Energiemethoden der Mechanik

FG Systemdynamik und Reibungsphysik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme – Institut für Mechanik

Energiemethoden der Mechanik

Vorlesungsnotizen WiSe 2019/20

Prof. Dr. rer. nat. V. Popov

www.friction-physics.de

Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 1.

Generalisierte Koordinaten, Lagrangefunktion, Lagrangegleichungen II. Art

• Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik 3 (Abschnitt 4.3 Lagrangesche Gleichungen)

• Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Kapitel 6)

• G.-P. Ostermeyer: Mechanik III

I. Verallgemeinerte Koordinaten

Wenn die Gesamtheit irgendwelcher Größen

1, 2,..., _s

q q q die Lage eines Systems (mit s Freiheitsgraden) völlig charakterisiert, so nennt man diese Größen verallgemeinerte (oder generalisierte) Koordinaten und die Ableitungen q_i verallgemeinerte Geschwin- digkeiten.

Wichtig: Verallgemeinerte Koordinaten müssen nichts mit den uns bereits bekannten kartesischen oder polaren Koordinaten zu tun haben. Das kön- nen beliebige Größen sein (Volumen, Spannung, elektrische Kapazität oder Ladung, aber auch Winkel, Abstände usw.).

II. Lagrange-Funktion

Die Lagrange-Funktion eines Systems von Massenpunkten

L K U=

= kinetische Energie  potentielle Energie =

   

2

1 2

( , ,...) ( , ) 2

a a

i i

a

m r U r r L q q



Bemerkung: Die potentielle Energie ist bis auf eine additive Konstante definiert. Diese Ei- genschaft hat auch die Lagrange-Funktion.

III. Lagrangesche Gleichungen II. Art 0

i i

d L L

dt q q

 

 

 

Beispiel 1. Gegeben sei ein Körper mit der Masse m auf einer Feder mit der Federsteifigkeit c. Zu

bestimmen ist die Bewegungsgleichung.

Lösung: Als verallgemeinerte Koordinate wählen wir die Auslenkung x aus dem unge- spannten Zustand der Feder. Die kinetische Energie ist gleich

2

2

K  mx , die potentielle Energie der Feder ist

2

2

U cx . Die Lagrange- funktion ist gleich

2 2

2 2

mx cx L  K U  . Die Ableitungen lauten:

2 2 2

2 2 2

L mx cx mx

x x x mx

   

       , d L d

mx mx dt x dt

  

 ,

2 2 2

2 2 2

L mx cx cx

x x x cx

   

  

      

       .

Die Lagrangegleichung lautet d L L 0

dt x x

  

   mx cx 0. (Das 2. N.G.) Beispiel 2. Bewegung im

Schwerefeld.

2

2

K  mx , Umgx,

2

2

L mx mgx L mx

x

 

 , ^L mg

x

  

  ^{mxmg 0}. Beispiel 3. Bestimmen Sie für ein Pendel:

(1) Lagrange-Funktion, (2) Bewegungsgleichung.

Lösung:

2 2 2

2 2

m m

K  v  l  cos

  

U mgz mgl

Lagrangefunktion:

2 2

2  cos

 m 

L l mgl :

Ableitungen:

L 2

ml



 

 , ^{d L} ml²

dt 



 

 , sin



  



L mgl . Bewegungsgleichung: ml² mglsin. Dies ist der Drallsatz für das Pendel.

x

Teil 1 Teil 2

Beispiel 4. Gegeben sei das auf dem Bild skizzierte System. Der Körper m₂ auf dem Keil und der Keil auf der horizontalen Ebene gleiten ohne Reibung. Zu bestimmen sind die Bewegungsgleichungen in passend gewählten generalisierten Koordinaten.

Lösung: Die Koordinate der vorderen Kante des Keils und des Abstandes der Masse m₂ von dieser Kante beschreiben eindeutig die Lage des gesamten Systems und können daher als verallgemeinerte Koordinaten gewählt werden. Zur Bestimmung der kinetischen Energien beider Körper drücken wir zunächst die kartesischen Koordinaten von jedem Kör- per durch die gewählten verallgemeinerten Koordinaten aus:

x1 x, y₁0

2 cos

x  x s , y₂ ssin .

