Analyse der Störfestigkeit nichtlinearer Schaltungen gegenüber leitungsgebundenen elektromagnetischen Störungen mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen

Adv. Radio Sci., 10, 187–192, 2012 www.adv-radio-sci.net/10/187/2012/

doi:10.5194/ars-10-187-2012

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Advances in Radio Science

Analyse der St¨orfestigkeit nichtlinearer Schaltungen gegen ¨uber

leitungsgebundenen elektromagnetischen St¨orungen mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen

S. Stegemann, W. John, and W. Mathis

Institut f¨ur theoretische Elektrotechnik, Leibniz Universit¨at Hannover, Appelstraße 9A, 30167 Hannover, Deutschland Correspondence to: S. Stegemann (stegemann@tet.uni-hannover.de)

Zusammenfassung. In dieser Arbeit wird der Einfluss von leitungsgebundenen St¨orungen untersucht, welche in einen beliebigen Eingang (Signaleingang, Spannungsversorgung, Masse-Potenzial, etc.) einer Analogschaltung einkoppeln.

Die zu untersuchende Schaltung wird dazu durch einen Wiener/Hammerstein-Ansatz als nichtlineares System mit zwei Eing¨angen modelliert. Mit Hilfe dieses Blockmodells werden analytische Ausdr¨ucke derjenigen Frequenzanteile bestimmt, die durch Intermodulationen zwischen St¨or- und Eingangssignal am Ausgang einer Schaltung entstehen.

1 Einleitung

Im Zuge der Entwicklung komplexer On-Chip-Systeme um- fassen drahtlose Kommunikationssysteme immer gr¨oßere Frequenzbereiche. Bei zeitgleicher Verringerung der Ver- sorgungsspannungen steigen dadurch zunehmend die An- forderungen an elektrische Systeme in Bezug auf die elek- tromagnetische Zuverl¨assigkeit (engl.: Electromagnetic Re- liability, kurz EMR) (Ramdani et al., 2009, 2008). Die Gew¨ahrleistung der Immunit¨at von Sensor- und Sende- /Empfangsschaltungen gegen¨uber elektromagnetischen In- terferenzen, die in der Einsatzumgebung dieser Systeme auf- treten, ist von grundlegender Bedeutung. Zur Sicherstellung eines zuverl¨assigen Betriebs m¨ussen daher geeignete Mo- dellans¨atze zur Untersuchung der St¨orfestigkeit in den Ent- wurfsprozess analoger Schaltungen einbezogen werden.

Unter Einfluss von elektromagnetischen Interferenzen (EMI) kann das Ausgangssignal einer Schaltung St¨oran- teile enthalten, die von den einkoppelnden St¨orsignalen herr¨uhren. Dadurch kann die Funktion einer elektrischen Schaltung bez¨uglich der Signal¨ubertragung beeintr¨achtigt werden. In dieser Arbeit werden ausschließlich leitungs- gef¨ahrte St¨orungen betrachtet, so dass die St¨orungen als zus¨atzliche Eingangssignale nach Abb. 1 aufgefasst wer- den k¨onnen. Diese werden durch Quellen nachgebildet, die

das St¨orsignal an einem beliebigen Eingang (Nomineller Si- gnaleingang, Spannungsversorgung, Masse-Potenzial, etc.) darstellen. Aufgrund der Kennlinien nichtlinearer Bauele- mente werden am Ausgang Frequenzanteile als Intermodu- lationen zwischen Signal und St¨orung entstehen. Im Fol- genden wird die zu untersuchende Schaltung gem¨aß eines Wiener/Hammerstein-Modells mit mehreren Eing¨angen in lineare und nichtlineare Bl¨ocke zerlegt. Mit Hilfe dieses Modells k¨onnen die Einfl¨usse von Signal und St¨orung un- tersucht und analytische Ausdr¨ucke der am Ausgang ent- stehenden Frequenzanteile bestimmt werden. Am Beispiel einer Differenz-Eingangsstufe wird dessen Verhalten bei St¨orungen auf der Versorgungsleitung untersucht.

2 EMI-Blockmodell zu Untersuchung der St¨orbeeinflussung

Aufgrund der nichtlinearen ¨Ubertragungscharakteristiken der Bauelemente einer Schaltung werden außer der Nutzfre- quenz am Ausgang einer Schaltung durch St¨orEinfl¨usse wei- tere Spektralanteile auftreten. Diese Spektralanteile k¨onnen sowohl harmonische Verzerrungen des Nutz- und des St¨orsi- gnals (Frequenzvervielfachung) als auch Intermodulationen (Mischprodukte) dieser Eingangsanregungen sein. Diejeni- gen Effekte, welche die Signal¨ubertragung eines Schaltungs- blockes unter St¨oreinfluss am st¨arksten beeinflussen, sind die entstehenden Intermodulationsprodukte am Ausgang, wel- che innerhalb des Nutzbandes auftreten k¨onnen. Da durch In- termodulationen zwischen Signal und St¨orung auch Signal- anteile bei der Frequenzf=0 Hz entstehen k¨onnen (Wam- bacq et al. , 1998; Weiner and Spina, 1980), k¨onnen aufgrund der einkoppelnden St¨orung auch die DC-Arbeitspunkte des Ausgangs und der Nachfolgenden Schaltungsblocke ver- schoben werden (sog. DC-Shift, vgl. Redout´e and Steyaert , 2010b; Loeckx, 2010). Bei der Untersuchung der Einfl¨usse von St¨orungen auf die Funktion einer Schaltung werden in

188 S. Stegemann et al.: Analyse der St¨orfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen Manuscript prepared for Adv. Radio Sci.

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Date: 3 January 2012

Analyse der Störfestigkeit nichtlinearer Schaltungen gegenüber

leitungsgebundenen elektromagnetischen Störungen mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen

S. Stegemann, W. John, and W. Mathis

Institut für theoretische Elektrotechnik, Leibniz Universität Hannover, Appelstraße 9A, D-30167 Hannover

Zusammenfassung. In dieser Arbeit wird der Einfluss von leitungsgebundenen Störungen untersucht, welche in einen beliebigen Eingang (Signaleingang, Spannungsversorgung, Masse-Potenzial, etc.) einer Analogschaltung einkoppeln.

Die zu untersuchende Schaltung wird dazu durch einen

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Wiener/Hammerstein-Ansatz als nichtlineares System mit zwei Eingängen modelliert. Mit Hilfe dieses Blockmodells werden analytische Ausdrücke derjenigen Frequenzanteile bestimmt, die durch Intermodulationen zwischen Stör- und Eingangssignal am Ausgang einer Schaltung entstehen.

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1 Einleitung

Im Zuge der Entwicklung komplexer On-Chip-Systeme um- fassen drahtlose Kommunikationssysteme immer größere Frequenzbereiche. Bei zeitgleicher Verringerung der Ver- sorgungsspannungen steigen dadurch zunehmend die An-

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forderungen an elektrische Systeme in Bezug auf die elek- tromagnetische Zuverlässigkeit (engl.: Electromagnetic Re- liability, kurz EMR) (Ramdani et. al. , 2009)(Ramdani et.

al. , 2008). Die Gewährleistung der Immunität von Sensor- und Sende-/Empfangsschaltungen gegenüber elektromagne-

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tischen Interferenzen, die in der Einsatzumgebung dieser Sy- steme auftreten, ist von grundlegender Bedeutung. Zur Si- cherstellung eines zuverlässigen Betriebs müssen daher ge- eignete Modellansätze zur Untersuchung der Störfestigkeit in den Entwurfsprozess analoger Schaltungen einbezogen wer-

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den.

