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Name und Matr-Nr.
Nichtstandard-Analysis – Blatt 7
Abgabe am 14.6.2018 bis 10:30 Uhr
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Wie ¨ublich sind alle Antworten zu begr¨unden/beweisen.
Auf diesem Blatt seiV0=R, Xsei die Superstruktur ¨uberV0 und∗Xsei eine echte nonstandard-Erweiterung vonX. Aufgabe 1 (4 Punkte):
Seif:∗N→∗Rein Element von∗V1. Wir wolleng(n) :=Qn
i=1f(i) definieren, und zwar f¨ur beliebigen∈∗N. (a) Was ist mit
”fist ein Element von∗V1“ gemeint? Geben Sie (unter Verwendung der Funktionη2aus der Vorlesung) die Teilmenge von∗V0 an, dief repr¨asentiert.
(b) Zeigen Sie, dass es genau eine Funktiong:∗N→∗Rin ∗V1 gibt, die folgende Eigenschaften erf¨ullt:
• g(0) = 1.
• g(n) =g(n−1)·f(n) f¨urn∈∗N, n≥1.
(c) Existiert ein solchesg auch, wenn wir nicht fordern, dassf in ∗V1 liegt?
(d) Istg auch dann noch eindeutig, wenn wir nicht fordern, dass es in∗V1liegt?
Aufgabe 2 (4 Punkte):
Jetzt k¨onnen wir Primfaktorzerlegungen von Elementen von∗N”richtig“ definieren.
(a) Formulieren Sie unter Verwendung von Aufgabe 1 eine pr¨azise Version der folgenden Aussage:
”Zu jeder Zahln∈∗N\ {0}gibt es ein k∈∗N, so dassndas Produkt vonk vielen Primzahlen ist.“
(b) Zeigen Sie, dass Ihre Aussage aus (a) wahr ist.
(c) Istkdurchneindeutig festgelegt?
(d) Zeigen Sie, dass es in∗Nsowohl Zahlen gibt, die das Produkt von unendlich vielen verschiedenen Primzahlen sind, als auch Zahlen, die unendliche Potenzen einer Primzahl sind.
Vorlesungswebseite:http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/NSA_SS18/
