Didaktik der Linearen Algebra
Übergangsmatrizen
Referenten: Leif Stuhrmann
René Kühne
Übersicht
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
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Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
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Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Problem
Die drei Firmen A, B und C führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein.
Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40%
Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt 15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B.
Während der folgenden Jahre verändern sich
die Marktanteile stets nach demselben Schema.
Problem
Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres?
5 % zu B und 10 % zu C 5 % zu A und 5 % zu B
15 % zu A und 10 % zu C
Matrizenmultiplikation
Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert.
Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.
Problem
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?
1.Jahr 2.Jahr
Eigenwertprobleme
Allgemein:
Überführung in ein homogenes System:
(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht- trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
v v
A
Eigenwertprobleme
Allgemein:
Überführung in ein homogenes System:
(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-
trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
v v
A 0
)
( E A v
Eigenwertprobleme
Allgemein:
Überführung in ein homogenes System:
(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht- trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
v v
A 0
)
( E A v
Eigenwertprobleme
Allgemein:
Überführung in ein homogenes System:
(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht- trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
v v
A 0
)
( E A v
0 )
det( E A
Zahlenbeispiel
Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A
2 1
1
4 3
2
1 1
2
A
Problem
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?
1.Jahr 2.Jahr
Lösung mit Derive
Anwendung
Bei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse.
Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A.
Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder Preisklasse verkaufen.
Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern.
Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder, die
Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je 400
Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.
Lösung
Übergangsmatrix:
7 , 0 1
, 0 0
2 , 0 7
, 0 3
, 0
1 , 0 2
, 0 7
,
0
A
Lösung
Übergangsmatrix:
Lösung von
7 , 0 1
, 0 0
2 , 0 7
, 0 3
, 0
1 , 0 2
, 0 7
, 0 A
400 400 400 400
400 400 7
, 0 1
, 0
2 , 0 7
, 0
1 , 0 2
, 0
3 2 1
x
x
x
Lösung
Übergangsmatrix:
Lösung von
Lösung:
7 , 0 1
, 0 0
2 , 0 7
, 0 3
, 0
1 , 0 2
, 0 7
, 0 A
400 400 400 400
400 400 7
, 0 1
, 0
2 , 0 7
, 0
1 , 0 2
, 0
3 2 1
x x x
2 , 0 1
, 0 7
,
0
2 31
