Nichtstandard-Analysis – Blatt 11

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Name und Matr-Nr.

Nichtstandard-Analysis – Blatt 11

Abgabe am 12.7.2018 bis 10:30 Uhr

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt f¨ ur Ihre L¨ osungen.

Wie ¨ ublich sind alle Antworten zu begr¨ unden/beweisen.

Auf diesem Blatt sei V

0

= R , X sei die Superstruktur ¨ uber V

0

und

^∗

X sei eine Vergr¨ oßerung von X . Außerdem seien X, Y ⊂ V

0

topologische R¨ aume, und wir fassen

^∗

X und

^∗

Y wie in der Vorlesung auch als topologischen Raum auf.

Aufgabe 1 (1 Punkte):

Geben Sie ein Kriterium daf¨ ur, ob ein Punkt x ∈ X isoliert ist, unter Verwendung von mon(x).

Aufgabe 2 (2 Punkte):

Zeigen Sie Lemma 3.2.7: X ist Hausdorff genau dann, wenn f¨ ur alle x, y ∈ X mit x 6= y gilt: mon(x) ∩ mon(y) = ∅.

Aufgabe 3 (2 Punkte):

Zur Erinnerung: Ein topologischer Raum X ist ein T

3

-Raum, wenn zu jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ X und jedem x ∈ X \ A disjunkte offene Mengen U

1

, U

2

⊂ X existieren mit A ⊂ U

1

und x ∈ U

2

.

Zeigen Sie: Ist X ein T

₃

-Raum, so ist f¨ ur jedes x ∈ X die Monade mon(x) abgeschlossen in

^∗

X. Bonus-Aufgabe (noch zwei Punkte): Gilt auch die R¨ uckrichtung?

Aufgabe 4 (1+2 Punkte):

Zeigen Sie, unter Verwendung der nichtstandard-Analysis-Kriterien f¨ ur stetig, abgeschlossen, kompakt und hausdorff:

(a) Abgeschlossene Teilmengen von kompakten topologischen R¨ aumen sind kompakt.

(b) Ist X kompakt, Y hausdorff und f : X → Y stetig und bijektiv, so ist auch f

⁻¹

Nichtstandard-Analysis – Blatt 11

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Nichtstandard-Analysis – Blatt 11

Abgabe am 12.7.2018 bis 10:30 Uhr

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt f¨ ur Ihre L¨ osungen.

Wie ¨ ublich sind alle Antworten zu begr¨ unden/beweisen.

Auf diesem Blatt sei V

= R , X sei die Superstruktur ¨ uber V

und

X sei eine Vergr¨ oßerung von X . Außerdem seien X, Y ⊂ V

topologische R¨ aume, und wir fassen

X und

Y wie in der Vorlesung auch als topologischen Raum auf.

Aufgabe 1 (1 Punkte):

Geben Sie ein Kriterium daf¨ ur, ob ein Punkt x ∈ X isoliert ist, unter Verwendung von mon(x).

Aufgabe 2 (2 Punkte):

Zeigen Sie Lemma 3.2.7: X ist Hausdorff genau dann, wenn f¨ ur alle x, y ∈ X mit x 6= y gilt: mon(x) ∩ mon(y) = ∅.

Aufgabe 3 (2 Punkte):

Zur Erinnerung: Ein topologischer Raum X ist ein T

-Raum, wenn zu jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ X und jedem x ∈ X \ A disjunkte offene Mengen U

, U

⊂ X existieren mit A ⊂ U

und x ∈ U

.

Zeigen Sie: Ist X ein T

-Raum, so ist f¨ ur jedes x ∈ X die Monade mon(x) abgeschlossen in

X.

Bonus-Aufgabe (noch zwei Punkte): Gilt auch die R¨ uckrichtung?

Aufgabe 4 (1+2 Punkte):

Zeigen Sie, unter Verwendung der nichtstandard-Analysis-Kriterien f¨ ur stetig, abgeschlossen, kompakt und hausdorff:

(a) Abgeschlossene Teilmengen von kompakten topologischen R¨ aumen sind kompakt.

(b) Ist X kompakt, Y hausdorff und f : X → Y stetig und bijektiv, so ist auch f

: Y → X stetig.

Vorlesungswebseite: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/NSA_SS18/