarstellen.
Definition
SeienA,B Aussagen.
DieNegation ¬A(“nicht A”) ist genau dann wahr, wenn Afalsch ist.
DieKonjunktion A∧B (“Aund B”) ist genau dann wahr, wennA wahr ist und B wahr ist.
DieDisjunktion A∨B (“A oderB”) ist genau dann wahr, wennA wahr ist oderB wahr ist oder beide wahr sind.
Die Negation
Aufgabe 3. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
1 Mathematik ist spannend und einfach.
2 Mathematik ist spannend oder einfach.
Definition
Zwei Aussagen Aund B sindlogisch äquivalent, falls sie dieselbe Wahrheitstafel haben. In diesem Fall schreiben wir A≡B.
Beispiel
Für alle AussagenA undB gilt
¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B und ¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B.
Aussagenlogik
Aufgabe 4. Vergleichen Sie die den Wahrheitswert der beiden Aussagen (1) Wenn es regnet, so ist der Boden nass.
(2) Wenn es kalt ist, so schneit es.
und begründen Sie dies.
Aussagenlogik
Definition
SeienA undB Aussagen.
DieImplikation A⇒B („ausAfolgt B” oder „Aimpliziert B“) ist immer wahr, außer wennAwahr ist und B falsch ist.
DieÄquivalenz A⇔B („Agilt genau dann, wennB gilt“) ist genau dann wahr, wennA⇒B und B⇒A wahr sind.
Die ÄquivalenzA⇔B wird oft als Abkürzung für A⇒B∧B ⇒A eingeführt.
Logikrätsel
Auf der Logikinsel gibt es zwei Typen von Menschen:
Ritter: sagen immer die Wahrheit Schurken: lügen immer.
Sie sind nun auf der Logikinsel zu Besuch und treffen zwei Inselbewohner Lo und Gik.
Lo sagt: “Wir gehören dem gleichen Typ an.”
Gik sagt: “Lo ist ein Schurke.”
Welchem Typ gehören die beiden Inselbewohner an?
Die Implikation
Aufgabe 5. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
1 1=1⇒2=2
2 1=2⇒2=5
3 1=1⇒2=3
4 1=2⇒3=3
Die Implikation
Aufgabe 6. Welche der folgenden Aussagen sind logisch äquivalent?
1 Wenn es regnet, so ist der Boden nass.
2 Wenn der Boden nicht nass ist, so regnet es nicht.
3 Es regnet nicht, oder der Boden ist nass.
Tautologien und Kontradiktionen
Definition
Eine Aussage, die allgemeingültig ist, d.h. unabhängig vom Wahrheitswert der aussagenlogischen Variablen immer wahr ist, nennt man Tautologie.
Eine Aussage, die für jede Belegung der aussagenlogischen Variablen falsch ist, wird als Kontradiktionbezeichnet.
Beispiel. Handelt es sich bei A∨ ¬A
A∧ ¬A
um eine Tautologie resp. Kontradiktion?
Merkregel:Bei einer Tautologie sind alle Einträge in der Wahrheitstafel
„w“, bei einer Kontradiktion sind alle Einträge „f“.
Tautologien
Aufgabe 7. Überlegen Sie intuitiv, ob es sich bei A∧ ¬B ⇒(B ⇒ ¬A)
um eine Tautologie handelt und begründen Sie dies anhand einer Wahrheitstafel.
A B ¬B A∧ ¬B ¬A B⇒ ¬A A∧ ¬B ⇒(B ⇒ ¬A)
w w
w f
f w
f f
Rechenregeln der Aussagenlogik
Es gelten folgende Rechenregeln für Aussagen A,B und C.
¬(¬A)≡A doppelte Negation
A∨ ¬Aist wahr Tertium non datur
A∧ ¬Aist falsch
A∧A≡A Idempotenz von ∧
A∨A≡A Idempotenz von ∨
A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C Assoziativität von ∧ A∨(B∨C)≡(A∨B)∨C Assoziativität von ∨ A∧B ≡B∧A Kommutativität von∧ A∨B ≡B∨A Kommutativität von∨ A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C) Distributivität von∧ bzgl.∨ A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) Distributivität von∨ bzgl.∧
¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B Regel von de Morgan für∧
¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B Regel von de Morgan für∨
Die Implikation
Aufgabe 8.
1 Erfüllt die Implikation ⇒das Kommutativgesetz?
2 Betrachten Sie den Ausdruck
0=1⇒2=2⇒3=5.
Setzen Sie Klammern auf zwei Arten und überlegen Sie, ob die so entstandenen Aussagen wahr oder falsch sind. Erfüllt die Implikation das Assoziativgesetz?
Aussageformen
Definition
Eine Aussageformist ein sprachliches Gebilde, das Variablen enthält und durch Ersetzen der Variablen durch konkrete (mathematische) Objekte (oft Zahlen) zu einer Aussage wird.
Beispiele für Aussageformen?
Quantoren
Definition
Sei E(x) eine Aussageform.
∃x :E(x)bezeichnet die Aussage “es gibt (mindestens) einx, so dass E(x)”.
∀x :E(x)bezeichnet die Aussage “für alle x giltE(x)”.
Das Symbol ∃nennt manExistenzquantor,∀ nennt manAllquantor.
Merkregel ?
Quantoren
Definition
Quantoren können auch auf eine bestimmte Menge von Objekten eingeschränkt werden: SeiM eine Menge undE(x) eine Aussageform.
Dann schreiben wir
∃x ∈M :E(x) für “es gibt einx in M, für dasE(x) gilt”
∀x ∈M :E(x) für “für jedes x in M gilt E(x)”.
Statt ∀x ∈M ∀y ∈M :E(x,y) bzw.∃x ∈M ∃y ∈M :E(x,y) schreibt man einfach ∀x,y :E(x,y)bzw. ∃x,y ∈M :E(x,y).
Quantoren
Aufgabe 9. Überlegen Sie, was die folgenden Aussagen bedeuten. Sind sie wahr oder falsch?
1 ∀x,y ∈R:x +y =y +x
2 ∃m∈N∀n∈N:n≤m
3 ∃m∈N∀n∈N:m≤n
4 ∀x ∈R∃y ∈R:y2−4x2=0
5 ∀x ∈R∃y ∈R: (x =y ⇒0=1).
