OR – Mathematische Grundlagen Übungsaufgaben Serie 2 - Lösungen

OR – Mathematische Grundlagen

Übungsaufgaben Serie 2 - Lösungen

1. Seien H₁,...,H₈ die erzeugenden Hyperebenen des zulässigen Bereichs (in Reihenfolge der Restriktionen).

Der Punkt (2, 2, 2, 0)^T erfüllt die 4. Restriktion nicht, ist also unzulässig und damit auch keine Ecke.

(3, 3, 1, 3)^T liegt auf H₁, H₂, H₃ und H₄. Dieser Punkt ist zulässig und die Normalenvektoren der 4 Hyperebenen sind linear unabhängig, also ist er Ecke des zulässigen Bereichs.

(0, 0, 6, 4)^T liegt auf H₁, H₂, H₅ und H₆. und ist ebenfalls zulässig. Aber für die Normalenvektoren a₁, a₂, a₅, a₆ gilt

1 2 5 6

1 1 1 1 1 -1 0 0

det( , , , ) 0

1 0 0 0 0 1 0 0

a a a a = = ,

also sind diese 4 Hyperebenen nicht linear unabhängig und der Punkt ist nach Satz 1.3 keine Ecke (sondern innerer Punkt einer Kante, weil Rang (a₁, a₂, a₅, a₆) = 3 ).

2. a) Der Punkt (0, 0, 1)^T ist

1. zulässig, weil er alle Restriktionen erfüllt, 2. liegt auf den 3 Ebenen H₁, H₃, H₄ und 3. diese 3 Ebenen sind linear unabhängig, denn

1 0

0 1 0

0 0 1

1 1 - 1 ) , ,

(a₁ a₃ a₄ = = ≠

Det ,

also ist er nach Satz 1.3 Ecke von B.

b) Um zu einer benachbarten Ecke zu gelangen, ist genau eine der 3 Ebenen H₁, H₃, H₄ durch eine andere (H₂ oder H₅) zu ersetzen, so dass alle wieder linear unabhängig sind.

Ebenen Normalenvektoren linear unabhängig?

Schnittpunkt zulässig? Ecke?

H₂, H₃, H₄ nein ex. nicht

H₅, H₃, H₄ ja (0, 0, 0)^T nein, (1) verletzt nein

H₁, H₂, H₄ ja (5, 0, -4)^T nein, (5) verletzt nein

H₁, H₅, H₄ ja (1, 0, 0)^T ja ja

H₁, H₃, H₂ ja (0, 5, 6)^T ja ja

H₁, H₃, H₅ ja (0, -1, 0)^T nein, (4) verletzt nein

Also sind (1, 0, 0)^T und (0, 5, 6)^T die zu (0, 0, 1)^T benachbarten Ecken.

3.

Basisvariable x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ Basislösung? zulässig? z optimal?

x₁, x₂, x₃ 8 2 25 0 0 ja ja -66 ja

x₁, x₂, x₄ 2 5 0 15/4 0 ja ja -53,25 nein

x₁, x₂, x₅ - - 0 0 -

x₁, x₃, x₄ 12 0 125/3 -5/2 0 ja nein

x₁, x₃, x₅ 7 0 25 0 5/3 ja ja -38,67 nein

x₁, x₄, x₅ -1/2 0 0 15/4 25/6 ja nein

x₂, x₃, x₄ 0 6 -25/3 5 0 ja nein

x₂, x₃, x₅ 0 -14 25 0 40/3 ja nein

x₂, x₄, x₅ 0 1 0 15/4 10/3 ja ja 1,42 nein

x₃, x₄, x₅ 0 0 5/3 7/2 4 ja ja 11,5 nein