Unter Einfluss von elektromagnetischen Interferenzen (EMI) kann das Ausgangssignal einer Schaltung Störanteile enthalten, die von den einkoppelnden Störsignalen herrüh- ren. Dadurch kann die Funktion einer elektrischen Schal-

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tung bezüglich der Signalübertragung beeinträchtigt wer- den. In dieser Arbeit werden ausschließlich leitungsgeführ- Correspondence to: S. Stegemann

(stegemann@tet.uni-hannover.de)

Netzwerk mit

nichtlinearen Elementen

Abb. 1. Störeinfluss auf eine Schaltung mit nichtlinearen Elementen

te Störungen betrachtet, so dass die Störungen als zusätz- liche Eingangssignale nach Abb. 1 aufgefasst werden kön- nen. Diese werden durch Quellen nachgebildet, die das

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Störsignal an einem beliebigen Eingang (Nomineller Si- gnaleingang, Spannungsversorgung, Masse-Potenzial, etc.) darstellen. Aufgrund der Kennlinien nichtlinearer Bauele- mente werden am Ausgang Frequenzanteile als Intermodu- lationen zwischen Signal und Störung entstehen. Im Fol-

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genden wird die zu untersuchende Schaltung gemäß eines Wiener/Hammerstein-Modells mit mehreren Eingängen in li- neare und nichtlineare Blöcke zerlegt. Mit Hilfe dieses Mo- dells können die Einflüsse von Signal und Störung unter- sucht und analytische Ausdrücke der am Ausgang entste-

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henden Frequenzanteile bestimmt werden. Am Beispiel ei- ner Differenz-Eingangsstufe wird dessen Verhalten bei Stö- rungen auf der Versorgungsleitung untersucht.

2 EMI-Blockmodell zu Untersuchung der Störbeein- flussung

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Aufgrund der nichtlinearen Übertragungscharakteristiken der Bauelemente einer Schaltung werden außer der Nutzfre- quenz am Ausgang einer Schaltung durch Störeinflüsse wei- tere Spektralanteile auftreten. Diese Spektralanteile können Abb. 1. St¨oreinfluss auf eine Schaltung mit nichtlinearen Elemen- ten.

der Literatur dabei zumeist St¨orungen betrachtet, welche am nominellen Signaleingang einkoppeln (f¨ur Eingangsstufen s. z.B. Fiori, 2002; Redout´e and Steyaert, 2010a). Um die Frequenzabh¨angigkeit des Einflusses einer St¨orung an einem Nicht-Signaleingang auf eine nichtlineare Schaltung zu be- schreiben, kann der St¨orpfad als lineare ¨Ubertragungsfunk- tion beschrieben werden. Beispielhaft soll die Differenzstu- fe nach Abb. 2 bei St¨orung der SpannungsversorgungUDD

betrachtet werden. Eine St¨orungudis(t ), die der konstanten Versorgungsspannung ¨uberlagert ist, wird ¨uber den als Diode geschalteten TransistorT5 sowie ¨uber den Stromspiegel T3

undT4den Bias-Stromi0(t )des Differenz-PaaresT1undT2

ver¨andern. Das Differenzpaar, bestehend aus den Transisto- renT1undT2, bildet die nichtlineare ¨Ubertragungsfunktion der Gesamtschaltung. Der frequenzabh¨angige (dynamische) Einfluss vonu_dis(t )auf diese Nichtlinearit¨at kann beschrie- ben werden durch die ¨UbertragungsfunktionH_dis(f_dis):

H_dis(f_dis)=Ugs,3(fdis)

U_dis(f_dis) (1)

Aufgrund von St¨orungen der Versorgungsleitungen wird die Gate-Source-Spannungugs,3(t )vonT3und damit der Strom i0(t )zeitabh¨angig. Die Ausgangsstr¨omei1(t )undi2(t )wer- den aufgrund der nichtlinearen ¨Ubertragungscharakteristik Signalanteile vonudis(t )enthalten (vgl. Prinzip des Single- Balanced-Mixer).

F¨ur eine vollst¨andige Beschreibung aller Signalanteile, muss eine entsprechende ¨Ubertragungsfunktion Hin auch f¨ur den Signalpfad aufgestellt werden. Die zu untersuchen- de Schaltung wird demnach in lineare, dynamische Bl¨ocke und einen nichtlinearen Block mit zwei Eing¨angen aufge- trennt (s. Abb. 3). Die beiden linearen Bl¨ocke sind dabei durch ihre ¨UbertragungsfunktionenH_in(f_in)undH_dis(f_dis) vollst¨andig beschrieben. Die Zwischengr¨oßenx˜_inundx˜_disf¨ur die gefilterten Eingangssignalex_in(t )= ˆX_incos(2πf_int )und xdis(t )= ˆXdiscos(2πfdist )ergeben sich zu:

x˜_in(t )= ˆX_inH_in(f_in)cos(2πf_int ), (2) x˜dis(t )= ˆXdisHdis(fdis)cos(2πf_dist ). (3) Der BlockH_in stellt den Frequenzgang des Signalpfades undH_disden Frequenzgang des St¨orpfades dar (Stegemann,

2 S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen sowohl harmonische Verzerrungen des Nutz- und des Stör-

signals (Frequenzvervielfachung) als auch Intermodulatio- nen (Mischprodukte) dieser Eingangsanregungen sein. Die- jenigen Effekte, welche die Signalübertragung eines Schal- tungsblockes unter Störeinfluss am stärksten beeinflussen, sind die entstehenden Intermodulationsprodukte am Aus- gang, welche innerhalb des Nutzbandes auftreten können.

Da durch Intermodulationen zwischen Signal und Störung auch Signalanteile bei der Frequenzf= 0Hzentstehen kön- nen (Wambacq et. al. , 1998) (Weiner and Spina , 1980), können aufgrund der einkoppelnden Störung auch die DC- Arbeitspunkte des Ausgangs und der Nachfolgenden Schal- tungsblocke verschoben werden (sog. DC-Shift, vgl. (Re- douté and Steyaert , 2010b)(Loeckx , 2010)). Bei der Un- tersuchung der Einflüsse von Störungen auf die Funktion ei- ner Schaltung werden in der Literatur dabei zumeist Störun- gen betrachtet, welche am nominellen Signaleingang einkop- peln (für Eingangsstufen s. z.B. (Fiori , 2002) (Redouté and Steyaert , 2010a). Um die Frequenzabhängigkeit des Ein- flusses einer Störung an einem Nicht-Signaleingang auf ei- ne nichtlineare Schaltung zu beschreiben, kann der Störpfad als lineare Übertragungsfunktion beschrieben werden. Bei- spielhaft soll die Differenzstufe nach Abb. 2 bei Störung der SpannungsversorgungUDDbetrachtet werden. Eine Störung udis(t), die der konstanten Versorgungsspannung überlagert ist, wird über den als Diode geschalteten TransistorT⁵sowie über den StromspiegelT3undT4 den Bias-Stromi0(t)des Differenz-Paares T1 undT2 verändern. Das Differenzpaar, bestehend aus den TransistorenT1undT2, bildet die nicht- lineare Übertragungsfunktion der Gesamtschaltung. Der fre- quenzabhängige (dynamische) Einfluss vonudis(t)auf diese Nichtlinearität kann beschrieben werden durch die Übertra- gungsfunktionHdis(fdis):

Hdis(fdis) =Ugs,3(fdis)

Udis(fdis) (1) Aufgrund von Störungen der Versorgungsleitungen wird die Gate-Source-Spannungugs,3(t)vonT3und damit der Strom i0(t)zeitabhängig. Die Ausgangsströmei1(t)undi2(t)wer- den aufgrund der nichtlinearen Übertragungscharakteristik Signalanteile vonudis(t)enthalten (vgl. Prinzip des Single- Balanced-Mixer).

Für eine vollständige Beschreibung aller Signalanteile, muss eine entsprechende ÜbertragungsfunktionHin auch für den Signalpfad aufgestellt werden. Die zu untersuchende Schal- tung wird demnach in lineare, dynamische Blöcke und einen nichtlinearen Block mit zwei Eingängen aufgetrennt (s. Abb.

3). Die beiden linearen Blöcke sind dabei durch ihre Über- tragungsfunktionenHin(fin)undHdis(fdis)vollständig be- schrieben. Die Zwischengrößen˜xinundx˜disfür die gefilter- ten Eingangssignalexin(t) = ˆXincos(2πfint)undxdis(t) = Xˆdiscos(2πfdist)ergeben sich zu:

˜

xin(t) = ˆXinHin(fin)cos(2πfint), (2)

˜

xdis(t) = ˆXdisHdis(fdis)cos(2πfdist). (3)

Abb. 2. Differenz-Eingangsstufe

Der Block Hin stellt den Frequenzgang des Signalpfades undHdisden Frequenzgang des Störpfades dar (Stegemann , 2011). Auf diese Weise ist es möglich, die Unterschiedlichen Übertragungscharakteristiken von Stör- und Eingangssignal zu berücksichtigen. Die zu untersuchunde Schaltung ist also in demjenigen Frequenzbereich am Störanfälligsten, in dem Hdis(fdis)die größte Verstärkung aufweist.

