Geladene Teilchen in elektrischen Feldern
Befinden sich geladenen Teilchen in einem elektrischen Feld, so wirkt auf sie bekanntlich eine Feldkraft:
Bisher bekannte Zusammenhänge:
Feldkraft:
Feldstärke:
Setzt man (2) in (1) ein,so erhält man:
Läuft das Elektron nun von rechts nach links durch das Feld, wurde Arbeit an ihm verrichtet.
Allgemeine Formel für die Arbeit:
= Elektron im E-Feld
+ _
d
(1)
(2)
(3)
Daraus folgt für die vom Elektron beim Durchlaufen des elektrischen Feldes aufgenommnene Energie Wel:
In den nächsten Schritten beziehen sich alle Betrachtungen auf bewegte Elektronen.
Diese haben die Elementarladung
Auf ein Elektron in einem elektrischen Feld mit der Ladung q = e wirkt daher die Feldkraft:
Die Energie im elektrischen Feld berechnet sich dann aus
Frage:Was passiert ganz allgemein energetisch beim Bewegen des Elektrons in einem homogenen Feld?
Das bedeutet
(4)
Aufgabe:
Die Geschwindigkeit des Elektrons beim ´Aufprall´ auf die positive Elektrode soll ermittelt werden.
Stelle dazu die Formel auf S. 2 um.
Größen:
Frage:In der Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit kommt die Länge des durchlaufenen Weges nicht vor. Wie ist das zu erklären ?
Seltsam:Ein eingetragener Verein der Elektronen (e.V.)?
Im Zusammenhang mit der Energie von Elektronen, die sie aus einem elektrischen Feld aufnehmen, wird meist die Einheit Elektronenvolt (eV) benutzt. Definition:
Hinweis:
Aufgabe:
Die Beschleunigungsspannung in einer Elektronenröhre beträgt 25kV.
Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der Spannung absolut und in Prozent der Lichtgeschwindigkeit vc = 3*108m/s.
Ein Elektronenvolt (eV) ist DIE Energie, die ein Elektron nach Durchlaufen der Spannung von 1V besitzt. 1eV = 1,602E-19Ws
Bei allen folgenden Betrachtungen handelt es sich um Elektronen. Ebenso werden Luftwiderstand und Masse (Gewichtskraft) vernachlaessigt.
9,4E7 m/s entspricht ca. 30% Vc
2. Geladene Teilchen mit Anfangsgeschwindigkeit v0 in elektrischen Feldern
Als Erweiterung soll nun die Bewegung eines Elektrons ermittelt werden, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 quer zu den Feldlinien in ein elektrisches Feld eintritt.
Fragen:Beschreibe den prinzipiellen Bahnverlauf bei Eintritt des Elektrons in das E-Feld
Erkläre, mit welcher Bewegung der Bahnverlauf prinzipiell vergleichbar ist Kondensator
Die Feldkraft F = E*e = U/d * e bewirkt eine Ablenkung
des Elektrons aus der ursprünglich geraden Bahn in + Richtung (positiv geladende Platte)
Da das Elektron senkrecht in das Feld eintritt, entspricht der Bahnverlauf dem waagerechten Wurf.
Die Anordnung auf der vorherigen Seite wird nun zum vollständigen ´Oszilloskop´ erweitert
Aufgabe:
1. Zeichne den prinzipiellen Bewegungsverlauf vor Eintritt in das E-Feld bis zum Leuchtschirm ein.
2. Untersuche, aus welchen Teilabschnitten die Bewegung besteht und welchem Kurvenverlauf die Abschnitte jeweils zugeordnet werden können.
3. Untersuche qualitativ die x- und y-Komponenten der Bewegung in den einzelnen Abschnitten.
+
_
(in Bezug auf v und a)
Art der Bewegung in den Teilabschnitten
Bis kommenden Freitag als HA erledigen!
Ablenkung beim Verlassen des Kondensators
Gesamt- ablenkung
bla
Bewegung in x-Richtung:
Bewegung in y-Richtung:
Für die Beschleunigung a gilt auch:
Eingesetzt in (2) ergibt sich
Für E gilt bekanntlich:
Eingesetzt in (3) ergibt sich
Aus (1) erhält man nach t umgestellt:
(1)
(2)
(3)
(4)
Herleitung der Formel für Y1
Eingesetzt in (4) ergibt sich daraus:
In dieser allgemeinen Form wird nun für x die uns hier interessierende Strecke l (Länge des Kondensators) eingesetzt, wobei wir dann für die Ablenkung y1 beim Austritt der Elektronen aus dem E-Feld erhalten:
Na, sieht doch schon gut aus, oder ;-)?
