=k f ist alsoLosung fur beliebiges k und !=k oder

1 a)

2

x

f(kx !t)=k 2

f 00

; 2

t

f(kx !t)=! 2

f 00

) k

2

! 2

2

=0 ; ! =k

f ist alsoLosung fur beliebiges k und !=k oder ! = k. Wenn wir auf k 0 beshranken

(k ist der Betrag des \Wellenvektors") und !:=k denieren (wie



ublih: Frequenz positiv),

dann gibt es zu festem f vier Losungen:

f(kx !t) ; f(kx+!t) ; f( kx !t) ; f( kx+!t) ; k0 ; !=k

Eine harmonishe Losungist f =os oder f =sin. Vonden insgesamt 8 Losungen sind aber nur

4 linear unabhangig:

k

(x;t) = a os (kx !t)+b sin(kx !t)+ os (kx+!t)+d sin(kx+!t)

= ^aos(kx !t+' )+

^

bos (kx+!t+'

+ )

Die Zahl der (reellen) Integrationskonstanten ist korrekterweise 4: DGL 2. Ordnung pro un-

abhangigerVariablex;t.

b)

Realteil von e

k

berehnen:

Mit e

A

k

=(A+iA 0

) ; e

B

k

=(B+iB 0

) folgt

e

k

(x;t) = (A+iA 0

)[os(kx !t)+isin(kx !t)℄+(B+iB 0

)[os(kx+!t) isin(kx+!t)℄

= [Aos(kx !t) A 0

sin(kx !t)+Bos (kx+!t)+B 0

sin(kx+!t)℄+i[:::℄

) Re e

k

=

k

fur A=a; A 0

= b; B =; B 0

=d

also ist

k

(x;t)=Ref(a ib)e

i(kx !t)

+(+id)e

i(kx+!t)

g

2 a)

e

(x;t)=[ e

Ae ikx

+ e

Be ikx

℄e i!t

Randbedingungen:

x=0 : ( e

A+ e

B)=0 ; e

k

(x;t)= e

A2isin(kx)e i!t

x=L : sin(kL)=0 ) kL=n ; n =0;1;2;:::(k0!) ) kk

n

= n

L

also ist

e

k

(x;t)= e

Dsin(k

n x)e

i!nt

; !

n

=k

n

= n

L

; e

D=2i e

A

mit einerwillkurlihbenannten neuen Konstanten e

D.

Der Realteil lautet dann

k

(x;t)=sin(k

n x)[d

1 os (!

n t)+d

2 sin(!

n t)℄

mit d

1

=Re(

e

D), d

2

=Im(

e

D), die durh weitere Anfangsbedingungen festgelegt werden konnen.

Alternativ kann man shreiben:

e

D=de i'

, also

k

(x;t)=d sin(k

n

x) os (!

n t ')

Furjedes k

n

bzw. n gibt eseinen Satz der auftrenden Integrationskonstanten d

1

;d

2

;d;'et.

Diesisteinestehende Welle; dieAmplitudeoszilliertmitderZeit, dieWellepropagiertaberniht.

b)

Allgemeinste Losung:

(i): (x;t)= 1

X

n=0

n k

n

(x;t) = 1

X

n=0 d

n sin(k

n

x)os (!

n t '

n )

Ohne Randbedingungensind alle k erlaubt, also

(i): (x;t)= Z

1

0

dk (k)

k (x;t)

Hier muman z.B.Gl.(1) einsetzen,

(x;t) =Re Z

1

0 dk

h

e

A(k)e

i(kx !t)

+ e

B(k)e

i(kx+!t) i

; ! =k

Mit der Denition

e

A(k)

= e

B( k)

lat sihdas kompakter shreiben

(x;t) =Re Z

1

1 dk

e

A(k)e ik(x t)

Dies ist die



ublihe Darstellungeines eindimensionalen Wellenpaketes.

)

A(k)=Æ(k k

0

) ) (x;t) =Re(e ik

0 (x t)

)=os (k

0 x !

0

t) ; !

0

=k

0

... eine monohromatishe Welle.