Im Folgenden soll der nichtlineare Block keine weitere Dy- namik enthalten, so dass seine statische, zweidimensiona- le Kennlinie durch das folgende multivariates Polynom be- schrieben werden kann:

y(t) =

N

X

i=0 N−i

X

j=0

aijx˜ⁱ_in(t)˜x^j_dis(t) (4) Hierbei aij die sog. Nichtlinearitätskoeffizienten (vgl.

(Wambacq et. al. , 1998)). Die Summen in Gl. (4) können wie folgt umgeschrieben werden:

y(t) =a⁰⁰+

N

X

i=0

aj0x˜^j_in(t) +

N

X

j=0

a0jx˜^j_dis(t)+

+

N

X

k=1 N

X

l=1

akl˜x^k_in(t)˜x^l_dis(t) (5) Die ersten beiden Summen in Gl. (5) bestimmen ausschließ- lich Mischprodukte der an den Eingängen x˜in und x˜dis

Polynomial, mehrdimen- sional, statisch

Abb. 3. Blockmodell zur Störuntersuchung Abb. 2. Differenz-Eingangsstufe.

sowohl harmonische Verzerrungen des Nutz- und des Stör- signals (Frequenzvervielfachung) als auch Intermodulatio- nen (Mischprodukte) dieser Eingangsanregungen sein. Die- jenigen Effekte, welche die Signalübertragung eines Schal- tungsblockes unter Störeinfluss am stärksten beeinflussen, sind die entstehenden Intermodulationsprodukte am Aus- gang, welche innerhalb des Nutzbandes auftreten können.

Da durch Intermodulationen zwischen Signal und Störung auch Signalanteile bei der Frequenzf= 0Hzentstehen kön- nen (Wambacq et. al. , 1998) (Weiner and Spina , 1980), können aufgrund der einkoppelnden Störung auch die DC- Arbeitspunkte des Ausgangs und der Nachfolgenden Schal- tungsblocke verschoben werden (sog. DC-Shift, vgl. (Re- douté and Steyaert , 2010b)(Loeckx , 2010)). Bei der Un- tersuchung der Einflüsse von Störungen auf die Funktion ei- ner Schaltung werden in der Literatur dabei zumeist Störun- gen betrachtet, welche am nominellen Signaleingang einkop- peln (für Eingangsstufen s. z.B. (Fiori , 2002) (Redouté and Steyaert , 2010a). Um die Frequenzabhängigkeit des Ein- flusses einer Störung an einem Nicht-Signaleingang auf ei- ne nichtlineare Schaltung zu beschreiben, kann der Störpfad als lineare Übertragungsfunktion beschrieben werden. Bei- spielhaft soll die Differenzstufe nach Abb. 2 bei Störung der SpannungsversorgungUDDbetrachtet werden. Eine Störung udis(t), die der konstanten Versorgungsspannung überlagert ist, wird über den als Diode geschalteten TransistorT5sowie über den StromspiegelT3undT4 den Bias-Stromi0(t)des Differenz-PaaresT1 undT2 verändern. Das Differenzpaar, bestehend aus den TransistorenT¹undT², bildet die nicht- lineare Übertragungsfunktion der Gesamtschaltung. Der fre- quenzabhängige (dynamische) Einfluss vonudis(t)auf diese Nichtlinearität kann beschrieben werden durch die Übertra- gungsfunktionHdis(fdis):

Hdis(fdis) =Ugs,3(fdis)

Udis(fdis) (1) Aufgrund von Störungen der Versorgungsleitungen wird die Gate-Source-Spannungugs,3(t)vonT³und damit der Strom i0(t)zeitabhängig. Die Ausgangsströmei1(t)undi2(t)wer- den aufgrund der nichtlinearen Übertragungscharakteristik Signalanteile vonudis(t)enthalten (vgl. Prinzip des Single- Balanced-Mixer).

Für eine vollständige Beschreibung aller Signalanteile, muss eine entsprechende ÜbertragungsfunktionHin auch für den Signalpfad aufgestellt werden. Die zu untersuchende Schal- tung wird demnach in lineare, dynamische Blöcke und einen nichtlinearen Block mit zwei Eingängen aufgetrennt (s. Abb.

3). Die beiden linearen Blöcke sind dabei durch ihre Über- tragungsfunktionenHin(fin)undHdis(fdis)vollständig be- schrieben. Die Zwischengrößen˜xinundx˜disfür die gefilter- ten Eingangssignalexin(t) = ˆXincos(2πfint)undxdis(t) = Xˆdiscos(2πfdist)ergeben sich zu:

˜

xin(t) = ˆXinHin(fin)cos(2πfint), (2)

˜

xdis(t) = ˆXdisHdis(fdis)cos(2πfdist). (3)

Abb. 2. Differenz-Eingangsstufe

Der Block Hin stellt den Frequenzgang des Signalpfades undHdisden Frequenzgang des Störpfades dar (Stegemann , 2011). Auf diese Weise ist es möglich, die Unterschiedlichen Übertragungscharakteristiken von Stör- und Eingangssignal zu berücksichtigen. Die zu untersuchunde Schaltung ist also in demjenigen Frequenzbereich am Störanfälligsten, in dem Hdis(fdis)die größte Verstärkung aufweist.

Im Folgenden soll der nichtlineare Block keine weitere Dy- namik enthalten, so dass seine statische, zweidimensiona- le Kennlinie durch das folgende multivariates Polynom be- schrieben werden kann:

y(t) =

N

X

i=0 N−i

X

j=0

aijx˜ⁱ_in(t)˜x^j_dis(t) (4) Hierbei aij die sog. Nichtlinearitätskoeffizienten (vgl.

(Wambacq et. al. , 1998)). Die Summen in Gl. (4) können wie folgt umgeschrieben werden:

y(t) =a00+

N

X

i=0

aj0x˜^j_in(t) +

N

X

j=0

a0jx˜^j_dis(t)+

+

N

X

k=1 N

X

l=1

aklx˜^k_in(t)˜x^l_dis(t) (5) Die ersten beiden Summen in Gl. (5) bestimmen ausschließ- lich Mischprodukte der an den Eingängen x˜in und x˜dis

Polynomial, mehrdimen- sional, statisch

Abb. 3. Blockmodell zur Störuntersuchung Abb. 3. Blockmodell zur St¨oruntersuchung.

2011). Auf diese Weise ist es m¨oglich, die Unterschiedlichen Ubertragungscharakteristiken von St¨or- und Eingangssignal¨ zu ber¨ucksichtigen. Die zu untersuchunde Schaltung ist also in demjenigen Frequenzbereich am St¨oranf¨alligsten, in dem Hdis(fdis)die gr¨oßte Verst¨arkung aufweist.

Im Folgenden soll der nichtlineare Block keine weitere Dynamik enthalten, so dass seine statische, zweidimensiona- le Kennlinie durch das folgende multivariates Polynom be- schrieben werden kann:

y(t )=

N

X

i=0 N−i

X

j=0

aijx˜_inⁱ (t )x˜_dis^j (t ) (4) Hierbeiaij die sog. Nichtlinearit¨atskoeffizienten (vgl. Wam- bacq et al. , 1998). Die Summen in Gl. (4) k¨onnen wie folgt umgeschrieben werden:

y(t )=a00+

N

X

i=0

aj0x˜^j_in(t )+

N

X

j=0

a0jx˜_dis^j (t )+

+

N

X

k=1 N

X

l=1

aklx˜_in^k(t )x˜_dis^l (t ) (5) Die ersten beiden Summen in Gl. (5) bestimmen aus- schließlich Mischprodukte der an den Eing¨angenx˜_inundx˜_dis anliegenden Frequenzanteile. Die Intermodulationen zwi- schen Signal und St¨orung werden durch die letzte Summe

Adv. Radio Sci., 10, 187–192, 2012 www.adv-radio-sci.net/10/187/2012/

S. Stegemann et al.: Analyse der St¨orfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 189 S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 3

Abb. 4. Blockmodell: Aufteilung der multivariaten Nichtlinearität

anliegenden Frequenzanteile. Die Intermodulationen zwi- schen Signal und Störung werden durch die letzte Summe bestimmt. Mit Hilfe von Gl. (5) ergibt sich das äquivalente

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Blockmodell nach Abb. 4. Mit Hilfe dieser Blockstruktur können Einflüsse von Signal und Störung bezüglich der entstehenden Frequenzanteile im Ausgangssignal y(t) ge- trennt untersucht werden. Durch Nullsetzen einer der beiden Eingängex˜inoderx˜dislässt sich das Modell in Abb. 4 auf

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ein klassisches Wiener/Hammerstein-Modell zurückführen, welches aus der Reihenschaltung eines linearen, dynami- schen Blockes und eines statischen nichtlinearen Blockes besteht.