2 1

1 2

K m x ,

  

²



²

2 2

2 2

2

cos sin

2

2 cos 2

K m x s s

m x s xs

 



 

    

   

 

U1konst, U₂ m gy_{2 2} m gs₂ sin . Lagrange-Funktion:



1 2



² 2 ²

2 cos 2 sin

2 2

m m x m s

L ^  m xs m gs 

Ableitungen:



1 2



2 cos L m m x m s

x 

   

 , L 0

x

 



2 2 cos

L m s m x

s 

  

 , L ₂ sin

s m g 

  

 .

Lagrangesche Gleichungen:



m1m x2



m s2 cos0,

2 2 cos 2 sin 0

m sm x m g   .

Daraus können beide Beschleunigungen be- stimmt werden. Falls, z.B., nach x gefragt wird, multiplizieren wir die zweite Gleichung mit cos und ziehen die zweite Gleichung von der ersten ab. Daraus folgt

2

2

1 2

sin cos sin x m g

m m

 

 

 .

Beispiel 5. Zu bestimmen sind die Bewe- gungsgleichungen für den Körper im Füh- rungskanal auf einer sich drehenden Scheibe (Rotationsachse senkrecht zur Scheibe, Win- kelgeschwindigkeit  ).

Lösung: Als ver- allgemeinerte Ko- ordinate wählen wir den Abstand r des Körpers von der Rotationsachse.

Lagrangesche

Funktion:



^{2 2 2}



2

LK  m r r  (die potenti- elle Energie fällt heraus, da sie konstant ist).

Partielle Ableitungen: ^L mr r

 

 , ^L mr ²

r 

 

 .

Lagrange-Gleichung: mrmr² .

Man kann leicht die Bewegungsgleichung in einem nicht inertialen (rotierenden) System erkennen: mr² ist nichts anderes als die Zentrifugalkraft.

Beispiel 6. Fußpunkterregung eines Schwingers. Zu bestimmen ist die Lagrange- Funktion und die Bewegungsgleichung.

Lösung: x sei die Dehnung der Feder aus dem ungespannten Zustand.

Die x₁-Koordinate der Masse ist dann

1 0cos

x x tx. Die Geschwindigkeit der Masse ist

1 0 sin

x  x tx. Die kinetische Energie

ist 1²



0 sin



²

2 2

m x t x

K mx    

  , die po-

tentielle Energie ist

2

2

U cx . Die Lagrange-

Funktion:



0 sin



^{2 2}

2 2

m x t x cx

L    

  .

Ableitungen: L



0 sin



m x t x

x  

   

 ,

L cx x

  

 .

Lagrangegleichung:



^{0 2cos}



⁰

d L L

m x t x cx

dt x^ ^x       

  .

2

0 cos

mx cx mx t - N.G. für einen



r m1

m2



x

s

0cos xF  x t

x

1 Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 2.

Prinzip der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verrückungen) I. Kraft als Gradient der potentiellen Ener-

gie. Aus Mechanik II wissen Sie, dass poten- tielle Energie bei einer eindimensionalen Be- wegung als Integral ^{U x}

( )

^{= −}

∫

^{F x dx}

( )

^defi-

niert wird. Aus dieser Definition folgt, dass

( )

^U

F x x

= −∂

∂ gilt. Die Verallgemeinerung dieser Beziehung auf mehrere Freiheitsgrade lautet:

i

i

F U

x

= −∂

∂ .

II. Prinzip der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verrückungen)

Im statischen Gleichgewicht sind alle Kräfte gleich Null. Falls wir es mit einem konserva- tiven System zu tun haben, gilt

1

U 0

∂ =x

∂ ,... 0

i

U

∂ =x

∂ . (1) Dies sind aber die Bedingungen für ein Mini- mum der potentiellen Energie. Gleichungen (1) bedeuten, dass das erste Differential der potentiellen Energie verschwindet:

1 2

1 2

... 0

U U

dU dx dx

x x

∂ ∂

= + + =

∂ ∂ oder

1 1 2 2 ... 0

x x

dW =F dx +F dx + = Im Gleichgewicht ist die Arbeit bei beliebigen virtuellen Verschiebungen

gleich Null.

