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Matr-Nr. Gruppe
Modelltheorie I – Blatt 7
Abgabe am 26.11.2019 in der Vorlesung
1 2 3 4 Σ
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Wie üblich sind alle Antworten zu begründen/beweisen.
Aufgabe 1 (4 Punkte):
SeiMein Monstermodell. Seiδ(x;y) =x=y und seiB⊂M klein. Zeigen Sie: Zwei Elementea1, a2∈M haben den selbenδ-Typ überB genau dann wenn,
• entwedera1, a2∈acl(B)sind und ein Automorphismusα∈AutB(M)existiert mitα(a1) =a2
• oder wedera1 nocha2in acl(B)liegen.
Hinweis: Wie sehen Mengen aus, die durch boolsche Kombintationen von Instanzen vonδdefinierbar sind? Und wann sind solche Mengen überB definierbar?
Aufgabe 2 (4 Punkte):
In dieser Aufgabe wollen wir prüfen, dass in Lemma 6.6.10 die Bedingung, dassδ stabil ist, wirklich benötigt wird.
Genauer suchen wir eine StrukturM, eine Formel δ(x;y), einenδ-Typp(x)∈Sδ(M)und einenδ-Typ¯ q(y)∈S¯δ(M), so dass gilt:
• pbesitzt eineδ-Definitionφ(y)undqbesitzt eineδ-Definition¯ ψ(x).
• φ∈qaber nichtψ∈p. (Oder umgekehrt.) Wir wählenM= (Q, <)undδ(x;y) =x < y.
(a) Prüfen Sie das obige, wennpder Typ der unendlich großen undqder Typ der unendlich kleinen Elemente ist.
(b) Prüfen Sie das obige, wenn sowohlpals auchqder Typ der unendlich großen Elemente ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte):
SeiC⊂B⊂M. Wir wollen verstehen, unter welchen Bedingungen ein Element vonB unabhängig vonB sein kann.
Zeigen Sie, dass die folgenenden Aussagen über ein Elementa∈B äquivalent sind:
(i) a∈acl(C)
(ii) Für alle stabilen Formelnδ(x;y)gilt:a^|
δ CB (iii) Für δ(x;y) =x=y gilt:a^|
δ CB
Aufgabe 4 (4 Punkte):
SeiKein unendlicher Körper und seiMeinK-Vektorraum, in der SpracheLK-VR={0,+,−}∪{r· |r∈K}. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die elementaren Unterstrukturen von M genau die nicht-trivialen Untervektorräume sind. (Das folgt aus Quantoren-Elimination.) Sie dürfen auch verwenden, dass für beliebige TeilmengenB ⊂M gilt:
acl(B) = dcl(B) =hBiK. Seiδ(x;y) =x=y.
Beschreiben Sie die folgenden Bedingungen aus Sicht der linearen Algebra:
(a) die Bedingung an ein Element a∈M, einen UntervektorraumV ≺ Mund eine Teilmenge C⊂V, dass der Typ tpδ(a/V)überC δ-definierbar ist;
(b) die Bedingung an ein Elementa∈M und an TeilmengenC⊂B⊂M, dassa^|
δ
CB gilt.
(c) Wie ändern sich die Bedingungen, wenn man für δdie Formelδ(x;y1, y2) =x=y1+y2nimmt?
Vorlesungswebseite:http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Mod_W19/