Die Störuntersuchung nichtlinearer Analogschaltungen mit

65

Hilfe des in Abbildung 3 dargestellten Modells wird nun wie folgt durchgeführt. Zunächst werden die Übertragungsfunk- tionenHin und Hdis bestimmt. Diese können z.B. durch eine Kleinsignalanalyse für die im Arbeitspunkt linearisierte Schaltung für den Stör- bzw. den Signalpfad berechnet

70

werden. Anhand des Frequenzganges des Störsignals wird derjenige Frequenzbereich identifiziert, in dem die Stö- rungen die Signalübertragung der Schaltung am stärksten beeinflussen.

Im zweiten Schritt wird die multivariate Funktion

75

F(˜xin,x˜dis) des nichtlinearen Blockes bestimmt. Im folgenden Abschnitt wird diese Funktion mit Hilfe des Verfahrens der nichtlinearen Quellen bestimmt. Bei diesem Verfahren werden die Ströme und Spannungen gemäß der Annahmen zur Volterra-Analyse als additive Überlagerung

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der nichtlinearen Antworten verschiedener Ordnungen berechnet (s. z.B. (Maas , 2003), Kapitel 4). Mit Hilfe der FunktionF(˜xin,x˜dis) können für Eingangssignalexin

und xdis, die sich als Linearkombination von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen lassen, die Ausgangsamplitu-

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den an denjenigen Frequenzen bestimmt werden, die sich durch Intermodulationen zwischen Eingangs- und Störsignal ergeben.

2.1 Charakterisierung der Nichtlinearität

Da das dynamische Verhalten des Gesamtsystems nach Abb.

3 durch die Übertragungsfunktionen der linearen BlöckeHin

undHdis beschrieben sein soll, werden für die Berechnung

des multivariablen Übertragungsverhaltens des nichtlinea- ren Blockes ausschließlich statische Elemente berücksich- tigt. D.h. es werden nur lineare und nichtlineare Elemente mit Strom-Spannungsrelationen in Leitwertform i=fg(u) und in Widerstandformu=fr(i) berücksichtigt, die keine Abhängigkeiten von den zeitlichen Ableitungen der Strom- oder Spannungsverläufe aufweisen. Die Elemente in Leit- wertform können Leitwerte oder gesteuerte Stromquellen sein. Die Elemente in Widerstandform können Widerstände, oder gesteuerte Spannungsquellen sein.

Entsprechend der Beschreibung durch Volterra-Reihen kann jede Knotenpsannunguund jeder Zweigstromieines nicht- linearen Netzwerkes durch Überlagerung der Systemantwor- ten der Ordnungn= 1...N approximiert werden (Schetzen , 1985). Für die Ströme und Spannungen eines Netzwerkes mit nichtlinearen Elementen gilt dann:

i(t)≈

N

X

n=1

in(t), (6)

u(t)≈

N

X

n=1

un(t). (7)

Die Antwortenin(t)undun(t)enthalten dabei ausschließ- lich Mischfrequenzen der Ordnungn(vgl. z.B. (Weiner and Spina , 1980)).

Um das Ein-/Ausgangsverhalten einer nichtlinearen Schal- tung zu beschreiben, werden die oben genannten nichtlinea- ren Elemente bei diesem Ansatz ersetzt durch lineare Ele- mente mit in Reihe, bzw. parallel geschalteten Quellen (Abb.

5). Die folgenden Berechnungen werden anhand eines nicht- linearen Elementes in Leitwertform dargestellt. Für nichtli- neare Elemente in Widerstandform verlaufen die Berechnun- gen analog. Dabei wird angenommen, dass für die nichtli- nearen Strom-Spannungsrelationenfg(u)(undfr(i)) analy- tische Ausdrücke vorliegen, so dass sie in Potenzreihen der Form:

i(t) =

N

X

m=1

kmu^m(t), (8) als Aussteuerungen um einen Arbeitspunkt entwickelt wer- den können.

Abb. 5. Multilineares Modell nichtlinearer Netzwerkelemente. (a) Widerstandform und (b) Leitwertform.

Abb. 4. Blockmodell: Aufteilung der multivariaten Nichtlinearit¨at.

bestimmt. Mit Hilfe von Gl. (5) ergibt sich das ¨aquivalen- te Blockmodell nach Abb. 4. Mit Hilfe dieser Blockstruk- tur k¨onnen Einfl¨usse von Signal und St¨orung bez¨uglich der entstehenden Frequenzanteile im Ausgangssignal y(t ) ge- trennt untersucht werden. Durch Nullsetzen einer der beiden Eing¨angex˜inoderx˜disl¨asst sich das Modell in Abb. 4 auf ein klassisches Wiener/Hammerstein-Modell zur¨uckf¨uhren, wel- ches aus der Reihenschaltung eines linearen, dynamischen Blockes und eines statischen nichtlinearen Blockes besteht.

Die St¨oruntersuchung nichtlinearer Analogschaltungen mit Hilfe des in Abb. 3 dargestellten Modells wird nun wie folgt durchgef¨uhrt. Zun¨achst werden die ¨Ubertragungsfunk- tionenHinundHdis bestimmt. Diese k¨onnen z.B. durch ei- ne Kleinsignalanalyse f¨ur die im Arbeitspunkt linearisierte Schaltung f¨ur den St¨or- bzw. den Signalpfad berechnet wer- den. Anhand des Frequenzganges des St¨orsignals wird derje- nige Frequenzbereich identifiziert, in dem die St¨orungen die Signal¨ubertragung der Schaltung am st¨arksten beeinflussen.

Im zweiten Schritt wird die multivariate Funktion F (x˜in,x˜dis)des nichtlinearen Blockes bestimmt. Im folgen- den Abschnitt wird diese Funktion mit Hilfe des Verfah- rens der nichtlinearen Quellen bestimmt. Bei diesem Ver- fahren werden die Str¨ome und Spannungen gem¨aß der An- nahmen zur Volterra-Analyse als additive ¨Uberlagerung der nichtlinearen Antworten verschiedener Ordnungen berech- net (s. z.B. (Maas, 2003), Kapitel 4). Mit Hilfe der Funkti- onF (x˜_in,x˜_dis)k¨onnen f¨ur Eingangssignalex_inundx_dis, die sich als Linearkombination von Sinus- und Kosinusfunktio- nen darstellen lassen, die Ausgangsamplituden an denjenigen Frequenzen bestimmt werden, die sich durch Intermodulatio- nen zwischen Eingangs- und St¨orsignal ergeben.

2.1 Charakterisierung der Nichtlinearit¨at

Da das dynamische Verhalten des Gesamtsystems nach Abb. 3 durch die ¨Ubertragungsfunktionen der linearen Bl¨ocke H_in und H_dis beschrieben sein soll, werden f¨ur die Berechnung des multivariablen ¨Ubertragungsverhaltens des nichtlinearen Blockes ausschließlich statische Elemen- te ber¨ucksichtigt. D.h. es werden nur lineare und nichtlinea- re Elemente mit Strom-Spannungsrelationen in Leitwertform i=f_g(u) und in Widerstandform u=f_r(i)ber¨ucksichtigt,

S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 3

Abb. 4. Blockmodell: Aufteilung der multivariaten Nichtlinearität

anliegenden Frequenzanteile. Die Intermodulationen zwi- schen Signal und Störung werden durch die letzte Summe bestimmt. Mit Hilfe von Gl. (5) ergibt sich das äquivalente

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Blockmodell nach Abb. 4. Mit Hilfe dieser Blockstruktur können Einflüsse von Signal und Störung bezüglich der entstehenden Frequenzanteile im Ausgangssignal y(t) ge- trennt untersucht werden. Durch Nullsetzen einer der beiden Eingänge˜xin oderx˜dis lässt sich das Modell in Abb. 4 auf

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ein klassisches Wiener/Hammerstein-Modell zurückführen, welches aus der Reihenschaltung eines linearen, dynami- schen Blockes und eines statischen nichtlinearen Blockes besteht.