Umgekehrt:

Wenn die Arbeit bei beliebigen virtuellen Verschiebungen gleich Null ist,

so ist das System im Gleichgewicht Da die Zwangskräfte (Reaktionskräfte) keine Arbeit leisten, brauchen sie bei der Berech- nung der Arbeit nicht berücksichtigt zu wer- den. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen wird daher meistens in der folgenden Form verwendet:

Im Gleichgewicht muss die Arbeit von allen Kräften ohne Berücksichtigung von Reakti- onskräften auf allen mit den Bindungen ver- träglichen Bewegungen verschwinden.

III. Beispiele für das Prinzip der virtuellen Verrückungen.

Beispiel 1. Gegeben sei ein Hebel der Länge 2l im statischen Gleichgewicht. Im Punkt A ist der Hebel gelagert. Am Hebel greifen die Kräfte F und G sowie ein Moment M wie skizziert an.

M und G sind gegeben. Zu bestimmen ist die Kraft F und die Auflagerreaktionen.

Um die virtuelle Arbeit bei beliebigen virtuel- len Verrückungen des Hebels zu erhalten, muß zunächst der Hebel vom Lager freige- schnitten werden, um alle Kräfte am Hebel

sichtbar zu machen. Jetzt nehmen wir eine kleine, aber ansonst beliebige Verschiebung des Hebels vor. Ein starrer Körper in einer Ebene hat nur drei Freiheitsgrade: Er kann nach oben um δy, in horizontaler Richtung um δx verschoben werden und darüber hi-

naus um einen Winkel δϕ gedreht werden, sagen wir um das linke Ende des Hebels.

Virtuelle Verrückungen: δ δ δϕx, y, .

Die auf der virtuellen Verrückung geleistete Arbeit muss im Gleichgewicht verschwinden:

( )

^{( 2 ) 0}

x y

W A x A G F y lG lF M

δ = δ + − + δ + − + − δϕ= Ein Koeffizientenvergleich liefert die Gleich- gewichtsbedingungen:

x 0

A = , A_y− + =G F 0,

2 0

lG lF M

− + − = .

x y

Beispiel 2. Flaschenzug.

Bei gegebener Gewichtskraft G ist die Kraft F zu bestimmen.

Lösung: Das ist ein Sys- tem mit einem Freiheits- grad. Das Ende des Seils wird um δs_F gezogen.

Dabei hebt sich das Ge- wicht umδs_G =δs_F/ 2. Die dabei verrichtete Ar- beit ist

(

^{/ 2}

)

δ δ δ

δ

= −

= −

F G

F

A F s G s

F G s ^.

Das System ist im Gleichgewicht, wenn die virtuelle Arbeit bei einer beliebigen Verschie- bung gleich Null ist: F−G/ 2=0^.

Beispiel 3. Welche horizontale Kraft muss an den Keil angelegt werden, um das System im Gleichgewicht zu halten?

Lösung: δs_R =2δs_ptanα

Die virtuelle Arbeit muss verschwinden:

(

^{2 tan}

)

⁰

δW =P sδ P −R sδ R = P− R α δsp =

⇒ 2 tan

R P

= α .

Beispiel 4. Schraubenpresse. Zu bestimmen ist das zum Erzeugen einer Druckkraft N er- forderliche Kraftmoment des Kräftepaars P, P'.

IV. Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit zur Bestimmung der Reaktionskräf- te.

Ist nach einer bestimmten Reaktionskraft in einem Konstruktionselement gefragt, so er- setzen wir nur die uns interessierende Bin- dung durch die Reaktionskräfte und geben ihr ansonsten die Möglichkeit, sich zu bewegen (virtuelle Verrückungen auszuführen).

Beispiel 5. Zu berech- nen ist die Spannkraft des Fadens AB in dem skizzierten Teufelsarm.