Negierte Quantoren
Aufgabe 10. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
1 Alle Mathematiker sind verrückt.
2 Es gibteinen verrückten Mathematiker.
Aufgabe 10. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
1 Alle Mathematiker sind verrückt.
2 Es gibteinen verrückten Mathematiker.
Sei E(x) eine Aussageform. Es gelten folgende Rechenregeln für die Prädikatenlogik:
¬(∃x :E(x))≡ Negation des Existenzquantors
¬(∀x :E(x))≡ Negation des Allquantors
Aufgabe 10. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
1 Alle Mathematiker sind verrückt.
2 Es gibteinen verrückten Mathematiker.
Sei E(x) eine Aussageform. Es gelten folgende Rechenregeln für die Prädikatenlogik:
¬(∃x :E(x))≡ ∀x :¬E(x) Negation des Existenzquantors
¬(∀x :E(x))≡ Negation des Allquantors
Aufgabe 10. Wie lautet die Negation der folgenden Aussagen?
1 Alle Mathematiker sind verrückt.
2 Es gibteinen verrückten Mathematiker.
Sei E(x) eine Aussageform. Es gelten folgende Rechenregeln für die Prädikatenlogik:
¬(∃x :E(x))≡ ∀x :¬E(x) Negation des Existenzquantors
¬(∀x :E(x))≡ ∃x :¬E(x) Negation des Allquantors
Reihenfolge von Quantoren
Zu beachten: Die Reihenfolge von Quantoren spielt eine Rolle: Die Aussagen
(1) ∀x∃y :E(x,y) und (2) ∃y∀x :E(x,y)
bedeuten nicht dasselbe! Finden Sie Beispiele für Aussageformen E(x,y), für die (1) und (2) einen unterschiedlichen Wahrheitswert haben.
2. Beweismethoden
Beweise
Aufgabe 1. Überlegen Sie sich folgende zwei Fragen:
1 Was ist ein Beweis?
2 Was ist die Funktion von Beweisen?
Direkte Beweise
Direkte Beweise
Bei einemdirekten Beweis einer Aussage der FormA⇒B fängt man mit den Voraussetzungen Aan und folgert in (einfachen) Schritten daraus die zu beweisende Aussage B.
Dazu zeigt man oft Zwischenresultate, also
A⇒A1 ⇒A2⇒ · · · ⇒An⇒B.
Wir nehmen Aan, folgern daraus A1, dannA2,. . . , dannAn und daraus folgern wir B.
Aufgabe 2. Was erhält man, wenn man zwei gerade (ganze) Zahlen addiert? Versuchen Sie dies zu begründen.
Direkte Beweise
Definition
Eine Zahl a∈Zheißt
gerade :⇔ ∃k ∈Z:a=2k ungerade :⇔ ∃k∈Z:a=2k+1.
gerade
• • • •
• • • •
ungerade
• • • • •
• • • •
Direkte Beweise
Definition
Eine Zahl a∈Zheißt
gerade :⇔ ∃k ∈Z:a=2k ungerade :⇔ ∃k∈Z:a=2k+1.
Beispiel. Die Summe zweier geraden Zahlen ist gerade.
Aufgabe 3. Was können Sie über die Summe zweier ungeraden Zahlen feststellen? Formulieren Sie eine Behauptung und beweisen Sie diese.
Direkte Beweise
Die Eigenschaften „gerade“ und „ungerade“ lassen sich wie folgt verallgemeinern:
Definition
Eine Zahl a∈Zteilt eine Zahlb ∈Z:⇔ ∃k ∈Z:b=ak
Man sagt auch, dass a einTeiler vonb ist bzw.b einVielfaches vonaist.
Man schreibt dann aucha|b.
Beispiel
Für alle a,b,c ∈Zgilt:
a|b∧a|c ⇒a|b+c.
Kontrapositionsbeweise
Definition
DieKontraposition einer Aussage der FormA⇒B ist ¬B⇒ ¬A.
Zur Erinnerung: Es gilt
A⇒B ≡ ¬B⇒ ¬A.
Beispiel. Die Kontraposition von
Wenn es regnet, so ist der Boden nass.
ist
Wenn der Boden nicht nass ist, so regnet es nicht.
Kontrapositionsbeweise
Kontrapositionsbeweise
Bei einemKontrapositionsbeweis zeigt man eine ImplikationA⇒B, indem man sich zur Nutze macht, dass dies äquivalent zu ¬B⇒ ¬Aist. Man nimmt also an, dass die zu beweisende BehauptungB nicht gilt und beweist, dass dannA auch falsch ist.
Aufgabe 4. Geben Sie die Kontraposition der folgenden Aussage an, und beweisen Sie die Aussage mit einem Kontrapositionsbeweis.
Behauptung: Falls für eina∈Zdie Zahl a2 gerade ist, so ist auchagerade.
Aufgabe 5. Gilt 3|89731? Begründen Sie Ihre Antwort.
Definition
Eine natürliche Zahl n∈Nmit Ziffern akak−1. . .a0 lässt sich in Dezimaldarstellung darstellen durch
a0+10a1+100a2+. . .+10kak. DieQuersumme Q(n) ist dann definiert als
Q(n) :=a0+a1+a2+. . .+ak. Das Zeichen := steht für„per Definition gleich“.
Beispiel. Es gilt folgende Quersummenregel:
Für alle n∈Ngilt: Falls 3-Q(n), so folgt 3-n.
Widerspruchsbeweise
Widerspruchsbeweise
Bei einemWiderspruchsbeweis zeigt man eine BehauptungB, indem man annimmt, dass sie falsch ist, und daraus einen Widerspruch herleitet, d.h.
man folgert aus ¬B einen Widerspruch.
Nach dem selben Prinzip zeigt man eine ImplikationA⇒B, indem man aus A∧ ¬B einen Widerspruch herleitet.
Ein Widerspruch ist dabei von der Form C ∧ ¬C für eine beliebige Aussage C.
Widerspruchsbeweise
Definition
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahlx ∈R, die sich nicht als Bruch darstellen lässt, d.h. eine Element von R\Q(gesprochen „Rohne Q“).
Beispiele für irrationale Zahlen sind √
2, π und die Eulersche Zahl e.
Theorem Die Zahl √
2 ist irrational.
Aufgabe 6. Überlegen Sie sich, ob die folgenden Aussagen wahr sind und begründen Sie Ihre Antwort.
