6. Juni 2007
Ubungen zur Vorlesung ¨
Approximationsalgorithmen
Blatt 6
Aufgabe 1. Geben Sie das duale lineare Programm f¨ur folgendes lineares Programm an.
Maximize 2x1+ 3x2 subject to −x1+x2 ≤5
x1+ 3x2 ≤35 x1 ≤20 x1 ≥0, x2 ≥0
Sei P ein beliebiges lineares Programm. Zeigen Sie, dass das duale Programm des zu P dualen Programms gerade wieder P ist.
Aufgabe 2. Formulieren Sie das ProblemMinimum Scheduling on Identical Ma- chines als eine Instanz des Problems Integer Linear Programming.
Aufgabe 3. Betrachten Sie das Problem Minimum Hitting Set:
Instanz: FamilieC ={C1, . . . , Ck}von Teilmengen einer endlichen Menge S.
L¨osung: TeilmengeS0 ⊆S, so dassS∩Ci 6=∅ f¨ur alle Ci ∈ C gilt.
Maß: Anzahl der Elemente von S0. Ziel: Minimierung des Maßes.
Entwerfen Sie einen Primal-Dual-Algorithmus f¨ur dieses Problem, der eine L¨osung findet, deren Maß h¨ochstens das k-fache des Optimums betr¨agt, wobei k := max1≤i≤k|Ci|.
[Hinweis: Minimum Hitting Setverallgemeinert Minimum Vertex Cover.]
Abgabe: Mittwoch, 13. Juni, vor der Vorlesung
![2. max T ¯ r k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r k`+1,k`+1 für ein ` = ` max das D ` /D `+1 maximiert. max T ¯ r 2 k`+1,k+1 maximiert r ¯ k`+1,k`+1 2 von [¯ r i,j ] k`−k+1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)