Ernst W. Mayr

SS 2006

Einf¨ uhrung in die Informatik IV

Ernst W. Mayr

Fakult¨ at f¨ ur Informatik TU M¨ unchen

http://www14.in.tum.de/lehre/2006SS/info4/

Sommersemester 2006

Info IV c

Ernst W. Mayr

3.3 ¨ Aquivalenz von NFA und DFA

Satz 30

F¨ ur jede von einem nichtdeterministischen endlichen Automaten akzeptierte Sprache L gibt es auch einen deterministischen endlichen Automaten M mit

L = L(M) .

Info IV 3.3 ¨Aquivalenz von NFA und DFA

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Beweis:

Sei N = (Q, Σ, δ, S, F ) ein NFA.

Definiere

1

M ⁰ := (Q ⁰ , Σ, δ ⁰ , q ₀ ⁰ , F ⁰ )

2

Q ⁰ := P(Q) \ {∅} (P (Q) Potenzmenge von Q)

3

δ ⁰ (Q ⁰⁰ , a) := S

q

∈Q

δ(q ⁰ , a) f¨ ur alle Q ⁰⁰ ∈ Q ⁰ , a ∈ Σ

4

q ⁰ ₀ := S

5

F ⁰ := {Q ⁰⁰ ⊆ Q; Q ⁰⁰ ∩ F 6= ∅}

Also

NFA N: Q Σ δ S F

DFA M ⁰ : 2 ^Q Σ δ ⁰ S F ⁰

Info IV 3.3 ¨Aquivalenz von NFA und DFA

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Es gilt:

w ∈ L(N ) ⇔ δ(S, w) ˆ ∩ F 6= ∅

⇔ δ b ⁰ (q ₀ ⁰ , w) ∈ F ⁰

⇔ w ∈ L(M ⁰ ).

Der zugeh¨ orige Algorithmus zur ¨ Uberf¨ uhrung eines NFA in einen DFA heißt Teilmengenkonstruktion, Potenzmengenkonstruktion oder Myhill-Konstruktion.

Info IV 3.3 ¨Aquivalenz von NFA und DFA

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3.4 NFA’s mit - ¨ Uberg¨ angen Definition 31

Ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat A mit

- ¨ Uberg¨ angen ist ein 5-Tupel analog zur Definition des NFA mit δ : Q × (Σ ] {}) → P (Q) \ {∅} .

Ein - ¨ Ubergang wird ausgef¨ uhrt, ohne dass ein Eingabezeichen gelesen wird. Wir setzen o.B.d.A. voraus, dass A nur einen Anfangszustand hat.

q ₀ q ₁ q ₂

0 1 0

Info IV 3.4 NFA’s mit- ¨Uberg¨angen

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Definiere f¨ ur alle a ∈ Σ

δ(q, a) := ˆ ¯ δ(q, ^∗ a ^∗ ) .

Satz 32

w ∈ L(A) ⇔ δ(S, w) ˆ ¯ ∩ F 6= ∅ .

Beweis:

Hausaufgabe!

Info IV 3.4 NFA’s mit- ¨Uberg¨angen

c

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3.5 Entfernen von - ¨ Uberg¨ angen Satz 33

Zu jedem nichtdeterministischen endlichen Automaten A mit - ¨ Uberg¨ angen gibt es einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A ⁰ ohne - ¨ Uberg¨ ange, so dass gilt:

L(A) = L(A ⁰ )

Beweis:

Ersetze δ durch δ ¯ und F durch F ⁰ mit F ⁰ =

( F / ∈ L(A) F ∪ {q ₀ } ∈ L(A)

Info IV 3.5 Entfernen von- ¨Uberg¨angen

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Beispiel 34

q 0 q 1 q 2

0 1 0

q ₀ 0, 1 q ₁ 0, 1 q ₂

0 1 0

0, 1

Info IV 3.5 Entfernen von- ¨Uberg¨angen

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3.6 Endliche Automaten und regul¨ are Sprachen Zusammenfassend ergibt sich:

Satz 35

Die Familie der regul¨ aren Sprachen (Chomsky-3-Sprachen) ist identisch mit der Familie der Sprachen, die

von DFA’s akzeptiert/erkannt werden, von NFA’s akzeptiert werden,

von NFA’s mit - ¨ Uberg¨ angen akzeptiert werden.