Die Störuntersuchung nichtlinearer Analogschaltungen mit

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Hilfe des in Abbildung 3 dargestellten Modells wird nun wie folgt durchgeführt. Zunächst werden die Übertragungsfunk- tionen Hin und Hdis bestimmt. Diese können z.B. durch eine Kleinsignalanalyse für die im Arbeitspunkt linearisierte Schaltung für den Stör- bzw. den Signalpfad berechnet

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werden. Anhand des Frequenzganges des Störsignals wird derjenige Frequenzbereich identifiziert, in dem die Stö- rungen die Signalübertragung der Schaltung am stärksten beeinflussen.

Im zweiten Schritt wird die multivariate Funktion

75

F(˜xin,x˜dis) des nichtlinearen Blockes bestimmt. Im folgenden Abschnitt wird diese Funktion mit Hilfe des Verfahrens der nichtlinearen Quellen bestimmt. Bei diesem Verfahren werden die Ströme und Spannungen gemäß der Annahmen zur Volterra-Analyse als additive Überlagerung

80

der nichtlinearen Antworten verschiedener Ordnungen berechnet (s. z.B. (Maas , 2003), Kapitel 4). Mit Hilfe der FunktionF(˜xin,x˜dis)können für Eingangssignale xin

und xdis, die sich als Linearkombination von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen lassen, die Ausgangsamplitu-

85

den an denjenigen Frequenzen bestimmt werden, die sich durch Intermodulationen zwischen Eingangs- und Störsignal ergeben.

2.1 Charakterisierung der Nichtlinearität

Da das dynamische Verhalten des Gesamtsystems nach Abb.

3 durch die Übertragungsfunktionen der linearen BlöckeHin

undHdisbeschrieben sein soll, werden für die Berechnung

des multivariablen Übertragungsverhaltens des nichtlinea- ren Blockes ausschließlich statische Elemente berücksich- tigt. D.h. es werden nur lineare und nichtlineare Elemente mit Strom-Spannungsrelationen in Leitwertform i=fg(u) und in Widerstandform u=fr(i)berücksichtigt, die keine Abhängigkeiten von den zeitlichen Ableitungen der Strom- oder Spannungsverläufe aufweisen. Die Elemente in Leit- wertform können Leitwerte oder gesteuerte Stromquellen sein. Die Elemente in Widerstandform können Widerstände, oder gesteuerte Spannungsquellen sein.

Entsprechend der Beschreibung durch Volterra-Reihen kann jede Knotenpsannunguund jeder Zweigstromieines nicht- linearen Netzwerkes durch Überlagerung der Systemantwor- ten der Ordnungn= 1...N approximiert werden (Schetzen , 1985). Für die Ströme und Spannungen eines Netzwerkes mit nichtlinearen Elementen gilt dann:

i(t)≈

N

X

n=1

in(t), (6)

u(t)≈

N

X

n=1

un(t). (7)

Die Antwortenin(t)undun(t)enthalten dabei ausschließ- lich Mischfrequenzen der Ordnungn(vgl. z.B. (Weiner and Spina , 1980)).

Um das Ein-/Ausgangsverhalten einer nichtlinearen Schal- tung zu beschreiben, werden die oben genannten nichtlinea- ren Elemente bei diesem Ansatz ersetzt durch lineare Ele- mente mit in Reihe, bzw. parallel geschalteten Quellen (Abb.

5). Die folgenden Berechnungen werden anhand eines nicht- linearen Elementes in Leitwertform dargestellt. Für nichtli- neare Elemente in Widerstandform verlaufen die Berechnun- gen analog. Dabei wird angenommen, dass für die nichtli- nearen Strom-Spannungsrelationenfg(u)(undfr(i)) analy- tische Ausdrücke vorliegen, so dass sie in Potenzreihen der Form:

i(t) =

N

X

m=1

kmu^m(t), (8) als Aussteuerungen um einen Arbeitspunkt entwickelt wer- den können.

Abb. 5. Multilineares Modell nichtlinearer Netzwerkelemente. (a) Widerstandform und (b) Leitwertform.

Abb. 5. Multilineares Modell nichtlinearer Netzwerkelemente.

(a) Widerstandform und (b) Leitwertform.

die keine Abh¨angigkeiten von den zeitlichen Ableitungen der Strom- oder Spannungsverl¨aufe aufweisen. Die Elemen- te in Leitwertform k¨onnen Leitwerte oder gesteuerte Strom- quellen sein. Die Elemente in Widerstandform k¨onnen Wi- derst¨ande, oder gesteuerte Spannungsquellen sein.

Entsprechend der Beschreibung durch Volterra-Reihen kann jede Knotenpsannung u und jeder Zweigstrom i ei- nes nichtlinearen Netzwerkes durch ¨Uberlagerung der Sy- stemantworten der Ordnung n=1...N approximiert wer- den (Schetzen, 1985). F¨ur die Str¨ome und Spannungen eines Netzwerkes mit nichtlinearen Elementen gilt dann:

i(t )≈

N

X

n=1

i_n(t ), (6)

u(t )≈

N

X

n=1

un(t ). (7)

Die Antwortenin(t )und un(t ) enthalten dabei ausschließ- lich Mischfrequenzen der Ordnungn(vgl. z.B. Weiner and Spina, 1980).

Um das Ein-/Ausgangsverhalten einer nichtlinearen Schaltung zu beschreiben, werden die oben genannten nicht- linearen Elemente bei diesem Ansatz ersetzt durch lineare Elemente mit in Reihe, bzw. parallel geschalteten Quellen (Abb. 5). Die folgenden Berechnungen werden anhand ei- nes nichtlinearen Elementes in Leitwertform dargestellt. F¨ur nichtlineare Elemente in Widerstandform verlaufen die Be- rechnungen analog. Dabei wird angenommen, dass f¨ur die nichtlinearen Strom-Spannungsrelationenf_g(u) (undf_r(i)) analytische Ausdr¨ucke vorliegen, so dass sie in Potenzreihen der Form:

i(t )=

N

X

m=1

k_mu^m(t ), (8)

als Aussteuerungen um einen Arbeitspunkt entwickelt wer- den k¨onnen.

Aufgrund der multilinearen Eigenschaften von Volterra- Operatoren f¨uhrt die Skalierung jeder Quellengr¨oße um

einen konstanten Faktorcin Gln. (6) und (7) zu einer Skalie- rung jeder Antwort der Ordnungnmitcⁿ(Schetzen, 1985):

i(t )=

N

X

n=1

cⁿi_n(t ), (9)

u(t )=

N

X

n=1

cⁿu_n(t ). (10)

Zusammen mit Gl. (8) ergibt sich f¨ur die Str¨ome der nichtli- nearen Elemente:

i(t )=

N

X

n=1

cⁿin(t )=

N

X

m=1

k_mu^m(t )=

N

X

m=1

k_m

N

X

n=1

cⁿu_n(t )

!m

. (11)

In (Schetzen, 1985) wurde gezeigt, dass die Antworten f¨ur jedes n bestimmt werden k¨onnen, wenn die Summen in Gl. (11) ausgeschrieben und nach Potenzen von c sor- tiert werden. Die Antworten der Knotenspannungen und Zweigstr¨ome der Ordnung n eines nichtlinearen Elements k¨onnen dann ausgedr¨uckt werden durch die ¨Uberlagerung ei- ner linearen Antwort und einer nichtlinearenf_NL,nAntwort:

i_n(t )=g·u_n(t )+f_NL,n(u₁,...,u_n−1). (12) Eine Stromkomponenten-ter Ordnung kann nach Gl. (12) durch einen linearen Leitwert mit dem Wertg=k₁ model- liert werden, an dem die Spannungu_n(t )anliegt. Parallel zu diesem linearen Leitwert ist eine Stromquellen-ter Ordnung mitiNL,n=fNL,n(u1,...,un−1)geschaltet. Der Wert dieser Stromquelle h¨angt dabei nur von den Antworten der Ordnun- gen kleiner alsnab. In Abb. 5 (b) ist die Modellierung nicht- linearer Leitwerte mit Hilfe der nichtlinearen Stromquellen iNL,n(t ) dargestellt. Nichtlineare Elemente in Widerstand- form werden durch in Reihe geschaltete Spannungsquellen modelliert (s. Abb. 5a). Mit den Gln. (11) und (12) ergeben sich die folgenden Ausdr¨ucke f¨ur die nichtlinearen Strom- quellen der Ordnungenn=1...4:

i_NL,1=0 (13)

iNL,2=k2u²₁ (14)

iNL,3=2k2u1u2+k2u³₁ (15) i_NL,4=k₂(2u₁u₃+u²₂)+3k₃u²₁u₂+k₄u⁴₁ (16) Die hier verwendete Methode bietet den Vorteil, dass zur Berechnung der Antwortenn-ter Ordnung ausschließlich li- neare Netzwerke mit linearen Elementen berechnet werden m¨ussen. Das nichtlineare Verhalten der Schaltung wird durch das Hinzuf¨ugen von nichtlinearen Quellen n-ter Ordnung modelliert (vgl. Abb. 6). Intermodulationsprodukte und har- monische Verzerrungen n-ter Ordnung werden dabei aus- schließlich durch die Quellenu_NL,nundi_NL,ngebildet.

