PL1-Strukturen – Motivation

Logik f¨ ur Informatiker Logic for Computer Scientists

Till Mossakowski

Wintersemester 2014/15

PL1-Strukturen

PL1-Strukturen – Motivation

Wie k¨onnen wir den Begriff der logischen Folgerung formaler fassen?

In der Aussagenlogik f¨uhrte die Wahrheitstafelmethode zu einer Pr¨azisierung des Begriffs “logische Folgerung”, n¨amlich zum Begriff tautologische Folgerung.

In der Pr¨adikatenlogik erster Stufe m¨ussen wir aber auch die Quantoren (∀,∃) sowie die Identit¨at (=) interpretieren.

Der Begriff der PL1-Struktur(Struktur der Pr¨adikatenlogik erster Stufe) modelliert Situationen von Tarski’s World und aber auch Situationen der realen Welt durch Verwendung der Mengenthorie.

Beispiel

PL1-Strukturen: Definition

Eine PL1-StrukturMenth¨alt

eine nichtleere MengeD^M, demGegenstandsbereich.

f¨ur jedes n-stellige Pr¨adikatensymbol P der Sprache die Menge M(P) vonn-Tupelnhx₁, . . . ,xni von Elementen ausD^M, auchExtensionvon P bezeichnet,

die Extension des Identit¨atssymbols “=” wird festgelegt als {hx,xi |x∈D^M},

f¨ur jedes n-stellige Funktionensymbolf der Sprache die n-stellige Funktion M(f): D^Mn

→D^M,

f¨ur jeden Namen (Individuenkonstante) c der Sprache ein ElementM(c) aus D^M.

Beispiel

Eine Interpretation entsprechend Tarski’s World

F¨ur eine PL1-Sprache bestehend aus den Pr¨adikatensymbolen Cube,Dodec und Larger und den Konstantena,b und c definieren wir

D^M={ , , }, M(Cube) ={ , }, M(Dodec) ={ },

M(Larger) ={( , ),( , )}, M(=) ={( , ),( , ),( , )}, M(a) = , M(b) = , M(c) = .

Eine Interpretation, die nicht Tarski’s World entspricht

D^M={ , , };

M(Cube) ={ , };

M(Dodec) =∅;

M(Larger) ={( , ),( , )};

M(=) ={( , ),( , ),( , )};

M(a) = ;M(b) = ;M(c) = .

Variablenbelegungen

EineVariablenbelegung in Mist definiert als eine (m¨oglicherweise partielle) Funktiong, welche auf einer Menge von Variablen definiert ist und Werte in der MengeD^M annimmt.

Ist eine wohlgeformte FormelP gegeben, nennen wir eine

Variablenbelegungg geeignet f¨ur P, falls alle freien Variablen von P zum Definitionsbereich von g geh¨oren, d. h. wenng jeder freien Variablen vonP einen Gegenstand zuweist.

Beispiele

D^M={ , , }

g1 belege die Variablenx,y und z mit , bzw. . g1 ist geeignet f¨ur die FormelBetween(x,y,z)∧ ∃u(Large(u)), aber nicht f¨ur Larger(x,v).

g2 sei die leere Variablenbelegung.

g2 ist nur f¨ur wohlgeformte Formeln ohne freie Variable geeignet (also f¨ur S¨atze).

Modifizierte Variablenbelegungen

Es seig eine Variablenbelegung.

Diemodifizierte Variablenbelegung g[v/b] ist definiert durch:

Der Definitionsbereich ist der vong plus der Variablenv und sie belegt die Variablen mit denselben Werten wie g,

mit Ausnahme der Variablenv, die sie mit dem Wert b belegt.

[[t]]

Es seienMeine PL1-Struktur und g eine Variablenbelegung.

F¨ur einen Termt definieren wir[[t]]^M_g durch M(t), falls t eine Individuenkonstante ist, g(t), fallst eine Variable ist,

M(f) [[t₁]]^M_g , . . . ,[[t_n]]^M_g

, fallst =f(t₁, . . . ,t_n) ist.

Erf¨ ullung (A. Tarski)

MitM|=P[g] wollen wir die Tatsache ausdr¨ucken, dass eine geeignete Variablenbelegungg die wohlgeformte FormelP in der StrukturMerf¨ullt. Wir definieren das rekursiv durch

1 M|=R(t1, . . . ,tn)[g] g.d.w.h[[t₁]]^M_g , . . . ,[[tn]]^M_g i ∈M(R),

2 M|=¬P[g] g.d.w. M6|=P[g],

3 M|=P ∧Q[g] g.d.w.M|=P[g] undM|=Q[g],

4 M|=P ∨Q[g] g.d.w.M|=P[g] oder M|=Q[g] oder beide,

5 M|=P →Q[g] g.d.w. M6|=P[g] oderM|=Q[g] oder beide,

6 M|=P ↔Q[g] g.d.w. (M|=P[g] g.d.w.M|=Q[g]),

7 M|=∀x P[g] g.d.w. M|=P[g[x/d]] f¨ur alle d ∈D^M,

8 M|=∃x P[g] g.d.w. M|=P[g[x/d]] f¨ur eind ∈D^M. Dabei bedeutetM6|=P[g], dassM|=P[g] nicht gilt.

Erf¨ ullung, Fortsetzung

Außerdem definieren wir noch M6|=⊥[g],

M|=>[g].

Ein SatzP ist in der StrukturM wahr, in Zeichen M|=P,

genau dann, wennM|=P[g_∅] gilt, also wenn die leere Variablenbelegungg_∅ den SatzP in Merf¨ullt.

Beispiel

D^M={a,b,c}

M(Likes) ={ha,ai,ha,bi,hc,ai}

M|=∃x∃y(Likes(x,y)∧ ¬Likes(y,y)) M|=¬∀x∃y(Likes(x,y)∧ ¬Likes(y,y))

Erf¨ ullungsinvarianz

Satz 1Es seienM₁ und M₂ Strukturen mit demselben Gegenstandsbereich, zudem ordnen sie den Pr¨adikaten und Konstanten in einer WffP dieselben Interpretationen zu. Ferner seieng₁ und g₂ Variablenbelegungen, die den freien Variablen inP dieselben Objekte zuweisen. Dann gilt

M₁|=P[g₁] genau dann, wenn M₂|=P[g₂].

PL1-Wahrheit und PL1-Folgerung

Ein SatzP ist eine PL1-Folgerungaus einer MengeT von S¨atzen genau dann, wenn jede Struktur, die alle S¨atze aus T erf¨ullt, auch P erf¨ullt.

Ein SatzP ist eine PL1-Wahrheit genau dann, wenn jede Struktur P erf¨ullt.

Eine MengeT von S¨atzen heißt PL1-erf¨ullbargenau dann, wenn es eine Struktur gibt, die alle S¨atze aus T erf¨ullt.

Korrektheit von F f¨ ur PL1

TheoremWenn T `S gilt, dann istS eine PL1-Folgerung der MengeT.

Beweis:Durch vollst¨andige Induktion ¨uber die Anzahl der Beweisschritte.

Wir werden zeigen, dass jeder Satz, der in einem Schritt im Rahmen eines Beweises auftritt, eine PL1-Folgerung aus denjenigen Annahmen ist, die zu diesem Schritt in Kraft sind.

Eine Annahme ist in einem Schrittin Kraft, falls sie eine Annahme des aktuellen Unterbeweises ist oder eine vorherige Annahme eines Beweises einer h¨oheren Ebene.