1 Die Summe zweier irrationalen Zahlen ist immer eine irrationale Zahl.
2 Die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist eine irrationale Zahl.
Widerlegen
Aufgabe 7. Überlegen Sie sich, wie man eine Aussage der Form∀x :E(x) widerlegen kann. Betrachten Sie dazu Ihre Lösung von Aufgabe 6 (1) oder überlegen Sie sich, wie Sie die Aussage „ jede ungerade Zahl ist eine Primzahl“ widerlegen würden.
Gegenbeispiele
Gegenbeweis durch Gegenbeispiel
Wenn man beweisen möchte, dass ∀x :E(x)nicht gilt, so genügt es ein x0 finden, sodass ¬E(x0) gilt; d.h um eine Allaussage zuwiderlegen, genügt es ein Gegenbeispiel anzugeben.
Dies folgt aus der Tatsache, dass die Aussage ¬∀x :E(x) äquivalent zur Aussage∃x :¬E(x) ist.
Beispiel. Ein häufiger Rechenfehler bei Schülern ist, dass sie Brüche addieren, indem sie Zähler und Nenner addieren, d.h.
a b + c
d = a+c b+d
rechnen. Diese Rechenregel ist im Allgemeinen falsch! Beweis?
Gegenbeispiele
Aufgabe 8. Finden Sie Gegenbeispiele zu den folgenden Aussagen:
1 ∀x,y ∈R:√
x+y =√ x +√
y
2 ∀a,b ∈N:ggT(a2b,ab2) =ab
3 ∀a,b,c ∈N:a|bc ⇒a|b∨a|c
Fallunterscheidung
Fallunterscheidung
ei einemBeweis durch Fallunterscheidung möchte man A∨B ⇒C folgern.
Dazu genügt es Folgendes zu zeigen:
1. Fall A⇒C, und 2. Fall B ⇒C.
Ein Spezialfall der Methode ist, zu verwenden, dass A∨ ¬Aimmer wahr ist (das sogenannteTertium non datur, oder Satz vom ausgeschlossenen Dritten). Dann kann man statt C auchA⇒C und¬A⇒C zeigen.
Im Allgemeinen können auch mehr als zwei Fälle auftreten: Um aus A1∨A2∨ · · · ∨An eine Aussage C zu folgern, muss man einzeln aus A1, A2,. . . ,An die AussageC folgern.
Beispiel. Wir zeigen, dass a2+afür jedesa∈Z gerade ist.
Fallunterscheidung
Fallunterscheidungen tauchen oft auf, wenn Beträge im Spiel sind. Zur Erinnerung:
Definition
Für x ∈Rdefiniert man denBetrag von x durch
|x|:=
(x, falls x ≥0,
−x, falls x <0.
Beispiel. Wir lösen dieBetragsungleichung
|2x −3|>7−x
Aufgabe 9. Überlegen Sie sich, welche Fälle Sie beim Lösen der Ungleichung
|x−3| ≤ |1−x|+2
Fallunterscheidung
Mit Hilfe der Fallunterscheidung kann man die sogenannte Dreiecksungleichung beweisen:
Beispiel. Für alle x,y ∈Rgilt|x +y| ≤ |x|+|y|.
Die Gauß-Summe
Frage.Was ist die Summe der ersten 100 Zahlen, d.h.
1+2+3+. . .+99+100= ?
Frage.Wie beweist man eine BehauptungB(n)für allenatürlichen Zahlen n∈N?
Vollständige Induktion
Vollständige Induktion
Um eine BehauptungB(n)für allen∈Nzu beweisen, geht man folgt vor:
1 Induktionsanfang Die Behauptung stimmt für n=0; das heißt,B(0)ist wahr.
2 WennB(0)bewiesen ist, zeigen wir
∀n∈N:B(n)⇒B(n+1).
Dazu treffen wir zuerst eine Annahme:
Induktionsannahme Wir nehmen an, dass für ein beliebiges, aber festes n∈Ndie BehauptungB(n)richtig ist.
Mit Hilfe dieser Annahme zeigen wirB(n+1):
Induktionsschluss Wir folgern ausB(n), dass auchB(n+1)wahr ist.
Statt bein=0 kann man auch bei einer beliebigen anderen natürlichen Zahl
Vollständige Induktion
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Aufgabe 10. Besprechen Sie mit Ihrem Nachbarn, wieso aus B(0)und
∀n∈N:B(n)⇒B(n+1) folgt, dass B(n) für jedesn∈Ngilt.
Vollständige Induktion
Beispiel. Wir zeigen mittels vollständiger Induktion:
B(n) : 4|5n+7 für alle n∈N.
Summen- und Produktzeichen
Definition (Summen- und Produktzeichen)
Sei (an) = (a0,a1,a2, . . .)eine Zahlenfolge. Man definiert
n
X
k=m
ak =am+am+1+. . .+an
n
Y
k=m
ak =am·am+1·. . .·an.
Dabei bezeichnet man
m alsuntere (Summations)Grenze n alsobere (Summations)Grenze k alsLaufindex.
Üblicherweise wählt man m=0 oderm=1.
Summen- und Produktzeichen
Definition
Sei (an) = (a0,a1,a2, . . .)eine Zahlenfolge. Man definiert
n
X
k=m
ak =am+am+1+. . .+an
n
Y
k=m
ak =am·am+1·. . .·an.
Beispiel. Berechnen Sie:
5
P
k=0 1 k+1 4
Q
k=1
2k
Summen- und Produktzeichen
Aufgabe 11.Seien(an)und(bn)zwei Zahlenfolgen sowiec ∈R. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für das Summenzeichen:
1
n
P
k=0
(ak+bk) =
n
P
k=0
ak+
n
P
k=0
bk
2
n
P
k=0
cak =c
n
P
k=0
ak.
Vollständige Induktion
Beispiel. Wir beweisen die Gaußsche Summenformel mit vollständiger Induktion, d.h. wir beweisen
B(n) :
n
X
k=1
k = n·(n+1)
2 fürn≥1.
Aufgabe 12. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: Für alle n∈N gilt
n
X
k=0
2k =2n+1−1.
Beweismethoden: Eine Zusammenfassung
Es gibt noch viele weitere Beweismethoden:
Beweis durch Einschüchterung:Beweis: „trivial“.
Beweis durch Auslassen:„Die Details bleiben als leichte Übungsaufgabe dem geneigten Leser überlassen.“
Kommunikative Beweismethode:„Weiß das vielleicht jemand von Ihnen?“
Beweis durch Beispiel:Der Dozent behandelt nur den Falln=2 und unterstellt dann, dass die Vorgehensweise für den allgemeinen Fall klar ist.