Aufgrund der multilinearen Eigenschaften von Volterra- Operatoren führt die Skalierung jeder Quellengröße um einen konstanten Faktorcin Gln. (6) und (7) zu einer Skalie- rung jeder Antwort der Ordnungnmitcⁿ(Schetzen , 1985):

i(t) =

N

X

n=1

cⁿin(t), (9)

u(t) =

N

X

n=1

cⁿun(t). (10) Zusammen mit (8) ergibt sich für die Ströme der nichtlinea- ren Elemente:

i(t) =

N

X

n=1

cⁿin(t) =

N

X

m=1

kmu^m(t) =

N

X

m=1

km N

X

n=1

cⁿun(t)

!^m

. (11) In (Schetzen , 1985) wurde gezeigt, dass die Antworten für jedesnbestimmt werden können, wenn die Summen in (11) ausgeschrieben und nach Potenzen von c sortiert werden.

Die Antworten der Knotenspannungen und Zweigströme der Ordnungneines nichtlinearen Elements können dann aus- gedrückt werden durch die Überlagerung einer linearen Ant- wort und einer nichtlinearenfN L,nAntwort:

in(t) =g·un(t) +fN L,n(u1,...,un−1). (12) Eine Stromkomponenten-ter Ordnung kann nach (12) durch einen linearen Leitwert mit dem Wertg=k¹modelliert wer- den, an dem die Spannung un(t) anliegt. Parallel zu die- sem linearen Leitwert ist eine Stromquelle n-ter Ordnung mitiN L,n=fN L,n(u¹,...,un−1)geschaltet. Der Wert dieser Stromquelle hängt dabei nur von den Antworten der Ordnun- gen kleiner alsnab. In Abb. 5 (b) ist die Modellierung nicht- linearer Leitwerte mit Hilfe der nichtlinearen Stromquellen iN L,n(t) dargestellt. Nichtlineare Elemente in Widerstand- form werden durch in Reihe geschaltete Spannungsquellen modelliert (s. Abb. 5 (a)). Mit den Gln. (11) und (12) ergeben sich die folgenden Ausdrücke für die nichtlinearen Strom- quellen der Ordnungenn= 1...4:

iN L,1= 0 (13)

iN L,2=k2u²1 (14)

iN L,3= 2k²u1u2+k2u³1 (15) iN L,4=k2(2u¹u3+u²2) + 3k³u²1u2+k4u⁴1 (16) Die hier verwendete Methode bietet den Vorteil, dass zur Be-

90

rechnung der Antwortenn-ter Ordnung ausschließlich linea- re Netzwerke mit linearen Elementen berechnet werden müs- sen. Das nichtlineare Verhalten der Schaltung wird durch das Hinzufügen von nichtlinearen Quellenn-ter Ordnung model- liert (vgl. Abb. 6). Intermodulationsprodukte und harmoni-

95

sche Verzerrungenn-ter Ordnung werden dabei ausschließ- lich durch die QuellenuN L,nundiN L,ngebildet.

Lineares Netzwerk

Lineares Netzwerk

Abb. 6. (a) Netzwerk mit nichtlinearen Elementen. (b) Linearisier- tes Ersatznetzwerk mit nichtlinearen Quellenn-ter Ordnung.

Die Berechnung der nichtlinearen, statischen Kennliniey= F(˜xin,x˜dis) zur Störuntersuchung eines Netzwerkes läuft dabei gemäß der Methode der nichtlinearen Quellen ab wie

100

folgt:

– Die nichtlinearen Strom-Spannungsrelationen der nichtlinearen Netzwerkelemente werden in eine Potenzreihe um den Arbeitspunkt entwickelt (Taylor- reihe). Alle nichtlinearen Netzwerkelemente werden

105

durch ihren linearisierten Leitwert bzw. Widerstand ersetzt (erster Taylorkoeffizient).

– Antwort erster Ordnung: Die Ausgangsspannung(der Ausgangsstrom) sowie alle Steuergrößen der nichtlinea- ren Elemente des linearisierten Netzwerkes werden für

110

die Eingangsanregung bestimmt.

– Antworten höherer Ordnung (N > n >1): Die Ein- gangsquellen werden ’genullt’. Entsprechend den Gln.

(13) bis (16) werden die nichtlinearen Quellen mit der Antwort der Ordnung(n−1)berechnet und gemäß 5

115

in das Netzwerk eingefügt. Die Ausgangsspannung (der Ausgangsstrom) sowie alle Steuerspannungen der Ord- nungnwerden für die Anregung mit den nichtlinearen Quellenn-ter Ordnung bestimmt.

Abb. 6. (a) Netzwerk mit nichtlinearen Elementen. (b) Linearisier- tes Ersatznetzwerk mit nichtlinearen Quellenn-ter Ordnung.

Die Berechnung der nichtlinearen, statischen Kennlinie y=F (x˜in,x˜dis)zur St¨oruntersuchung eines Netzwerkes l¨auft dabei gem¨aß der Methode der nichtlinearen Quellen ab wie folgt:

– Die nichtlinearen Strom-Spannungsrelationen der nichtlinearen Netzwerkelemente werden in eine Potenzreihe um den Arbeitspunkt entwickelt (Taylor- reihe). Alle nichtlinearen Netzwerkelemente werden durch ihren linearisierten Leitwert bzw. Widerstand ersetzt (erster Taylorkoeffizient).

– Antwort erster Ordnung: Die Ausgangsspannung(der Ausgangsstrom) sowie alle Steuergr¨oßen der nichtlinea- ren Elemente des linearisierten Netzwerkes werden f¨ur die Eingangsanregung bestimmt.

– Antworten h¨oherer Ordnung (N > n >1): die Eingangs- quellen werden “genullt”. Entsprechend den Gln. (13) bis (16) werden die nichtlinearen Quellen mit der Ant- wort der Ordnung(n−1)berechnet und gem¨aß 5 in das Netzwerk eingef¨ugt. Die Ausgangsspannung (der Aus- gangsstrom) sowie alle Steuerspannungen der Ordnung nwerden f¨ur die Anregung mit den nichtlinearen Quel- lenn-ter Ordnung bestimmt.

Adv. Radio Sci., 10, 187–192, 2012 www.adv-radio-sci.net/10/187/2012/

S. Stegemann et al.: Analyse der St¨orfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 191 S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 5 Durch die Überlagerungen der einzelnen Antworten ergibt

120

sich die Approximation der Zeitverläufe der Ausgangs- spannung bzw. des Ausgangsstroms in Abhängigkeit der Eingangsquellen. Aufgrund der Entwicklung der einzelnen Nichtlinearitäten in eine polynomielle Form nach Gl. (8) er- gibt sich für die Ein-/Ausgangsbeschreibung ebenfalls eine

125

polynomielle Darstellung (Stegemann , 2011).