Beweis:

Wie soeben gezeigt.

Info IV 3.6 Endliche Automaten und regul¨are Sprachen c

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3.7 Regul¨ are Ausdr¨ ucke

Regul¨ are Ausdr¨ ucke sollen eine kompakte Notation f¨ ur spezielle Sprachen sein, wobei endliche Ausdr¨ ucke hier auch unendliche Mengen beschreiben k¨ onnen.

Definition 36

Regul¨ are Ausdr¨ ucke sind induktiv definiert durch:

1

∅ ist ein regul¨ arer Ausdruck.

2

ist ein regul¨ arer Ausdruck.

3

F¨ ur jedes a ∈ Σ ist a ist ein regul¨ arer Ausdruck.

4

Wenn α und β regul¨ are Ausdr¨ ucke sind, dann sind auch (α), αβ, (α|β) (hierf¨ ur wird oft auch (α + β) geschrieben) und (α) ^∗ regul¨ are Ausdr¨ ucke.

5

Nichts sonst ist ein regul¨ arer Ausdruck.

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Zu einem regul¨ aren Ausdruck γ ist die zugeh¨ orige Sprache L(γ) induktiv definiert durch:

Definition 37

1

Falls γ = ∅, so gilt L(γ) = ∅.

2

Falls γ = , so gilt L(γ ) = {}.

3

Falls γ = a, so gilt L(γ ) = {a}.

4

Falls γ = (α), so gilt L(γ) = L(α).

5

Falls γ = αβ, so gilt

L(γ) = L(α)L(β ) = {uv; u ∈ L(α), v ∈ L(β)} .

6

Falls γ = (α | β), so gilt

L(γ ) = L(α) ∪ L(β) = {u; u ∈ L(α) ∨ u ∈ L(β )} .

7

Falls γ = (α) ^∗ , so gilt

L(γ) = L(α) ^∗ = {u ₁ u 2 . . . u n ; n ∈ N 0 , u 1 , . . . , u n ∈ L(α)} .

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Beispiel 38

Sei das zugrunde liegende Alphabet Σ = {0, 1}.

alle W¨ orter, die gleich 0 sind oder mit 00 enden:

(0 | (0 | 1) ^∗ 00) alle W¨ orter, die 0110 enthalten:

(0|1) ^∗ 0110(0|1) ^∗

alle W¨ orter, die eine gerade Anzahl von 1’en enthalten:

(0 ^∗ 10 ^∗ 1) ^∗ 0 ^∗

alle W¨ orter, die die Bin¨ ardarstellung einer durch 3 teilbaren Zahl darstellen, also

0, 11, 110, 1001, 1100, 1111, 10010, . . . Hausaufgabe!

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Satz 39

Eine Sprache L ⊆ Σ ^∗ ist genau dann durch einen regul¨ aren Ausdruck darstellbar, wenn sie regul¨ ar ist.

Beweis:

“= ⇒”:

Sei also L = L(γ ).

Wir zeigen: ∃ NFA N mit L = L(N ) mit Hilfe struktureller Induktion.

Induktionsanfang: Falls γ = ∅, γ = , oder γ = a ∈ Σ, so folgt die Behauptung unmittelbar.

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Induktionsschritt:

γ = αβ:

nach Induktionsannahme ∃ NFA N α und N _β mit L(N α ) = L(α) und L(N β ) = L(β) .

q ₀ q

q

q

q

q _f

N _α N _β

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Induktionsschritt (Forts.):

γ = (α | β):

nach Induktionsannahme ∃ NFA N α und N _β mit L(N α ) = L(α) und L(N _β ) = L(β) .

q ₀

q

q

q

q

q _f

N α

N _β

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Induktionsschritt (Forts.):

γ = (α) ^∗ :

nach Induktionsannahme ∃ NFA N α mit L(N α ) = L(α) .

q 0 q

q

q _f N α

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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“⇐ =”:

Sei M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) ein deterministischer endlicher Automat.

Wir zeigen: es gibt einen regul¨ aren Ausdruck γ mit L(M ) = L(γ).