Beweis durch konfuse Lehrkörper:Der Dozent sagtA, schreibtB, meint dabeiC, rechnet weiter mitD, bekommtE heraus, aberF wäre richtig gewesen.
Beweis durch Pause:Kurz vor der Pause: „Diesen Satz beweise ich nach der Pause.“
Nach der Pause: „Wie wir vor der Pause bewiesen haben...“
Beweis durch rekursiven Querverweis:In QuelleAwird Satz 5 gefolgert aus Satz 3 der QuelleB, welcher seinerseits sofort aus Lemma 6.2 der QuelleC folgt, den man trivial aus Satz 5 der QuelleAerhält.
Beweis durch nicht-verfügbare Literatur:Der Dozent zitiert eine einfache Folgerung eines Theorems, welches problemlos nachgelesen werden kann und zwar
3. Mengenlehre
Mengen
Definition (Georg Cantor)
Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden die Elemente der Menge genannt.
Beispiele:
Die Menge aller Vorkursteilnehmer Die Menge Zaller ganzen Zahlen Dieleere Menge ∅
Mengen
Definition
SeienM,N Mengen. Man schreibt
x ∈M, fallsx ein Element vonM ist.
x ∈/ M, fallsx kein Element vonM ist.
M ⊆N, fallsM eineTeilmenge vonN ist, d.h.∀x(x ∈M ⇒x ∈N).
Beispiel: Zahlenmengen
Mengendarstellungen
Mengen können auf unterschiedliche Weisen dargestellt werden:
1 aufzählende Darstellung: Eine Menge kann durch Aufzählung aller Elemente dargestellt werden, z.B. ist {1,2,3}die Menge mit den Elementen 1,2 und 3.
2 beschreibende Darstellung: SeiM eine Menge undE(x) eine Aussagenform. Man schreibt
{x ∈M |E(x)}
für die Menge allerx ∈M, für dieE(x)wahr ist.
3 Darstellung durch eine Funktion: Ist f :M →N eine Funktion, so ist {f(x)|x ∈M}={y ∈N | ∃x ∈M :f(x) =y}
eine Menge. Beispielsweise ist {2n|n∈N}die Menge aller geraden
Mengendarstellungen
Aufgabe 1. Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Darstellung an:
1 {n∈N|n+3≤7}
2 {x ∈R|4x2−9=0}
3 {x ∈R|x2+x =−2}
Intervalle
Für reelle Zahlen a,b ∈Rdefiniert man
(a,b) ={x ∈R|a<x <b} offenes Intervall [a,b] ={x ∈R|a≤x ≤b} geschlossenes Intervall [a,b) ={x ∈R|a≤x <b} halboffenes Intervall (a,b] ={x ∈R|a<x ≤b} halboffenes Intervall (a,∞) ={x ∈R|x >a} offenes Intervall (−∞,b) ={x ∈R|x <b} offenes Intervall
[a,∞) ={x ∈R|x ≥a} halboffenes Intervall (−∞,b] ={x ∈R|x ≤b} halboffenes Intervall
Mengen
Mengen sindungeordnet, d.h. es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden und ob man Elemente doppelt aufzählt. Es gilt also
{1,2}={2,1}={1,2,1,2}.
Dies ist ein wesentlicher Unterschied zwischen Mengen und geordneten Paaren wie beispielsweise Koordinaten in der Ebene oder im Raum. So gilt etwa
(1,2)6= (2,1), (−1,3,5)6= (3,5,−1) und (1,2,1)6= (1,2).
Mengenoperationen
Aus gegebenen Mengen M undN erhält man durch Anwendung von Mengenoperationen neue Mengen
M∪N M∩N M\N M×N
Beispiel. Gegeben Sie in aufzählender Darstellung an:
1 {1,2,3} ∪ {3,4}
2 {1,2,{3}} ∩ {2,3,4}
3 {1,2,4,5} \ {3,4}
4 {1,2,3} × {3,4}
Mengenoperationen
Aufgabe 2. SeienM undN Mengen mitM ⊆N. Was kann man über M\N aussagen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Zum Finden einer Behauptung sind Venn-Diagramme hilfreich.
Mengengleichheit
Frage.Wann sind zwei Mengen gleich?
Zwei Mengen sindgleich, falls sie dieselben Elemente haben. Dies wird auch als Extensionalitätsaxiom bezeichnet. In der Sprache der Logik bedeutet dies
M =N ⇐⇒M ⊆N∧N ⊆M.
Aufgabe 3.SeienM,N undP Mengen. Zeichnen Sie die Venn-Diagramme vonM∩(N∪P)und (M∩N)∪(M∩P) und überlegen Sie, ob die beiden Mengen gleich sind.
Mengengleichheit
Eine Mengengleichheit M =N zweier Mengen M undN kann man auf verschiedene Arten beweisen:
1 indem man zwei Inklusionen zeigt:
“⊆” M ⊆N und
“⊇” N ⊆M.
2 durch einen Äquivalenzbeweis: Man zeigt, dass für allex gilt x ∈M ⇔x ∈N.
3 durch eineElementetafel (im Falle eines Mengengesetzes)
Beispiel. Wir beweisen das Distributivgesetz von∩ bzgl.∪; d.h. für alle Mengen M,N undP gilt
M∩(N∪P) = (M∩N)∪(M∩P).
Mengengesetze
Es gelten folgendeMengengesetze für MengenM,N und P.
M∩ ∅=∅ M∪ ∅=M
M∩(N ∩P) = (M ∩N)∩P Assoziativität von ∩ M∪(N ∪P) = (M ∪N)∪P Assoziativität von ∪
M∩N =N ∩M Kommutativität von∩
M∪N =N ∪M Kommutativität von∪
M∩(N ∪P) = (M ∩N)∪(M∩P) Distributivität von∩ bzgl.∪ M∪(N ∩P) = (M ∪N)∩(M∪P) Distributivität von∪ bzgl.∩ M\(N∩P) = (M\N)∪(M\P) Regel von de Morgan für∩ M\(N∪P) = (M\N)∩(M\P) Regel von de Morgan für∪
Mengengesetze
Beweisen Sie die folgende Mengengleichheit mit einem Äquivalenzbeweis, indem Sie die Rechenregeln der Aussagenlogik verwenden: Für alle Mengen M,N und P gilt
(M∪N)\P = (M\P)∪(N\P).