A(k)=(K jk k

0 j)=

8

>

<

>

:

1 fur K <(k k

0 )<K

0 sonst

A(k)beshreibtalsoeinWellenpaket, dessenVerteilungimk-Raumumk

0

zentriert ist,abereben

nihtsharf wie oben, sondern miteiner Breite 2K:

(x;t) = Re 8

>

<

>

:

(K+k0)

Z

( K+k0) dke

ik(x t) 9

>

=

>

;

=Re

e

i(K+k0)(x t)

i(x t) e

i( K+k0)(x t)

i(x t)

= Re

2sin(K(x t))

(x t) e

ik0(x t)

= 2K

sin()

os (k

0

(x t)) ; =K(x t)

Es handeltsihalsoum einemonohromatishe WellemitWellenzahlk

0

,dievoneinerHullkurve

sin()= moduliert ist (mal plotten fur K k

0

!). Die Breite der Hullkurve ist ungefahr durh

1=K gegeben. Das ganze propagiert mit in x-Rihtung mit der Zeit. Man beahte: Die Wel-

lenzuge unter der Hullkurve propagieren niht relativ zur Hullkurve: Phasengeshwindigkeit =

Gruppengeshw. =.

3 a)

A(r)=(0;0;A

z

) ; A

z

=A

z

(x;y)=A

0 ln(

p

x 2

+y 2

)= A

0

2 ln(x

2

+y 2

)

B(r)=rA= 0

x

y

1

A

0

0

0

A 1

A

= 0

y A

z

x A

z

0 1

A

x A

z

=A

0 x

x 2

+y 2

;

y A

z

=A

0 y

x 2

+y 2

) B(r)= A

0

x 2

+y 2

0

y

x

0 1

A

b)

Eihtrafo: A 0

=A+r.

Fur A 0

=(A 0

x

;A 0

y

;0) mu alsogelten:

A 0

z

=A

z +

z

=0 )

z

(r)= A

z

(r) ) (r)= zA

z

(x;y)+onst:(x;y)

Die \Konstante" darf noh vonx;y abhangen, wir setzen ameinfahsten onst:=0. Also:

A 0

(r)= 0

x

y

A

z +

z

1

A

= 0

x

y

0 1

A

= 0

z

x A

z

z

y A

z

0 1

A

= A

0

x 2

+y 2

0

xz

yz

0 1

A

Test: esmudasselbe B-Feldresultieren:

B 0

=rA 0

= 0

x

y

z 1

A

0

z

x A

z

z

y A

z

0 1

A

= 0

y A

z

x A

z

z[

x

y A

z

y

x A

z

℄ 1

A

= 0

y A

z

x A

z

0 1

A

=B ) p

4 a)

E= r

A

t

= A

t

=i!A

0 e

i(kr !t)

=i!A

B =rA= 0

x

y

z 1

A

0

A

x

0 e

:::

A y

0 e

:::

A z

0 e

:::

1

A

= 0

ik

x

ik

y

ik

z 1

A

0

A

x

0

A y

0

A z

0 1

A

e

i(kr !t)

=i(kA

0 )e

i(kr !t)

=i(kA)

b)

Maxwell-Gleihungenim Vakuum:

rE=0 ; rE = B

t

; rB=0 ; rB = 1

2

E

t

Der Reihe nah aufbeiden Seiteneinsetzen:

rE=i!

0

x

y

z 1

A 0

A

x

0 e

:::

A y

0 e

:::

A z

e :::

1

A

=i!

0

ik

x

ik

y

ik

z 1

A 0

A

x

0

A y

0

A z

1

A

e i(kr !t)

= !kA ) kA=0

rB=i 0

x

y

z 1

A 0

(kA

0 )

x e

:::

(kA

0 )

y e

:::

(kA

0 )

z e

:::

1

A

=i 0

ik

x

ik

y

ik

z 1

A 0

(kA

0 )

x

(kA

0 )

y

(kA

0 )

z 1

A

e i(kr !t)

= k(kA)0 p

rE=i!(rA)=i!B ; B

t

= i!B ) p

rB=i 0

x

y

z 1

A

0

(kA

0 )

x e

:::

(kA

0 )

y e

:::

(kA

0 )

z e

:::

1

A

=i 0

ik

x

ik

y

ik

z 1

A

0

(kA

0 )

x

(kA

0 )

y

(kA

0 )

z 1

A

e i(kr !t)

= k(kA)

= k 2

jAje

k (e

k e

A )

| {z }

= e

A

=k 2

A ; 1

2

E

t

=

! 2

2

A ) !

2

= 2

k 2

) !=k

Diese ebene Welleist alsoeine Losung der Maxwell-Gleihungen,falls gilt

Ak=0 ; ! =k

Aus Ak=0folgt auhEk=0. Auerdem gilt sowieso

EB= !A(kA)0

so da

E?B ; E?k ; B?k

) transversale Welle.