Sei Q = {q ₀ , . . . , q _n }. Wir setzen

R _ij ^k :={w ∈ Σ ^∗ ; die Eingabe w ¨ uberf¨ uhrt den im Zustand q _i gestarteten Automaten in den Zustand q _j , wobei alle zwischendurch durchlaufenen Zust¨ ande einen Index kleiner gleich k haben}

Behauptung: F¨ ur alle i, j ∈ {0, . . . , n} und alle k ∈ {−1, 0, 1, . . . , n} gilt:

Es gibt einen regul¨ aren Ausdruck α ^k _ij mit L(α ^k _ij ) = R ^k _ij .

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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Bew.:

Induktion ¨ uber k:

k = −1: Hier gilt

R ⁻¹ _ij :=

( {a ∈ Σ; δ(q _i , a) = q _j }, falls i 6= j {a ∈ Σ; δ(q i , a) = q j } ∪ {}, falls i = j

R ⁻¹ _ij ist also endlich und l¨ asst sich daher durch einen regul¨ aren Aus- druck α ⁻¹ _ij beschreiben.

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Bew.:

Induktion ¨ uber k:

k ⇒ k + 1: Hier gilt

R ^k+1 _ij = R ^k _ij ∪ R ^k _{i k+1} (R ^k _{k+1 k+1} ) ^∗ R ^k _{k+1 j} α ^k+1 _ij = (α ^k _ij | α ^k _{i k+1} (α ^k _{k+1 k+1} ) ^∗ α ^k _{k+1 j} ) Somit gilt: L(M ) = L((α ⁿ _{0 f}

1

| α ⁿ _{0 f}

2

| · · · | α ⁿ _{0 f}

)), wobei f 1 , . . . , f r

die Indizes der Endzust¨ ande seien.

(Satz 39)

Info IV 3.7 Regul¨are Ausdr¨ucke

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3.8 Abschlusseigenschaften regul¨ arer Sprachen

Satz 40

Seien R 1 , R 2 ⊆ Σ ^∗ regul¨ are Sprachen. Dann sind auch R ₁ R ₂ , R ₁ ∪ R ₂ , R ^∗ ₁ , Σ ^∗ \ R ₁ (=: ¯ R ₁ ), R ₁ ∩ R ₂ regul¨ are Sprachen.

Beweis:

R 1 R 2 , R 1 ∪ R 2 , R ^∗ ₁ klar.

Σ ^∗ \ R 1 : Sei R 1 = L(A), A DFA, A = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), δ vollst¨ andig.

Betrachte A ⁰ = (Q, Σ, δ, q 0 , Q \ F ).

Dann ist L(A ⁰ ) = Σ ^∗ \ L(A) R ₁ ∩ R ₂ : De Morgan

Info IV 3.8 Abschlusseigenschaften regul¨arer Sprachen c

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Definition 41

Substitution (mit regul¨ aren Mengen) ist eine Abbildung, die jedem a ∈ Σ eine regul¨ are Menge h(a) zuordnet. Diese Abbildung wird kanonisch auf Σ ^∗ erweitert.

Ein Homomorphismus ist eine Substitution mit ∀a ∈ Σ : |h(a)| = 1

Satz 42

Regul¨ are Sprachen sind unter (regul¨ arer) Substitution,

Homomorphismus und inversem Homomorphismus abgeschlossen.

Info IV 3.8 Abschlusseigenschaften regul¨arer Sprachen c

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Beweis:

Wir zeigen (nur) die Behauptung f¨ ur den inversen Homomorphismus.

Sei h : ∆ → Σ ^∗ ein Homomorphismus, und sei R ⊆ Σ ^∗ regul¨ ar.

Zu zeigen: h ⁻¹ (R) ⊆ ∆ ^∗ ist regul¨ ar.

Sei A = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), L(A) = R.

Betrachte A ⁰ = (Q, ∆, δ ⁰ , q 0 , F ), mit

δ ⁰ (q, a) = δ(q, h(a)) ∀q ∈ Q, a ∈ ∆ ,

wobei wir nunmehr der Einfachheit halber statt ˆ δ nur δ schreiben.

Also gilt

δ ⁰ (q ₀ , w) = δ(q ₀ , h(w)) ∈ F ⇔ h(w) ∈ R ⇔ w ∈ h ⁻¹ (R)

Info IV 3.8 Abschlusseigenschaften regul¨arer Sprachen c

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