Beweis. Für jedesx gilt
x ∈(M∪N)\P ⇔. . . ...
⇔x ∈(M\P)∪(N \P).
Kartesische Produkte
Kartesische Produkte von Zahlenmengen lassen sich imKoordinatensystem darstellen.
Aufgabe 5. Zeichnen Sie die folgenden Mengen im Koordinatensystem
1 [0,1]×[2,4]
2 [2,4]×[0,1]
und überlegen Sie, ob das kartesische Produkt das Kommutativgesetz erfüllt. Dabei ist dasgeschlossene Intervall [a,b]füra,b ∈Rmita≤b wie folgt definiert:
[a,b] :={x ∈R|a≤x ≤b}.
Potenzmengen
Aufgabe 6. Berechnen Sie die Potenzmenge der folgenden Mengen:
1 ∅
2 {1}
3 {1,2}
4 {1,2,3}
Wie viele Elemente besitzt die Potenzmenge einern-elementigen Menge?
4. Relationen und
Funktionen
Relationen
Definition
SeienM und N Mengen. Eine Relationauf M×N ist eine Teilmenge R ⊆M×N. Falls (x,y)∈R, so schreibt man auchx ∼R y und sagt, dass x in Relation zu y steht.
Man kann eine RelationR ⊆M×N auch direkt durch∼R angeben, denn aus ∼R erhält man
R ={(x,y)∈M×N |x ∼R y}.
WennM =N, so sagt man auch, dass R (bzw. ∼R) eine Relation auf M definiert.
Beispiele.
1 M={Bahnlinien},N={Bahnhöfe},R={(x,y)∈M×N|x hält iny}.
{Menschen}, ∼ :⇐⇒
Darstellung von Relationen
Relationen auf endlichen Mengen lassen sich durch Pfeildiagramme darstellen.
Beispiel. SeiM =N ={a,b,c,d,e}und sei R die Relation gegeben durch R ={(a,b),(b,c),(b,d),(c,c),(c,d),(d,a),(d,c),(e,b)}.
Relationen aufR lassen sich im Koordinatensystem darstellen.
Beispiel.Zeichnen Sie die Relation {(x,y)∈R2|(x−1)2+ (y−2)2 <4}.
Relationseigenschaften
Definition
Sei M eine Menge. Eine RelationR ⊆M heißt reflexiv, fallsx ∼R x für allex ∈M.
irreflexiv, fallsx R x für allex ∈M.
symmetrisch, fallsx ∼R y =⇒y ∼R x für alle x,y ∈M.
antisymmetrisch, falls für allex,y ∈M aus x ∼R y und y ∼R x schon x =y folgt.
transitiv, falls für allex,y,z ∈M aus x ∼R y und y ∼R z schon x ∼R z folgt.
Beispiel. Untersuchen Sie auf
Reflexivität/Irreflexivität/Symmetrie/Antisymmetrie/Transitivität:
1 Die Verwandtschaftsrelation Das Pfeildiagramm auf Seite 1.
Relationseigenschaften
Aufgabe 1.SeiM die Menge aller Studendierenden an der Uni Koblenz.
Überprüfen Sie die folgenden Relationen auf M auf Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität:
1 x ∼y :⇔x und y haben denselben Studiengang für x,y ∈M
2 x ∼y :⇔x kennt y fürx,y ∈M
3 x ∼y :⇔x hat einen längeren Weg zur Uni als y fürx,y ∈M
4 x ∼y :⇔ die Matrikelnummer x ist kleiner gleich derjenigen vony fürx,y ∈M
Relationseigenschaften
Aufgabe 2. Sei M ={1,2,3}. Zeichnen Sie je ein Pfeildiagramm einer Relation auf M, die reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch resp.
transitiv ist.
Frage.Wie kann man die Relationseigenschaften hinsichtlich der Darstellung von Relationen mittels Pfeildiagrammen beschreiben?
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Definition
Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man eine Äquivalenzrelation. Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt Ordnungsrelation.
Aufgabe 3. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen?
Welche sind Ordnungsrelationen?
1 ≤auf N
2 <auf N
3 =auf N
4 ⊆auf P(N)
5 |aufN
6 |aufZ
Äquivalenzrelationen
Aufgabe 4. Suchen Sie je zwei Beispiele für Äquivalenzrelationen auf
1 der Menge aller Menschen
2 der Menge aller Dreiecke in der Ebene.
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Lemma. Die Teilbarkeitsrelation|ist eine Ordnungsrelation auf N, aber nicht auf Z.
Beispiel. Beginnend beim Urknall kann man R≥0={t∈R|t ≥0} als Menge aller Zeitpunkte auffassen. Sei ∼definiert aufR≥0 durcht1 ∼t2, fallst1 undt2 derselben Uhrzeit entsprechen. Wie lässt sich diese Relation darstellen? Handelt es sich um eine Äquivalenzrelation?
Funktionen
Aufgabe 5. SeienM undN Mengen. Was ist eine Funktionf :M →N? Wie haben Sie Funktionen in der Schule eingeführt? Finden Sie Beispiele für Funktionen.
Funktionen
Aufgabe 6. Bei welchen der folgenden Zuordnungen handelt es sich um Funktionen?
1 Kind7→ Vater
2 Vater7→ Kind
3 Mensch7→ Telefonnummer
4 Mensch7→ Alter
5 Alter 7→Mensch
Funktionen
Funktionen f :M →N mitM,N ⊆R lassen sich durch einen Funktionsgraphen im 2D-Koordinatensystem darstellen:
Aufgabe 7. Stellen Sie die folgenden Funktionen alsFunktionsgraph dar:
1 f :R→R,x 7→ |2x +1|
2 f :R→R,x 7→(x −1)2+1
Funktionseigenschaften
Definition
SeienM und N beliebige Mengen sowief :M →N eine Funktion. Wir nennen die Funktionf
injektiv, falls für allex1,x2∈M aus f(x1) =f(x2)schon x1 =x2 folgt.
surjektiv, falls für jedesy ∈N ein x ∈M existiert mitf(x) =y. bijektiv, fallsf injektiv und surjektiv ist.
Aufgabe 8. Welche der folgenden Zuordnungen stellen Funktionen dar? Im Falle einer Funktion: Sind sind sie injektiv/surjektiv/bijektiv?