Lösung: Wir "schnei- den" den Faden und lassen das Gewicht G eine kleine Verschie- bung δs ausführen. D

Dabei verschiebt sich der Punkt B um

δs_B =δs_D/ 4. Die da- bei geleistete Arbeit

muss im Gleichgewicht verschwinden:

B D 0

W T s G s

δ = − ⋅^′ δ + ⋅δ = Daraus folgt T =4G. Beispiel 6. Stabkraft Wie groß ist die Stab- kraft im Obergurt des Fachwerks?

Lösung: Indem man den Stab herausnimmt und durch die gesuchte Stabkraft ersetzt, ent- steht ein verschiebliches System mit einem Frei- heitsgrad (z.B.,φ^), durch den alle anderen virtuellen Verschiebun- gen ausgedrückt werden können.

Die virtuelle Arbeit muss verschwinden:

0

W Fa Sa

Sa

δ δφ δφ

δφ

= +

+ =

⇒ S= −¹₂F. F

G sF

δ

sG

δ

/ / 2

sN h

δ =δϕ π

2 0

W M N sN

M h N

δ δϕ δ

π δϕ

= −



= −  =

 

2

M h N

= π

1 Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 3.

Generalisierte Kräfte, Lagrangesche Gleichungen 2. Art mit nicht konservativen Kräften I. Verallgemeinerte (generalisierte) Kräfte

Gegeben sei ein Massenpunkthaufen.

Wenn alle Körper um δr_i verschoben werden (das sind die "virtuellen Verrückungen"), werden die zwischen den Körpern wirkenden konservativen Kräfte eine Arbeit

1 1 1

1 1 1

U U U ...

dW dU dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂

= − = − − −

∂ ∂ ∂

leisten. Wir wissen, dass "Arbeit=Kraft mal Weg" gilt. Daraus ist ersichtlich, dass

1 1 1

, ,

U U U

x y z

∂ ∂ ∂

− − −

∂ ∂ ∂ - Komponenten der Kraft sind. In verallgemeinerten Koordinaten gilt

1 2

1 2

... _i ...

i

U U U

dW dU dq dq dq

q q q

∂ ∂ ∂

= − = − − − − −

∂ ∂ ∂

In Analogie werden die Ableitungen

i

U q

−∂

∂ verallgemeinerte Kräfte genannt, so dass die Regel "Arbeit= verallgemeinerte Kraft mal verallgemeinerte Verschiebung" auch weiter- hin gilt.

Ähnlich werden verallgemeinerte nichtkon- servative Kräfte definiert.

Ist die Arbeit bei einer beliebigen virtuellen Verschiebung gleich

1 1 2 2 ... _{i i} ...

dW =Q dq +Q dq + Q dq +

ist, so nennt man Q die der verallgemeinerten _i Koordinate q entsprechende verallgemeiner-_i te Kraft.

Beispiel 1. Zu finden ist die verallgemeinerte Kraft Q_ϕ, die dem Winkel ϕ entspricht.

Lösung: Aus der Dynamik wissen wir, dass die bei einer Rotation geleistete Arbeit ist gleich dW =Md ist, wobei M das Kraft-ϕ moment ist.

Das Kraftmoment M ist die dem Winkel zu- geordnete verallgemeinerte Kraft.

Beispiel 2.

Ein Zentrifugalregler kann sich um die verti- kale Achse drehen. Das Gewicht jeder Kugel ist G, andere Teile können als gewichtslos

angenommen werden. Die verallgemeinerten Koordinaten seien α ^undϕ^. Zu finden sind die entspre- chenden ver- allgemeinerten Kräfte.

Lösung:

1 2

s s l

δ =δ = ⋅δα Die virtuelle Arbeit bei Än- derung des Winkels α ^ist

1 sin 2 sin 2 sin

δWα = − ⋅G δs ⋅ α− ⋅G δs ⋅ α = − G l⋅ ⋅δα⋅ α Für die verallgemeinerte Kraft folgt

2 sin

Q_α = − G l⋅ ⋅ α. 0

W_ϕ

δ = ⇒ _{Qϕ =0.}

Beispiel 3. Ein Kolben kann sich in einem unter Druck p stehenden Zylinder bewegen.

Als verallgemeinerte Koordinate des Kolbens sei das Volumen der linken Kammer gewählt.