3 Beispiel: Differenz-Eingangsstufe

Im Folgenden soll die Störanalyse der Differenz-Eingangs- stufe in Abb. 2 für Störungenudis= ˆUdiscos(2πfdist) an der Spannungsversorgung untersucht werden. Die Auftei- lung in die Blöcke nach der in Abb. 3 dargestellten Struktur geschieht wie folgt. Die ÜbertragungsfunktionHdis ist ge- geben durch Gl. 1 und repräsentiert den Einkopplungspfad des Störsignals über T5 und den Stromspiegel T3/T4. Der durch eine Kleinsignalanalyse bestimmte Verlauf vonHdis

ist in Abb. 7 dargestellt. Dieser Block besitzt Tiefpasscha- rakteristik mit einer Grenzfrequenz von∼2GHz. Es ist zu erwarten, dass die Differenzstufe im Durchlassbereich von Hdisam Störempfindlichsten ist. Der lineare BlockHsig re- präsentiert das dynamische Verhalten der Eingangsspannung uin(t) auf den Ausgangsstromiout(t) =i1(t)−i2(t). Das Frequenzverhalten wird dominiert durch die Gate-Source- Kapazitäten der TransistorenT1undT2. Auch dieser Block weist Tiefpasscharakteristik auf. Aufgrund des Frequenzver- haltens beider Blöcke können zum einen Störfrequenzenfdis

in der Nähe der Signalfrequenzenfsig Intermodulationen im Nutzband der Differenzstufe erzeugen. Zum anderen kön- nen aufgrund der Bandbreite des BlockesHdis auch Inter- modulationen zwischen zwei Störfrequenzenfdis1undfdis2, mitfdis1> fdis2aus dem Durchlassbereich vonHdisin das Nutzband fallen, wenn die Differenzfdis1−fdis2kleiner ist, als die Bandbreite des Blockes Hin. Für eine Störuntersu- chung bieten sich daher die Intermodulationsprodukte zwei-

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰

−21.5

−21

−20.5

−20

−19.5

−19

−18.5

−18

Frequenz [Hz]

|H1|[dB]

Abb. 7. Lineare ÜbertragungsfunktionH_disdes Differenzverstär- kers für Störungen anUDD.

Abb. 8. Netzwerk zur Berechnung der Antworten erster Ordnung.

Abb. 9. Netzwerk zur Berechnung der Antwortenn-ter Ordnung.

ter und dritter Ordnung an (Stegemann , 2011).

Die Abbildungen 8 und 9 zeigen die Ersatznetzwerke zur Be- rechnung der nichtlinearen Charakteristik nach Gl. 5 mit dem in Abschnitt 2.1 beschriebenen Verfahren. Die Transistoren T¹,T² undT³ sind durch Spannungsgesteuerte Stromquel- len ersetzt worden, deren Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt wurde. Dabei seienk¹,i=k²,i, i= 1...N, diei-ten Nichtlinearitätskoeffizienten vonT1und T2.k3,iseien die Nichtlinearitätskoeffizienten vonT3. Der differenzielle Ausgangsstrom iout ergibt sich für Gegentaktaussteuerung mit ug1,1 = −ug2,1 = 0,5uin = Uˆincos(2πfint)zu:

iout,1=i1,1−i2,1= 2k1,1uin. (17) Die Stromkomponenten erster bis dritter Ordnung berechnen sich zu:

iout,1=k1,1u˜in, (18) iout,2=−k1,2k3,1

k1,1

˜

uinu˜dis, (19)

iout,3= 3k1,3k3²,1

4k1²,1

−k²1,2k²3,1

2k1³,1

−k1,2k3,2

k¹,1

!

˜ uinu˜²_dis

+ −k²1,2

2k¹,1

+k1,3

4

!

˜

u³_in. (20)

Gl. (19) beinhaltet Intermodulationen zweiter Ordnung zwi- schen Störung und Eingangssignal. Die Antwort dritter Or- dung aus Gl. (20) beinhaltet Intermodulationen dritter Ord- nung, deren Amplituden durch den Vorfaktor von u˜inu˜²_dis Abb. 7. Lineare Ubertragungsfunktion¨ H_dis des Differenz-

verst¨arkers f¨ur St¨orungen anU_DD.

S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 5 Durch die Überlagerungen der einzelnen Antworten ergibt

120

sich die Approximation der Zeitverläufe der Ausgangs- spannung bzw. des Ausgangsstroms in Abhängigkeit der Eingangsquellen. Aufgrund der Entwicklung der einzelnen Nichtlinearitäten in eine polynomielle Form nach Gl. (8) er- gibt sich für die Ein-/Ausgangsbeschreibung ebenfalls eine

125

polynomielle Darstellung (Stegemann , 2011).

3 Beispiel: Differenz-Eingangsstufe

Im Folgenden soll die Störanalyse der Differenz-Eingangs- stufe in Abb. 2 für Störungenudis= ˆUdiscos(2πfdist)an der Spannungsversorgung untersucht werden. Die Auftei- lung in die Blöcke nach der in Abb. 3 dargestellten Struktur geschieht wie folgt. Die ÜbertragungsfunktionHdisist ge- geben durch Gl. 1 und repräsentiert den Einkopplungspfad des Störsignals über T⁵ und den Stromspiegel T³/T⁴. Der durch eine Kleinsignalanalyse bestimmte Verlauf vonHdis

ist in Abb. 7 dargestellt. Dieser Block besitzt Tiefpasscha- rakteristik mit einer Grenzfrequenz von∼2GHz. Es ist zu erwarten, dass die Differenzstufe im Durchlassbereich von Hdisam Störempfindlichsten ist. Der lineare BlockHsigre- präsentiert das dynamische Verhalten der Eingangsspannung uin(t)auf den Ausgangsstrom iout(t) =i1(t)−i2(t). Das Frequenzverhalten wird dominiert durch die Gate-Source- Kapazitäten der TransistorenT1undT2. Auch dieser Block weist Tiefpasscharakteristik auf. Aufgrund des Frequenzver- haltens beider Blöcke können zum einen Störfrequenzenfdis

in der Nähe der SignalfrequenzenfsigIntermodulationen im Nutzband der Differenzstufe erzeugen. Zum anderen kön- nen aufgrund der Bandbreite des BlockesHdis auch Inter- modulationen zwischen zwei Störfrequenzenfdis1undfdis2, mitfdis1> fdis2aus dem Durchlassbereich vonHdisin das Nutzband fallen, wenn die Differenzfdis1−fdis2kleiner ist, als die Bandbreite des BlockesHin. Für eine Störuntersu- chung bieten sich daher die Intermodulationsprodukte zwei-

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰

−21.5

−21

−20.5

−20

−19.5

−19

−18.5

−18

Frequenz [Hz]

|H1|[dB]

Abb. 7. Lineare ÜbertragungsfunktionH_dis des Differenzverstär- kers für Störungen anUDD.

Abb. 8. Netzwerk zur Berechnung der Antworten erster Ordnung.

Abb. 9. Netzwerk zur Berechnung der Antwortenn-ter Ordnung.

ter und dritter Ordnung an (Stegemann , 2011).

Die Abbildungen 8 und 9 zeigen die Ersatznetzwerke zur Be- rechnung der nichtlinearen Charakteristik nach Gl. 5 mit dem in Abschnitt 2.1 beschriebenen Verfahren. Die Transistoren T1,T2 undT3sind durch Spannungsgesteuerte Stromquel- len ersetzt worden, deren Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt wurde. Dabei seien k1,i=k2,i, i= 1...N, diei-ten Nichtlinearitätskoeffizienten vonT¹und T2.k3,iseien die Nichtlinearitätskoeffizienten vonT3. Der differenzielle Ausgangsstrom iout ergibt sich für Gegentaktaussteuerung mit ug1,1 = −ug2,1 = 0,5uin = Uˆincos(2πfint)zu:

iout,1=i1,1−i2,1= 2k¹,1uin. (17) Die Stromkomponenten erster bis dritter Ordnung berechnen sich zu:

iout,1=k¹,1u˜in, (18) iout,2=−k1,2k3,1

k¹,1

˜

uinu˜dis, (19)

iout,3= 3k¹,3k²3,1

4k1²,1

−k1²,2k3²,1

2k1³,1

−k1,2k3,2

k1,1

!

˜ uinu˜²_dis

+ −k_1,2² 2k¹,1

+k¹,3

4

!

˜

u³_in. (20)

Gl. (19) beinhaltet Intermodulationen zweiter Ordnung zwi- schen Störung und Eingangssignal. Die Antwort dritter Or- dung aus Gl. (20) beinhaltet Intermodulationen dritter Ord- Abb. 8. Netzwerk zur Berechnung der Antworten erster Ordnung.

Durch die ¨Uberlagerungen der einzelnen Antworten ergibt sich die Approximation der Zeitverl¨aufe der Ausgangs- spannung bzw. des Ausgangsstroms in Abh¨angigkeit der Eingangsquellen. Aufgrund der Entwicklung der einzelnen Nichtlinearit¨aten in eine polynomielle Form nach Gl. (8) er- gibt sich f¨ur die Ein-/Ausgangsbeschreibung ebenfalls eine polynomielle Darstellung (Stegemann, 2011).