Funktionseigenschaften
Aufgabe 9. Welche der Eigenschaften injektiv/surjektiv/bijektiv haben die folgenden Funktionen (als Funktionen [0,1]→[0,1])?
Funktionseigenschaften
Aufgabe 10. Welche Eigenschaften haben die folgenden Funktionen?
1 f :Z→Z,a7→2a−1
2 g :Q→Q,a7→2a−1
3 h:R→R,x 7→x2+6x +9
4 k :N→N,n7→Q(n), wobeiQ(n) die Quersumme vonn ist, z.B.
Q(123) =1+2+3=6
5 l :N×N→N,(m,n)7→m+n
Die Komposition von Funktionen
Definition
Wennf :M →N undg :N →P zwei Funktionen sind, so können wir die beiden Funktionen “hintereinanderschalten”. So erhalten wir eine Funktion g ◦f :M →P.
M f N g P
g ◦f
Formal ist g◦f definiert durch (g ◦f)(x) :=g(f(x)), d.h. wir wenden zuerst f auf x an, und danach g auf f(x).
Die Komposition von Funktionen
Formal ist g◦f definiert durch (g ◦f)(x) :=g(f(x)), d.h. wir wenden zuerst f auf x an, und danach g auf f(x).
Beispiel. Seienf :R→R,x 7→ |x|und g :R→R,x 7→x−1. Bestimmen Sie g◦f.
Aufgabe 11. Seienf,g :R→Rmitf(x) =ex undg(x) =x2. Geben Sie g ◦f undf ◦g an. Erfüllt die Komposition von Funktionen das
Kommutativgesetz?
Funktionen
Frage.Wie zeigt man, dass zwei Funktionenf,g :M →N gleich bzw.
verschieden sind?
Lemma
Die Komposition von Funktionen erfüllt das Assoziativgesetz, aber nicht das Kommutativgesetz, d.h. für Funktionen f :M →N,g :N →P und h:P →Q gilt
h◦(g ◦f) = (h◦g)◦f,
aber im Allgemeinen f ◦g 6=g ◦f (für P =M).
Komposition von Funktionen
Lemma
Seien f :M →N und g :N →P Funktionen.
1 Falls f,g injektiv sind, so ist g◦f injektiv.
2 Falls f,g surjektiv sind, so ist g ◦f surjektiv.
3 Falls f,g bijektiv sind, so ist g◦f bijektiv.
Umkehrfunktionen
Man kann bijektive Funktionen (in eindeutiger Art und Weise!)
„rückgängig“ machen:
Die Funktion f−1 :N →M definiert durch f−1(y) =x ⇔f(x) =y
wird als Umkehrfunktion vonf bezeichnet.
Beispiel. Was ist die Umkehrfunktion von f :R≥0→R≥0,f(x) =x2 ?
Umkehrfunktionen
Aufgabe 12. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der folgenden Funktionen:
1 f :Z→Z,a7→a+3
2 g :Q→Q,p7→2p−1
3 h:R≥0 →R>0,x 7→e
√x.
Umkehrfunktionen
Für eine reelle bijektive Funktion f :M →N mitM,N ⊆Rlässt sich die Umkehrfunktion durch Auflösung der Gleichung f(x) =y nachx
bestimmen.
Beispiel. Wir bestimmen einen maximalen Definitionsbereich M und Wertebereich N, sodass die Funktion
x 7→f(x) =
√x+1
√x−1 bijektiv ist und bestimmen die Umkehrfunktion.
5. Folgen und ihre
Konvergenz
Folgen
Definition
Eine Folge ist eine Funktion a:N→R. Die Folge ist damit eindeutig durch die Wertea(0),a(1),a(2), . . .definiert. Üblicherweise schreibt man an:=a(n) und bezeichnet die Folge mit(an)n∈N oder einfach nur(an).
Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Folge zu definieren:
1 explizit: durch Angabe des Funktionsterms desn-ten Folgengliedsan
in Abhängigkeit vonn.
2 rekursiv:durch Angabe
eines Anfangswertsa0 odera1 (Anfangswert);
einer Regel, wie manan+1ausan berechnen kann (Rekursionsvorschrift).
Kommen in der Rekursionsvorschrift anund an−1 vor, so benötigt man zwei Anfangswerte.
Folgen
Beispiel. Ein Beispiel für eine rekursive Definition ist
a0 =1
an+1 =an·(n+1).
Welche Folge wird hier definiert?
Beispiel. Geben Sie eine explizite und rekursive Darstellung der Folge 0,1,4,9,16, . . . an.
Aufgabe 1. Geben Sie eine explizite und eine rekursive Definition der folgenden Folge an:
2, 4, 16, 256, 65536, . . .
Konvergenz
Definition
Eine Folge(an) konvergiert gegen eine Zahl a∈R, in Zeichen
n→∞lim an=a,
falls
∀ε >0: ∃N ∈N: ∀n≥N : |an−a|< ε.
Falls es ein a∈Rgibt, sodass(an) gegenakonvergiert, so heißt die Folge (an) konvergent, ansonsten heißt sie divergent.
Frage:Was bedeutet |an−a|< ε?
Konvergenz
n a
aN0 N0
a+ε
a−ε a+ε0
a−ε0 aN1
N1
Konvergenz
Eine Folge(an) konvergiert gegen eine Zahl a∈R, in Zeichen
n→∞lim an=a,
falls
∀ε >0: ∃N ∈N: ∀n≥N : |an−a|< ε.
Intuitiv:
Für jeden (beliebig kleinen) Abstandεgibt es ein Folgenglied aN (d.h. mit Index N), sodass ab diesem Folgenglied (für an mit n≥N) der Abstand
zum Grenzwert a immer < εist.
Konvergenz
Beispiel. Es seian= 1n.
1 Zeigen Sie, dass lim
n→∞an=0.
2 Ab welcher ZahlN ∈Nist an für n≥N vom Grenzwert 0 weniger als 0,02 bzw. weniger als 0,0005 entfernt?
Fazit: Je kleinerε, desto größer muss manN wählen!
Konvergenz
Aufgabe 2. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und beweisen Sie Ihre Vermutung anhand der Definition der Konvergenz:
1 an= 2−nn
2 bn=
1 2
n
.
Divergenz
Aufgabe 3.
1 Geben Sie die Negation der Definition der Konvergenz an, d.h.
drücken Sie „(an) ist divergent“ mit Quantoren aus.