Zu berechnen ist die dieser verallgemeinerten Koordinate zu- geordnete ver- allgemeinerte Kraft.

Lösung: Die auf die Oberfläche des Kolbens wirkende Kraft ist gleich F = ⋅p A. Die Arbeit dieser Kraft bei einer kleinen Verschiebung dx des Kolbens ist gleich dW = ⋅F dx= ⋅ ⋅p A dx= ⋅p dV . Die verallgemeinerte Kraft ist _V W

Q p

V

= ∂ =

∂ . Die der verallgemeinerten Koordinate "Volumen"

zugeordnete verallgemeinerte Kraft ist Druck.

Tabelle der generalisierten Kräfte

Generalisierte Koordi- nate

Generalisierte Kraft

kartesische Koordinate

x x-Komponente

der Kraft F^x

Rotationswinkel ϕ Kraftmoment bezüglich des- selben Punktes

M

Volumen V ^Druck p

Im Allgemeinen q δW/δq

II. Lagrangesche Gleichungen 2. Art mit nicht konservativen Kräften

Die uns bekannten Lagrangeschen Gleichun- gen 2. Art

0

i i

d L L

dt q q

∂ − ∂ =

∂ɺ ∂

können auch in der folgenden Form geschrie- ben werden:

0

i i i

d K K U

dt q q q

∂ −∂ +∂ =

∂ɺ ∂ ∂ oder

i

i i i

d K K U

dt q q q Q

∂ −∂ = −∂ =

∂ɺ ∂ ∂ .

Eine Bewegung kann sich aber nicht ändern, wenn wir Kräfte einer Natur durch die glei- chen Kräfte anderer Natur ersetzen. Daraus folgt, daß die Gleichung _i

i i

d K K

dt q q Q

∂ −∂ =

∂ɺ ∂ auch dann gilt, wenn Q beliebige verallge-_i meinerte Kräfte (nicht unbedingt konservati- ve) sind.

Wenn wir die Kräfte als eine Summe aus kon- servativen und nicht konservativen Kräften darstellen, so gilt:

(kons.) ( .n kons.) ( .n kons.)

i i i

i i i

d K K U

Q Q Q

dt q q q

∂ −∂ = + = −∂ +

∂ɺ ∂ ∂

Diese Gleichung kann in der folgenden Form geschrieben werden:

( .n kons.) i

i i

d L L

dt q q Q

∂ − ∂ =

∂ɺ ∂

Lagrangesche Gleichungen 2. Art für Systeme mit

nicht konservativen Kräften

Beispiel 1. Gegeben sei eine abgesetzte Rolle mit den Radien r und R auf einer schrägen Ebene im Erdschwerefeld. Sie wird über einen Faden und eine Feder-Dämpferkombination gehalten. Die Ruhelänge der Feder sei l. Man ermittle die Bewegungsgleichungen des Sys- tems.

Lösung: Die Lagrangefunktion des Systems:

( )

²

2 2

1 1 1

* sin

2 2 2

L= mxɺ + Θ −ϕɺ c x −l +mgx α Die Dämpferkraft ist eine nicht konservative Kraft. Die zugehörige virtuelle Arbeit ist

* *

Dämpfer

W bx x

δ = − ɺ δ .

Die Koordinaten , *,x x ϕ sind abhängig.

1. Bindung: Die Rolle rollt ⇒ x=Rϕ. 2. Bindung: x* liegt auf der Rolle ⇒

( )

*

x = R+r ϕ^.

Daraus folgen die Zusammenhänge zwischen den Koordinaten:

/

ϕ=x R, * R r

x x

R

= + .

Die Lagrangefunktion ausgedrückt als Funkti- on der einzigen gebliebenen verallgemeiner- ten Koordinate x:

2 2

2

1 1

2 2 sin

R r

L m x c x l mgx

R^Θ R⁺ α

   

=  +  −  −  +

 ɺ  

Zur Berechnung der generalisierten Kraft, die derselben Koordinate x zugeordnet ist, be- rechnen wir die virtuelle Arbeit des Dämpfers

( )

²

Dämpfer 2

R r

W b x x

δ = − R⁺ ɺδ ⇒

Die der Koordinate x zugeordnete nicht kon- servative verallgemeinerte Kraft ist somit

( )

²

x 2

R r

Q b x

R

= − + ɺ.