3 Beispiel: Differenz-Eingangsstufe

Im Folgenden soll die St¨oranalyse der Differenz-Eingangs- stufe in Abb. 2 f¨ur St¨orungenudis= ˆUdiscos(2πfdist )an der Spannungsversorgung untersucht werden. Die Aufteilung in die Bl¨ocke nach der in Abb. 3 dargestellten Struktur ge- schieht wie folgt. Die ¨UbertragungsfunktionHdis ist gege- ben durch Gl. (1) und repr¨asentiert den Einkopplungspfad des St¨orsignals ¨uber T₅ und den Stromspiegel T₃/T₄. Der durch eine Kleinsignalanalyse bestimmte Verlauf von H_dis ist in Abb. 7 dargestellt. Dieser Block besitzt Tiefpasscha- rakteristik mit einer Grenzfrequenz von∼2 GHz. Es ist zu erwarten, dass die Differenzstufe im Durchlassbereich von H_dis am St¨orempfindlichsten ist. Der lineare BlockH_sig re- pr¨asentiert das dynamische Verhalten der Eingangsspannung u_in(t ) auf den Ausgangsstrom i_out(t )=i₁(t )−i₂(t ). Das

S. Stegemann: Analyse der Störfestigkeit mit multi-input Wiener/Hammerstein-Modellen 5 Durch die Überlagerungen der einzelnen Antworten ergibt

120

sich die Approximation der Zeitverläufe der Ausgangs- spannung bzw. des Ausgangsstroms in Abhängigkeit der Eingangsquellen. Aufgrund der Entwicklung der einzelnen Nichtlinearitäten in eine polynomielle Form nach Gl. (8) er- gibt sich für die Ein-/Ausgangsbeschreibung ebenfalls eine

125

polynomielle Darstellung (Stegemann , 2011).

3 Beispiel: Differenz-Eingangsstufe

Im Folgenden soll die Störanalyse der Differenz-Eingangs- stufe in Abb. 2 für Störungen udis= ˆUdiscos(2πfdist) an der Spannungsversorgung untersucht werden. Die Auftei- lung in die Blöcke nach der in Abb. 3 dargestellten Struktur geschieht wie folgt. Die ÜbertragungsfunktionHdis ist ge- geben durch Gl. 1 und repräsentiert den Einkopplungspfad des Störsignals über T5 und den Stromspiegel T3/T4. Der durch eine Kleinsignalanalyse bestimmte Verlauf von Hdis

ist in Abb. 7 dargestellt. Dieser Block besitzt Tiefpasscha- rakteristik mit einer Grenzfrequenz von ∼2GHz. Es ist zu erwarten, dass die Differenzstufe im Durchlassbereich von Hdisam Störempfindlichsten ist. Der lineare BlockHsigre- präsentiert das dynamische Verhalten der Eingangsspannung uin(t) auf den Ausgangsstromiout(t) =i¹(t)−i²(t). Das Frequenzverhalten wird dominiert durch die Gate-Source- Kapazitäten der TransistorenT1undT2. Auch dieser Block weist Tiefpasscharakteristik auf. Aufgrund des Frequenzver- haltens beider Blöcke können zum einen Störfrequenzenfdis

in der Nähe der SignalfrequenzenfsigIntermodulationen im Nutzband der Differenzstufe erzeugen. Zum anderen kön- nen aufgrund der Bandbreite des Blockes Hdis auch Inter- modulationen zwischen zwei Störfrequenzenfdis1undfdis2, mitfdis1> fdis2aus dem Durchlassbereich vonHdisin das Nutzband fallen, wenn die Differenzfdis1−fdis2kleiner ist, als die Bandbreite des Blockes Hin. Für eine Störuntersu- chung bieten sich daher die Intermodulationsprodukte zwei-

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰

−21.5

−21

−20.5

−20

−19.5

−19

−18.5

−18

Frequenz [Hz]

|H1|[dB]

Abb. 7. Lineare ÜbertragungsfunktionH_disdes Differenzverstär- kers für Störungen anUDD.

Abb. 8. Netzwerk zur Berechnung der Antworten erster Ordnung.

Abb. 9. Netzwerk zur Berechnung der Antwortenn-ter Ordnung.

ter und dritter Ordnung an (Stegemann , 2011).

Die Abbildungen 8 und 9 zeigen die Ersatznetzwerke zur Be- rechnung der nichtlinearen Charakteristik nach Gl. 5 mit dem in Abschnitt 2.1 beschriebenen Verfahren. Die Transistoren T1,T2 undT3sind durch Spannungsgesteuerte Stromquel- len ersetzt worden, deren Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt wurde. Dabei seien k1,i=k2,i, i= 1...N, diei-ten Nichtlinearitätskoeffizienten vonT1und T2.k3,iseien die Nichtlinearitätskoeffizienten vonT3. Der differenzielle Ausgangsstrom iout ergibt sich für Gegentaktaussteuerung mit ug1,1 =−ug2,1 = 0,5uin = Uˆincos(2πfint)zu:

iout,1=i1,1−i2,1= 2k¹,1uin. (17) Die Stromkomponenten erster bis dritter Ordnung berechnen sich zu:

iout,1=k¹,1u˜in, (18) iout,2=−k1,2k3,1

k¹,1

˜

uinu˜dis, (19)

iout,3= 3k¹,3k²3,1

4k1²,1

−k1²,2k3²,1

2k1³,1

−k1,2k3,2

k1,1

!

˜ uinu˜²_dis

+ −k1²,2

2k1,1

+k1,3

4

!

˜

u³_in. (20)

Gl. (19) beinhaltet Intermodulationen zweiter Ordnung zwi- schen Störung und Eingangssignal. Die Antwort dritter Or- dung aus Gl. (20) beinhaltet Intermodulationen dritter Ord- nung, deren Amplituden durch den Vorfaktor von u˜inu˜²_dis Abb. 9. Netzwerk zur Berechnung der Antwortenn-ter Ordnung.

Frequenzverhalten wird dominiert durch die Gate-Source- Kapazit¨aten der TransistorenT₁undT₂. Auch dieser Block weist Tiefpasscharakteristik auf. Aufgrund des Frequenzver- haltens beider Bl¨ocke k¨onnen zum einen St¨orfrequenzenfdis

in der N¨ahe der SignalfrequenzenfsigIntermodulationen im Nutzband der Differenzstufe erzeugen. Zum anderen k¨onnen aufgrund der Bandbreite des BlockesHdis auch Intermodu- lationen zwischen zwei St¨orfrequenzenfdis1 und fdis2, mit fdis1> fdis2aus dem Durchlassbereich vonHdisin das Nutz- band fallen, wenn die Differenzfdis1−fdis2kleiner ist, als die Bandbreite des BlockesH_in. F¨ur eine St¨oruntersuchung bieten sich daher die Intermodulationsprodukte zweiter und dritter Ordnung an (Stegemann, 2011). Die Abbn. 8 und 9 zeigen die Ersatznetzwerke zur Berechnung der nichtlinea- ren Charakteristik nach Gl. (5) mit dem in Kapitel 2.1 be- schriebenen Verfahren. Die TransistorenT₁,T₂undT₃sind durch Spannungsgesteuerte Stromquellen ersetzt worden, de- ren Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe ent- wickelt wurde. Dabei seienk1,i=k2,i,i=1...N, die i-ten Nichtlinearit¨atskoeffizienten von T1 und T2. k3,i seien die Nichtlinearit¨atskoeffizienten vonT3.

Der differenzielle Ausgangsstrom iout ergibt sich f¨ur Gegentaktaussteuerung mit ug1,1 = −ug2,1 =0,5u_in = Uˆ_incos(2πf_int )zu:

i_out,1=i_1,1−i_2,1=2k_1,1u_in. (17)

Die Stromkomponenten erster bis dritter Ordnung berechnen sich zu:

i_out,1=k_1,1u˜_in, (18)

iout,2=−k_1,2k_3,1

k_1,1 u˜inu˜dis, (19)

iout,3= 3k1,3k_3,1²

4k²_1,1 −k²_1,2k_3,1²

2k³_1,1 −k_1,2k_3,2 k_1,1

! u˜inu˜²_dis

+

−k_1,2² 2k1,1

+k1,3

4

!

u˜³_in. (20)

Gl. (19) beinhaltet Intermodulationen zweiter Ordnung zwi- schen St¨orung und Eingangssignal. Die Antwort dritter

www.adv-radio-sci.net/10/187/2012/ Adv. Radio Sci., 10, 187–192, 2012