2 Zeigen Sie, dass die Folge an= (−1)n divergent ist.
Definition der Konvergenz
Aufgabe 4. Diskutieren Sie, wieso die folgenden Alternativen zur Grenzwertdefinition nicht geeignet sind.
1 ∀ε >0:∀n ≥0:|an−a|< ε.
2 ∀ε >0:∃N ∈N:∀n≥N :an−a< ε.
3 ∃N ∈N:∀n ≥N :|an−a|<0,01.
4 ∃N ∈N:∀ε >0:∀n≥N :|an−a|< ε.
5 ∀ε >0:∀N ∈N:∃n≥N :|an−a|< ε.
Was bedeutet „ungeeignet“? Entweder es gibt eine konvergente Folge, die die alternative „Definition“ nicht erfüllt, oder es gibt eine divergente Folge, die die alternative „Definition“ erfüllt.
Die Grenzwertsätze
Satz
Seien(an),(bn) Folgen mit lim
n→∞an=aund lim
n→∞bn=b. Dann gilt:
1 lim
n→∞(an±bn) =a±b
2 lim
n→∞(an·bn) =a·b
3 lim
n→∞
an
bn = a
b, fallsbn,b6=0.
Achtung:Der Satz gilt nicht für a=∞ oderb=∞! Es gilt also nicht
n→∞lim n2
n = ∞
∞ =1,
∞
Die Grenzwertsätze
Satz
Seien(an),(bn) Folgen mit lim
n→∞an=aund lim
n→∞bn=b. Dann gilt:
1 lim
n→∞(an±bn) =a±b
2 lim
n→∞(an·bn) =a·b
3 lim
n→∞
an bn = a
b, fallsbn,b6=0.
Beispiel. Bestimmen Sie den Grenzwert von 1+2n1−n. Aufgabe 5. Bestimmen Sie den Grenzwert von
an= 2n2+3n+1 5n2−2n−3.
Der Sandwichsatz
Sandwichsatz
Seien(an),(bn) und(cn) Folgen mit lim
n→∞an= lim
n→∞cn=a und seiN ∈N mit
an≤bn≤cn für alle n≥N. Dann konvergiert (bn) und lim
n→∞bn=a.
Der Sandwichsatz
Beispiel. Zeigen Sie, dass lim
n→∞
(−1)n n =1.
Aufgabe 6. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
1 2n+cos(n)
4n (Hinweis: Es gilt|cos(x)| ≤1 für allex ∈R)
2 n!
nn
6. Lineare
Gleichungssysteme
Wiederholung Schulstoff
Aufgabe 1. Betrachten Sie das Gleichungssystem (I) x+2y =5 (II) 2x+3y =8
Welche Methoden zur Lösung dieses Gleichungssystems kennen Sie? Geben Sie zwei verschiedene Lösungswege an.
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Wir betrachten jetzt ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:
(I) a11x +a12y =b1 (II) a21x +a22y =b2
Geben Sie eine geoemtrische Interpretation des Gleichungssystems. Der Einfachheit halber seiena12,a226=0. Welche Möglichkeiten für die Anzahl Lösungen gibt es?
Fazit: Es gibt entweder 0, 1 oder unendlich viele Lösungen.
Lineare Gleichungssysteme
Definition
Ein lineares Gleichungssystem bestehend aus mGleichungen in n Unbekannten ist ein System von Gleichungen der Form
a11x1+. . .+a1nxn=b1 a21x1+. . .+a2nxn=b2
... ... ... am1x1+. . .+amnxn=bm.
Lineare Gleichungssysteme
Üblicherweise stellt man ein solches Gleichungssystem kompakt in Matrixschreibweise dar:
Ax =b, wobei
A=
a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn
, x =
x1
... xn
undb =
b1
... bm
.
Dabei wirdAals (m×n)-Matrix bezeichnet, und x ist ein Vektor mitn Einträgen.
Die Menge aller (m×n)-Matrizen (mit Einträgen in R) wird alsRm×n bezeichnet, die Menge aller Vektoren mit n Einträgen (ausR) wird alsRn bezeichnet.
Matrix-Vektor-Multiplikation
Für
A=
a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn
, x =
x1
... xn
und b=
b1
... bm
definiert man die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
A·x :=
a11x1+. . .+a1nxn ...
am1x1+. . .+amnxn
und die Lösungsmenge des GleichungssystemsAx =b als L=Ls(A,b) :={x = (x1, . . . ,xn)∈Rn|Ax =b}.
Lineare Gleichungssysteme
Beispiel. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 1 in Matrixschreibweise dar.
(I) x+2y =5 (II) 2x+3y =8
Die Zeilenstufenform
Definition
Sei Aeine Matrix mit Einträgenaij,i ∈ {1, . . . ,m},j ∈ {1, . . . ,n}. Ein Eintrag aij 6=0 von AheißtPivotelement, falls es in jeder Zeile einen Eintrag aij (genannt Pivotelement) gibt, für welches alle Einträge links von aij und alle Elemente unterhalb bzw. links unterhalb von aij gleich 0 sind.
Eine Matrix in Zeilenstufenform sieht beispielsweise wie folgt aus:
∗ × × × ×
∗ × × ×
∗ × ×
0
∗
,
wobei∗ einen Eintrag in R\ {0} und×einen beliebigen Eintrag inR darstellt.
Die Zeilenstufenform
Beispiel. Geben sie alle Möglichkeiten an, wie eine 2×2-Matrix in Zeilenstufenform aussehen kann, d.h. verschiedenen Möglichkeiten, wie die Pivotelemente verteilt sind.
Aufgabe 2. Geben sie alle Möglichkeiten an, wie eine 3×3-Matrix in Zeilenstufenform aussehen kann, d.h. verschiedenen Möglichkeiten, wie die Pivotelemente verteilt sind.
Elementare Zeilenumformungen
Man kann jede Matrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen: Elementare Zeilenumformungen sind:
Vertauschung von Zeilen;
Multiplikation aller Einträge einer Zeile mit demselben Faktor λ∈R\ {0};
Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile für einλ∈R.
Elementare Zeilenumformungen
Beispiel. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform:
2 3 −1
1 −3 4
5 −6 11
Aufgabe 3. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform:
0 1 2 9 3 4 5 9 6 7 8 9 9 9 9 9
Die erweiterte Matrix
Definition
Sei A∈Rm×nund b∈Rm. Dann definiert man die (umb) erweiterte Matrix vonAals
(A,b) :=
a11 . . . a1n b1 ... ... ... am1 . . . amn bm
.
