Aufgabe 1. Welche der folgenden Quasiordnungen sind Wohlquasiordnun- gen?

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Model Checking WS 2015/16

Ubungsblatt 10 ¨

Aufgabe 1. Welche der folgenden Quasiordnungen sind Wohlquasiordnun- gen?

(a) ( N , |), wobei | die Teilbarkeitsrelation ist

(b) ( N

, ≤), wobei (a

, a

, . . . ) ≤ (b

, b

, . . . ) gilt, wenn a

≤ b

f¨ ur alle i ≥ 1 (c) ({a , b}

, ≤

), wobei u ≤

v gilt, wenn u Pr¨ afix von v ist

(d) ({a , b}

, ≤

), wobei u ≤

v gilt, wenn u ≤

v oder (es existieren x , y, z ∈ {a, b}

mit u = xay und v = xbz )

(e) ({a , b}

, ≤

), wobei u ≤

v gilt, wenn |u | < |v | oder (|u | = |v | und u ≤

v )

(f) Die Teilgraphrelation auf der Menge der endlichen Graphen

Aufgabe 2. Eine Menge B ⊆ A in einer Quasiordnung (A, ≤) heißt Anti- kette, wenn f¨ ur alle a , b ∈ B mit a 6= b gilt a 6≤ b 6≤ a . Zeigen Sie, dass in ( N

, ≤) f¨ ur k ≥ 2 beliebig lange Antiketten existieren.

Aufgabe 3. Sei Σ ein endliches Alphabet und die Teilwortrelation auf Σ

, d.h. u v , wenn u = a

· · · a

und v ∈ Σ

a

Σ

a

· · · Σ

a

Σ

. Es ist bekannt, dass (Σ

, ) eine Wohlquasiordnung ist (Higman, 1952).

(a) Sei L ⊆ Σ

eine beliebige Sprache. Zeigen Sie, dass ↑L regul¨ ar ist.

(b) Gegeben sei ein endlicher Automat f¨ ur eine regul¨ are Sprache L ⊆ Σ

. Wie kann man einen endlichen Automaten berechnen, der ↑L erkennt?

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