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Modelltheorie I – Blatt 2

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Academic year: 2021

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Modelltheorie I – Blatt 2

Abgabe am 22.10.2019 in der Vorlesung

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt für Ihre Lösungen.

Wie üblich sind alle Antworten zu begründen/beweisen.

Aufgabe 1 (6 Punkte):

(a) Sei T = Th( Q , <). Geben Sie ein Modell von T an, das nicht stark ℵ

0

-homogen ist.

(b) Zeigen Sie: ( R , <) ist stark ℵ

0

-homogen.

(c) Zeigen Sie: ( R , <) ist nicht stark ℵ

1

-homogen.

Hinweis: Es hilft, zunächst einen Typ über einer abzählbaren Teilmenge von R zu finden, der in R nicht realisiert ist.

Aufgabe 2 (2+3 Punkte):

Sei κ eine unendliche Kardinalzahl.

Eine Struktur M heißt κ-universell, wenn sich jede elementar äquivalente Struktur M

0

≡ M der Kardinalität |M

0

| < κ elementar in M einbetten lässt.

(a) Zeigen Sie: Ist M κ-saturiert, so ist M κ

+

-universell.

(b) Sei nun M speziell, mit |M| = κ.

Aus (a) und Lemma 6.1.13 folgt, dass M cf(κ)

+

-universell ist. Zeigen Sie, dass M sogar κ

+

-universell ist.

Hinweis: Gehen Sie wie im Beweis von Satz 6.1.12 vor.

Aufgabe 3 (2 Punkte):

Sei M ein Monstermodell, sei A ⊂ M klein und seien Σ

1

(x) und Σ

2

(x) partielle Typen über A. Wir schreiben Σ

i

(M) für die Menge der der a ∈ M

n

, die Σ

i

(x) realisieren.

Zeigen Sie: Σ

1

(x) | = Σ

2

(x) gilt genau dann, wenn Σ

1

(M) ⊂ Σ

2

(M) ist.

(Zu „Σ

1

(x) | = Σ

2

(x)“: siehe Definition 5.2.1)

Aufgabe 4 (3 Punkte):

Sei M ein Monstermodell, seien A ⊂ B ⊂ M klein, und sei Σ(x) ein partieller n-Typ über B . Wir nehmen an, dass die Menge Σ(M) ⊂ M

n

der Realisierungen von Σ(x) invariant unter Aut

A

(M) ist, d. h. dass α(Σ(M)) = Σ(M) ist für alle α ∈ Aut

A

(M).

Zeigen Sie, dass dann bereits ein partieller Typ über A existiert, der zu Σ(x) äquivalent (siehe Def. 5.2.1) ist.

Hinweis: Verwenden Sie Ideen aus dem Beweis von Satz 6.1.15 und zeigen Sie als Zwischenschritte folgendes:

• Zu jedem b ∈ Σ(M) und jedem c ∈ M

n

\ Σ(M) existiert eine L(A)-Formel φ(x) mit M | = φ(b) und M | = ¬φ(c).

• Zu jedem c ∈ M

n

\ Σ(M) existiert eine L(A)-Formel ψ(x) mit Σ(M) ⊂ ψ(M) und M | = ¬φ(c).

(Aufgabe 3 ist auch nützlich.)

Vorlesungswebseite: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Mod_W19/

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