Die Lagrangegleichung lautet

x

d L L

dt x x Q

∂ −∂ =

∂ɺ ∂ . Ableitungen:

2

∂  Θ 

= + 

∂  ɺ

ɺ

L m x

x R ,

2

∂  Θ 

= + 

∂  ɺɺ ɺ

d L

m x

dt x R ,

sinα

∂ +  + 

= −  − +

∂  

L R r R r

c x l mg

x R R .

Somit ergibt sich die folgende Bewegungs- gleichung

( )

2 2 2

sin .

R r R r

m x c x l mg

R R R

b R r x R

Θ + + α

   

+ + − − =

   

   

= − +

ɺɺ

ɺ

1 Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 4

Die Dissipationsfunktion. Zwangskräfte.

I. Die Dissipationsfunktion.

Zur Berechnung von generalisierten dissipa- tiven (Widerstands-) Kräften benutzt man die Dissipationsfunktion.

Definieren wir eine Funktion D, deren Ablei- tungen nach Geschwindigkeitskomponenten mit negativem Vorzeichen die Reibungs- kraftkomponenten ergeben:

(1)

1 x

F D

x

= −∂

∂ɺ ^,

(1)

1 y

F D

y

= −∂

∂ɺ ,... . (1) Beispiele:

• Gleitreibung: D=µN v_rel , µ- Reibkoeffizient, N- Normalkraft

• lineare Dämpfung: 1 ² 2 ^rel D= bv ^, b-Dämpfungskonstante

• Luftwiderstand: 1 ³ 3 ^rel D= k v ^. v ist relative Gleitgeschwindigkeit. rel

Wir wollen nun verallgemeinerte dissipative Kräfte berechnen. Bei der Beschreibung eines Systems mit verallgemeinerten Koordinaten sind seine kartesischen Koordinaten Funktio- nen von verallgemeinerten Koordinaten:

( ,...,1 )

i i s

x =x q q .

Zur Berechnung der verallgemeinerten Kräfte berechnen wir die virtuelle Arbeit bei einer beliebigen Verrückung des Systems:

i i i

i i i

dW F dx Ddx

x

= = −∂

∑ ∑

∂

ɺ .

eine verallgemeinerte Kraft wird definiert als

i i

j

i i

j i j i j j

W D x D x D

Q q x q x q q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = − = − = −

∂

∑

∂ ∂

∑

∂ ∂^ɺ ∂

ɺ ɺ ɺ ɺ

Daraus folgt für beliebige generalisierte Koordinatenq_i:

qi

i

Q D

q

= −∂

∂ɺ

Mit der Dissipationsfunktion lassen sich die Lagrangegleichungen wie folgt schreiben:

i

i i i

d L L D

dt q q q Q

∂ − ∂ +∂ =

∂ɺ ∂ ∂ɺ

In dieser Form sind die folgenden Kräfte be- rücksichtigt: (a) alle konservativen Kräfte stecken bereits in der Lagrangefunktion, (b) dissipative (Widerstands-) Kräfte durch die

Dissipationsfunktion, (c) alle sonstigen mit Qi.

Beispiel. Modell eines Fahrzeuges: Aufbau + zwei Räder über Feder-Dämpferbeine abge- stützt. Nickbewegungen des Aufbaus seien klein. Ein Rad wird mit einem Moment M₀

angetrieben. Der Aufbau erfährt einen Wider- stand durch den mit konstanter Geschwindig- keit v wehenden Wind. Man stelle die Bewe- gungsgleichungen auf.

Lösung: Die Lagrangefunktion des Systems:

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

2 3

1 1

( )

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2 .

s

r

r

L M x y

mx mx

Mgy c y l c y l ϕ

ϕ ϕ

= + + Θ

+ + Θ

+ + Θ

− − − − −

ɺ

ɺ ɺ

ɺ ɺ

ɺ ɺ

Die Dissipationsfunktion des Systems ist

2 2 3

2 3

1 1 1

2 2 3

D= byɺ + byɺ + k xɺ+v ^.