Der Gauß-Algorithmus
Satz
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht durch elementare Zeilenumformungen:
1 Vertauschung von Zeilen;
2 Multiplikation einer Zeile mit einem Faktorλ∈R\ {0}
3 Addition eines Vielfachen einer Zeile zur anderen Zeile.
Gauß-Algorithmus: Um ein lineares GleichungssystemAx =b zu lösen, bringt man (A,b) in Zeilenstufenform, d.h. man erhält eine Matrix (A0,b0).
Gemäß dem Satz gilt Lös(A,b) =Lös(A0,b0), und Lös(A,b) lässt sich leicht bestimmen.
Der Gauß-Algorithmus
Beispiel. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:
(1) 2x1−3x2+4x3 = 8 (2) 2x1+3x2− x3= 12 3x1+4x2−5x3 =−4 x1−3x2+ 4x3= −12 4x1−6x2+3x3 = 1 5x1−6x2+11x3=−24
Aufgabe 4. Ist das lineare Gleichungssystem (2) immer noch lösbar, wenn man die Zahl −24 durch eine beliebige Zahlc 6=−24 ersetzt?
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Aufgabe 5.Welche der linearen Gleichungssysteme gegeben durch folgende erweiterte Matrizen sind lösbar? Falls sie lösbar sind, sind sie eindeutig lösbar? Falls es mehrere Lösungen gibt, welche Variablen sind unabhängig?
(1)
1 2 3
0 1 1
(2)
1 2 3 1
0 0 0 1
(3)
1 2 3 1
0 0 0 0
(4)
0 2 3 1
0 0 4 1
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Definition
Der Rang einer Matrix A, in Zeichenrg(A), ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform von A, welche nicht aus Nullen bestehen.
Satz
Ein lineares GleichungssystemAx =b für eine MatrixA∈Rm×n und b ∈Rn
1 istnicht lösbar, fallsrg(A)<rg(A,b).
2 isteindeutig lösbar, fallsrg(A) =rg(A,b) =n.
3 hatunendlich viele Lösungen, fallsrg(A) =rg(A,b)<n.
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Aufgabe 6. Bringen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in
Zeilenstufenform. Beschreiben Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems in Abhängigkeit von c.
x1+2x2−3x3= 3
−x1+6x2−5x3 =21
−3x1+2x2+ x3 =3c
7. Grundbegriffe der
linearen Algebra
Vektoren
Definition
Sei n∈N. Die Menge Rn ist die Menge allerVektoren
x =
x1
... xn
mitx1, . . . ,xn∈R.
Seienx,y ∈Rn Vektoren und seiλ∈R. Dann definiert man dieAddition und die Skalarmultiplikation wie folgt:
x +y =
x1
... xn
+
y1
... yn
:=
x1+y1
... xn+yn
und λ·x =λ·
x1
... xn
:=
λx1
... λxn
.
Vektorräume
(Rn,+,·) ist ein Beispiel für einVektorraum:
Definition
EinR-Vektorraumist ein Tripel(V,+,·), wobei
+ :V ×V →V, ·:R×V →V und
(V1) ∀u,v,w∈V :u+ (v+w) = (u+v) +w Assoziativgesetz (V2) ∀u,v∈V :u+v =v+u Kommutativgesetz (V3) ∃0V ∈V ∀v∈V :v+0v=v neutrales Element bzgl.+ (V4) ∀v∈V ∃ −v ∈V :v+ (−v) =0V inverses Element bzgl.+ (V5) ∀u,v∈V ∀λ∈R:λ·(u+v) = (λ·u) + (λ·v) Distributivgesetz (V6) ∀v∈V ∀λ, µ∈R: (λ+µ)·v = (λ·v) + (µ·v) Distributivgesetz (V7) ∀v∈V ∀λ, µ∈R: (λ·µ)·v =λ·(µ·v) Assoziativgesetz
(V8) ∀v∈V :1·v =v Neutralität der1
Untervektorräume
Definition
Sei V ein R-Vektorraum. EinUntervektorraum (oder Unterraum) vonV ist eine Menge U ⊆V mit folgenden Eigenschaften:
(U1) 0V ∈U;
(U2) für alleu,v ∈U giltu+v ∈U; (U3) für alleu ∈U und λ∈R giltλu ∈U.
Lemma
Falls(V,+,·) einR-Vektorraum und U ein Untervektorraum ist, so ist U selbst einR-Vektorraum.
Untervektorräume
Aufgabe 1. Welche der folgenden Mengen bilden Untervektorräume von R2 bzw.R3?
1 U ={(x1,x2)∈R2 |x12+x22 ≤1}
2 V ={(x1,x2,x3)∈R3 |x1+x2 =x3}
3 W ={(x1,x2)∈R2|x1 ≥x2}.
Untervektorräume
Beispiel. Was sind die Untervektorräume von R2?
Aufgabe 2. Überlegen Sie (ohne formalen Beweis): Welche geometrischen Objekte bilden Untervektorräume vonR3?
Linearkombinationen
Definition
Sei V einR-Vektorraum. Seien v1, . . . ,vn∈V. Dann heißt
span(v1, . . . ,vn) :={v ∈V | ∃λ1, . . . , λn∈R:v =λ1v1+. . .+λnvn} der von v1, . . . ,vnerzeugte (oderaufgespannte) Untervektorraum von V. Insbesondere istspan(v1, . . . ,vn) der kleinste Untervektorraum vonV, der v1, . . . ,vn enthält. Ein Elementλ1v1+. . .+λnvn von span(v1, . . . ,vn) wird als Linearkombination vonv1, . . . ,vn bezeichnet.
Beispiel. Beschreiben Sie span(v1) und span(v1,v2) für v1 =
1 0 0
und v2 =
0 1 0
.
Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme und Basen
Definition
Sei V einR-Vektorraum. Eine Menge {v1, . . . ,vm} ⊆V von Vektoren heißt
1 linear unabhängig über R, falls für alle λ1, . . . , λm ∈R gilt λ1v1+. . .+λnvn=0⇒λ1=. . .=λm =0;
2 Erzeugendensystem von V (bzw. erzeugend), falls span(v1, . . . ,vn) =V;
3 Basis vonV, falls sie linear unabhängig und erzeugend ist.