Dann fehlt nun nur noch eine Formel zur Berechnung der Gesamtauslenkung y2 auf dem Leuchtschirm. Ein Blick auf die Kurve zeigt, dass sich y2 aus y1 plus der zusätzlichen Strecke Δy zusammensetzt.
Als Formel:
+
l
_
sFür Δy gilt, wie für jede aus einer Bewegung ermittelte Strecke, ganz allgemein:
Frage:Um welches v und um welches t handelt es sich hier ?
Daraus folgt:
Nun muss vy berechnet werden. Auch hier gilt zunächst allgemein:
Ähnliche Frage wie zuvor:Um welches a und um welches t handelt es sich nun ?
Daraus folgt:
(2)
(3)
Zeit für das Durchlaufen der Strecke s
Beschleunigung durch E-Feld im Ablenkkondensator Zeit für das Durchlaufen des Kondensators mit Länge l
Mit den Formeln
erhält man:
t
lstört noch etwas: Wie
lässt sich tl mit bekannten Größen ausdrücken?In (4) eingesetzt ergibt sich:
Jetzt kann man den eben ermittelten Ausdruck für vy in Formel (2) einsetzen:
Gleich geschafft! Nun müssen wir nur noch ts ersetzen wie geht das?
Ganz einfach:
(4)
(5)
Eingesetzt in (5) erhalten wir somit schließlich:
Da wir nun y1 und Δy kennen, können wir die Ausdrücke nun zu einem Gesamtausdruck für y2
zusammenfassen:
nach (1) ist:
Eingesetzt ergibt sich:
Frage: Was kann man hier noch vereinfachen?:
Genau:
Erklärung:
(6)
Aufgabe 1:Elektronen mit einer mittleren Energie von 420eV treten senkrecht zu den Feldlinien in ein
homogenes elektrisches Feld ein, das durch zwei Kondensatorplatten (Ablenkplatten) erzeugt wird.
Die Platten sind 5cm lang und haben einen Abstand von 2,6cm zueinander.
a) Berechne die Beschleunigungsspannung, die die Elektronen durchlaufen haben. (420V) b) Berechne deren Geschwindigkeit in horizontaler Richtung. (1,216E7 m/s)
c) Die Elektronen sollen beim Verlassen des Kondensators um y1=1,8mm aus ihrer
horizontalen Bewegungsrichtung abgelenkt werden. Berechne die Höhe der dafür nötigen Ablenkspannung. (31,47V)
d) Berechne die Höhe der Ablenkspannung, bei der die Elektronen den Kondensator gerade nicht mehr verlassen können. (227,3V)
e) Nach Messungen wird deutlich, dass die Energie der Elektronen tatsächlich um den mittleren Wert zwischen 400 ... 450eV streut. Berechne die sich daraus ergebende Abweichung der Ablenkung y1 absolut und in Prozent bezogen auf die Abweichung bei
´Normalenergie´ von 420eV.
(Ablenkspannung:Wie bei c) berechnet)
(y1max = 1,89mm, y1min=1,68mm, Δymin=+0,09mm = + 5%, Δymax=-0,12mm = -6,6%)
Aufgabe 2:Ein Proton (mp = 1,67*10-27kg) durchläuft eine Beschleunigungsspannung von Ua = 1000V.
Es tritt danach mittig in das homogene Feld eines Ablenkkondenstors ein, dessen Platten eine Länge lK von 20cm und einen Abstand dK = 5cm zueinander haben. Nach einer Flugstrecke lf im
Kondensator von 15cm trifft das Proton auf die obere Platte.
a) Fertige eine Zeichnung der Anordnung an, in der alle interessierenden Größen eingetragen sind.
b) Erkläre, welche Art der Ladung (positiv, negativ) welche Platte (obere, untere) hat.
Begründe die Aussage.
c) Berechne die Geschwindigkeit v0 der Protonen beim Eintritt in den Ablenkkondensator.
(4,30E5m/s)
d) Berechne die Flugzeit t des Protons innerhalb des Kondensators. (0,342µs)
e) Berechne die sich daraus ergebene Beschleunigung, die das Proton im E-Feld erfährt.
(4,263E11m/s²)
f) Ermittle aus dem Teilergebnis d) die Höhe der Ablenkspannung bei den oben geschilderten Bedingungen. (221,8V)
g) Berechne die Bahngeschwindigkeit des Protons beim Auftreffen auf die Kondensatorplatte.
(4,616E5m/s)
