HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de
Zusatz. Übung zur Vorlesung „Modellierung“ Wintersemester 2018/19 Lösungen bis 13. Januar 2019 einzusenden im Opal-Kurs zum Modul:
https://bildungsportal.sachsen.de/opal/auth/RepositoryEntry/18403753993
Aufgabe Zusatz.1
Geben Sie vier MengenA, B, C, Dan, so dassA∩B =C∩D=∅,A∩C 6=∅,1∈A∩D,B∩C ={2}, B∩D={3}und B\(C∪D)6=∅ gilt.
Aufgabe Zusatz.2
Welche der folgenden Aussagen sind für jedes beliebige Paar von Mengen (A, B)∈(2M)2 wahr und welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. (A⊆B)→(A\B6=∅), b. (B ⊆A)→(B∩A=B),
c. (A⊆B)→(A\B=∅), d. (A⊆B)→(A∪B =A),
e. (B ⊆A)→(A\B6=∅).
Aufgabe Zusatz.3
Welche der folgenden Aussagen gelten für die MengeM = 2{0,1}∪ {0}?
Begründen Sie Ihre Antworten.
a. ∅ ∈M b. ∅ ⊆M
c. {∅} ∈M d. {∅} ⊆M
e. 0∈M f. 0⊆M
g. {0} ∈M h. {0} ⊆M
i. {{0}} ⊆M j. {{0,1}} ∈M k. {0,{1}} ⊆M
l. {{0},{1}} ⊆M
Aufgabe Zusatz.4
Geben Sie für endliche MengenA undB an, wieviele a. einstellige Relationen R⊆A existieren,
b. zweistellige RelationenR⊆A×B existieren, c. binäre RelationenR⊆A2 existieren,
d. n-stellige RelationenR⊆An existieren, e. nullstellige Relationen R⊆A0 existieren,
f. einstellige Funktionen f :A→B existieren, g. einstellige Funktionen f :B →Aexistieren,
i. n-stellige Funktionenf :An→B existieren, j. nullstellige Funktionen f :A0 →B existieren, k. einstellige Funktionenf :A→ {0,1}existieren,
l. zweistellige Funktionenf :A2 → {0,1} existieren, m. n-stellige Funktionenf :An→ {0,1}existieren,
n. nullstellige Funktionen f :A0 → {0,1}existieren,
o. einstellige boolesche Funktionen f :{0,1} → {0,1} existieren, p. zweistellige boolesche Funktionen f :{0,1}2 → {0,1}existieren, q. n-stellige boolesche Funktionenf :{0,1}n→ {0,1} existieren.
r. nullstellige boolesche Funktionenf :{0,1}0→ {0,1} existieren.
Aufgabe Zusatz.5
Welche der folgenden Aussagen gelten für alle binären Relationen R ⊆ M2 auf Mengen M 6= ∅ ? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv.
b. Jede irreflexive Relation ist asymmetrisch.
c. Jede antisymmmetrische Relation ist asymmetrisch.
d. Jede transitive irreflexive Relation ist asymmetrisch.
Aufgabe Zusatz.6
Jede Funktion f :A−→B definiert auf dem MengeA eine zweistellige Relation Rf ⊆A×A durch Rf ={(x, y)|f(x) =f(y)}
a. Zeigen Sie, dass die RelationRf für jede Funktionf eine Äquivalenzrelation ist.
b. In wieviele Äquivalenzklassen teilt die durch die Funktion g:N−→N mit g(n) =bn3c definierte Relation Rg die MengeN?
Zeigen Sie, dass diese Äquivalenzklassen gleichmächtig sind.
c. Sind alle Äquivalenzklassen der durch die Funktion h:N+−→N mit h(n) =dlog3nedefinierte Relation Rh gleichmächtig?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe Zusatz.7
Zeigen Sie dass das lexikographische Produkt(R·S)zweier totaler OrdnungenR⊆M2 undS⊆M2 eine totale Ordnung ist.
Aufgabe Zusatz.8
Die Relation R⊆N×N ist definiert durchR={(m, n)| ∃a∈N(am=n)}.
Geben Sie für jede Zahlk∈ {0,2,3,4,6,12} an:
a. π2 R|{k}
b. π2 R−1|{k}
Aufgabe Zusatz.9
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antworten:
a. Wieviele Kanten hat derK13? b. Wieviele Kanten hat derK15,27?
c. Für welche n∈Nenthält der Kneinen Eulerkreis?
d. Für welche n∈Nenthält der Kneinen bipartiten Teilgraphen?
e. Für welche n∈Nenthält der Kneinen bipartiten induzierten Teilgraphen?
f. Für welche n∈Nenthält der Kneinen bipartiten aufspannenden Teilgraphen?
g. Geben Sie alle Zahlenn an, für dieKn ein Teilgraph desC5 ist.
h. Geben Sie alle Zahlenn an, für dieC5 ein Teilgraph desKn ist.
i. Geben Sie alle Zahlenn an, für dieCnein Teilgraph des K5 ist.
