Verfahren von Gram-Schmidt
Aus einer Basis {b 1 , . . . , b n } kann wie folgt eine orthogonale Basis {u 1 , . . . , u n } konstruiert werden. Man definiert sukzessive
u j = b j − X
k<j
hu k , b j i hu k , u k i u k ,
f¨ ur j = 1, . . . , n. Dabei ist die Summe die orthogonale Projektion von b j
auf span(u 1 , . . . , u j−1 ).
Die Rekursion vereinfacht sich, wenn man die Basisvektoren nach jedem Schritt normiert:
u j ← u j
|u j | .
In diesem Fall ist hu k , u k i = 1.
Zeige induktiv: u 1 , . . . , u ` bilden eine orthogonale Basis f¨ ur span (b 1 , . . . , b ` ).
` = 1 : u 1 = b 1 X
Induktionsschritt (` → ` + 1):
f¨ ur j ≤ `
hu j , u `+1 i =
*
u j , b `+1 − X
k ≤`
hu k , b `+1 i hu k , u k i u k
+
= hu j , b `+1 i − X
k≤`
hb `+1 , u k i
hu k , u k i hu j , u k i
| {z }
δ
k,j|u
j|
2= 0
= ⇒ u 1 , . . . , u `+1 orthogonal, da u j ⊥ u k f¨ ur j , k ≤ ` nach Induktionsvoraussetzung
b `+1 − u `+1 ∈ span(u 1 , . . . , u ` ) = span(b 1 , . . . , b ` )
= ⇒ Beide Basen spannen denselben Unterraum auf.
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Beispiel
Orthonormale Basis {u 1 , u 2 , u 3 } f¨ ur den von den Vektoren b 1 = (1, 1, 1, 1) t , b 2 = (1, 2, 1, 0) t , b 3 = (2, 2, 0, 0) t aufgespannten Unterraum von R 4
|b 1 | = √
1 + 1 + 1 + 1 = 2 u 1 = (1, 1, 1, 1) t /2 zwei Schritte des Gram-Schmidt-Verfahrens
u 2 k b 2 − hu 1 , b 2 iu 1 =
1 2 1 0
−
* 1 2
1 1 1 1
,
1 2 1 0
+ 1
2
1 1 1 1
=
1 2 1 0
− 2 · 1 2
1 1 1 1
=
0 1 0
−1
Normierung u 2 = (0, 1, 0, −1) t / √
2
2 2 0 0
− 2 · 1 2
1 1 1 1
− √ 2 · 1
√ 2
0 1 0
−1
=
1 0
−1 0
Normierung u 3 = (1, 0, −1, 0) t / √ 2 Kontrolle
(1, 2, 1, 0) t
| {z }
b
2= 2u 1 +
√
2u 2 = (1, 1, 1, 1) t + (0, 1, 0, −1) t (2, 2, 0, 0) t
| {z }
b
3= 2u 1 + √
2u 2 + √ 2u 3
= (1, 1, 1, 1) t + (0, 1, 0, −1) t + (1, 0, −1, 0) t
= ⇒ Ubereinstimmung der aufgespannten Unterr¨ ¨ aume
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Beispiel
Konstruktion einer bzgl. des Skalarproduktes hf , g i =
Z 1
−1
f (x)g (x) dx
orthogonalen Folge von Polynomen p 0 , p 1 , . . . aus den Monomen q j (x) = x j
Verfahren von Gram-Schmidt p 0 = q 0 = 1
p 1 = q 1 − hp 0 , q 1 i
hp 0 , p 0 i p 0 = q 1 − R 1
−1 1 · x dx R 1
−1 1 · 1 dx
· 1 = x − 0
p 2 = q 2 − R 1
−1 x · x 2 dx R 1
−1 x · x dx · x − R 1
−1 1 · x 2 dx R 1
−1 1 · 1 dx · 1 = x 2 − 0 · x − 1 3 allgemeine Formel: p n+1 = q n+1 − P n
j=0
hp
j,q
n+1i
hp
j,p
ji p j
q n+1 (x) = x
Legitim, da xp n (x) = x n+1 + P
j ≤n c j x j = ⇒
span{p 1 , . . . , p n , q n+1 } = span{p 1 , . . . , p n , q ˜ n+1 } alle Summanden bis auf j = n − 1 Null
j = n: aufgrund der Antisymmetrie des Integranden hp n , q ˜ n+1 i =
Z 1
−1
p n (x) xp n (x) dx = 0
j < n − 1: [x p j (x)] Linearkombination von p k (x), k < n = ⇒ h p ˜ j , q n+1 i =
Z 1
−1
p n (x) [x p j (x)] dx = 0 , da p n ⊥ p k
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