Aufgabe Zusatz.10
Eine GraphG, der isomorph zu seinem KomplementG ist, heißt selbstkomplementär.
a. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 4 Ecken an.
b. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 5 Kanten an.
c. Für welche n≤10 gibt es selbstkomplementäre Graphen mit nKnoten? Begründen Sie.
Aufgabe Zusatz.11
Beantworten Sie folgenden Fragen für den Graphen GraphP = (V, E) mit V = {1,...,5}2
und E={{M, N} ∈ V2
|M∩N =∅}. Begründen Sie Ihre Antworten.
a. Wieviele Ecken und Kanten hat der GraphP? b. Existiert ein Eulerweg im Graphen P?
c. Existiert ein Hamiltonpfad im GraphenP? d. Existiert ein Hamiltonkreis im GraphenP?
e. Ist der Graph P bipartit?
f. Bestimmen Sie die chromatische Zahl von P.
Aufgabe Zusatz.12
Zeigen Sie, dass es keinen zusammenhängenden (ungerichteten schlingenfreien) Graphen mitnKnoten und weniger alsn−1 Kanten gibt.
Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Halbordnungen auf der Menge aller endlichen Graphen sind:
a. Teilgraph
b. induzierter Teilgraph c. aufspannender Teilgraph
Aufgabe Zusatz.14
a. Beschreiben Sie die folgenden Sachverhalte durch logische Formeln:
Tom hat drei Paar Schuhe: ein Paar rote Stiefel, ein Paar blaue Stiefel und ein Paar grüne Halbschuhe. E trägt immer genau eines dieser Paare.
• Seine grünen Schuhe trägt er immer, wenn kein Schnee liegt.
• Liegt Schnee, dann trägt er Stiefel.
• Wenn die Sonne nicht scheint, trägt er seine gelbe Jacke.
• Seine Freundin mag kein Rot, deshalb trägt er nie etwas rotes, wenn er sie besucht.
• Tom trägt nie gelb und blau zugleich.
Verwenden Sie dazu nur die Aussagevariablen:
G – Tom trägt grüne Schuhe R – Tom trägt rote Stiefel.
B – Tom trägt blaue Stiefel.
J – Tom trägt seine gelbe Jacke.
F – Tom besucht seine Freundin.
S – Es liegt Schnee.
O – Die Sonne scheint.
b. Bei welchem Wetter kann Tom seine Freundin mit Jacke besuchen? Welche Schuhe trägt er dabei?
Aufgabe Zusatz.15
Finden Sie die Modellmengen für die Formel ϕ = ¬((p → (q∧ ¬r)) ↔ (¬p∨(q ↔ r))) und ihre Negation¬ϕ.
Aufgabe Zusatz.16
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
a∧b ≡ ¬(a→ ¬b) (1)
(¬a∨b)∧(a∨b) ≡ b (2)
a∨b ≡ ¬a→b (3)
((a→b)∧(b→c)) ≡ ((a∨b)→c) (4)
a↔b ≡ (a→b)∧(b→a) (5)
(a∧(a→b)) ≡ b (6)
Begründen Sie jede Ihrer Antworten durch äquivalente Umformungen oder Angabe eines Gegen- beispieles.
Aufgabe Zusatz.17
a. Geben Sie fürP ={p, q, r, s}eine aussagenlogische Formel ϕ∈AL(P)an, die genau von allen Belegungen erfüllt wird, unter denen mindestens zwei der Atome falsch sind.
b. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel ψ∈AL(P) in DNF an.
c. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel η∈AL(P) in CNF an.
Aufgabe Zusatz.18
Überlegen Sie sich, wie Eulersche Quadrate der Größen×ndurch aussagenlogische Formeln in CNF modelliert werden können. Informationen zu Eulerschen Quadraten finden Sie z.B. unter
http://www.spektrum.de/euler.
a. Wieviele Aussagenvariablen werden benötigt? Welche Information repräsentieren sie?
b. Wie lassen sich die Spielregeln durch aussagenlogische Formeln in CNF modellieren?
c. Wie lassen sich Eulersche Quadrate mit SAT-Solvern lösen?
Aufgabe Zusatz.19
Zeigen Sie, dass die folgenden Strukturen Halbringe sind:
a. ({0,1},XOR,·) b. 2(A∗),∪,◦
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws18/modellierung