Das Antriebsmoment muss über die virtuelle Arbeit δW_Antrieb = −M₀δϕ₃ berücksichtigt werden.

Bindungsgleichungen: Als generalisierte Koordinaten werden x y, ,ϕ ^gewählt.

x2 = −x a ⇒ xɺ₂ = xɺ x3 = +x a ⇒ xɺ₃ =xɺ

y2 = −y aϕ ⇒ yɺ₂ = −yɺ aϕɺ y3 = +y aϕ ⇒ yɺ₃= +yɺ aϕɺ

2 2

x x a

r r

ϕ = − = − ^{− ⇒} 2

x ϕ = −rɺ

ɺ

M0

M0

3 3

x x a

r r

ϕ = − = − ^{+ ⇒} 3

x ϕ = −rɺ

ɺ

Für die Lagrangesche Funktion ergibt sich

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

1 1

2 2

r

L M x y s mx x

r

Mgy c y a l c y a l

ϕ

ϕ ϕ

= + + Θ + + Θ

− − − − − + −

ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ

oder

( )

( )

2 2 2 2

2

2 2 2

1 1

2 2

r

L M x y s m x

r Mgy c y l ca

ϕ ϕ

Θ 

= + + Θ + + 

 

− − − −

ɺ

ɺ ɺ ɺ

Die Dissipationsfunktion ist

( )

²

( )

^{2 3}

2 2 2 3

1 1 1

2 2 3

1 .

3

D b y a b y a k x v

by ba k x v

ϕ ϕ

ϕ

= − + + + + =

= + + +

ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ

ɺ

ɺ ɺ

Die virtuelle Arbeit des Antriebsmomentes ist

δ Antrieb = 0δ

W M x

r ^⇒

= 0 x

Q M

r ^. Die Bewegungsgleichungen:

( )

⁰

2 2Θ2

 

+ + + + + =

 

 ^r ɺɺ ɺ ɺ M

M m x k x v x v

r r

2 ( ) 2 0

Myɺɺ+Mg+ c y− +l byɺ =

2 2

2ca 2ba 0

ϕ ϕ ϕ

Θ +ɺɺ + ɺ =

II. Zwangskräfte können auch im Lagrange- formalismus berechnet werden.

Zwangskräfte stehen immer senkrecht zu den

"erlaubten" Bewegungen. Gibt es in einem System eine Bindung der Form

1 2

( , ,..., _s) 0

g q q q = , (1) so kann sich dieses System im q-Raum nur auf der Hyperfläche (1) bewegen:

Die Zwangskräfte sind senkrecht zu dieser Fläche gerichtet. Diese "senkrechte Rich- tung" kann analytisch berechnet werden: Er- leiden alle Koordinaten q eine beliebige _i kleine Änderung, die mit der Bedingung (1) verträglich ist, so ändert sich g nicht, d.h.:

i 0

i

i i

dg g dq

q

= ∂ =

∑

∂ ^.

Diese Gleichung kann als Skalarprodukt von zwei Vektoren:

1

,...,

s

g g

g q q



∂ ∂

∇ = 

∂ ∂

  ^und

(

1,..., _s

)

dq dq dq

→ = aufgefasst werden. Vektor dq

→

liegt dabei immer in der Hyperebene und Vektor

1

,...,

s

g g

g q q



∂ ∂

∇ = 

∂ ∂

  folglich senkrecht zu dieser Ebene. Das bedeutet, dass die Zwangskraft die gleiche Richtung hat, wie der Vektor g∇ :

. Zwang i

i

Q g

λ ^∂q

= ∂ .

Die noch unbekannte Größe λ heißt Lagran- ge-Multiplikator und kann aus der Bedingung (1) berechnet werden.

Lagrangesche Gleichungen 1. Art

für Systeme mit beliebigen eingeprägten Kräften und Zwangskräften

1 r

k

i k

i i i k i

g

d L L D

dt q q q Q λ q

=

∂

∂ − ∂ +∂ = +

∂ ∂ ∂

∑

∂

ɺ ɺ

1( ,1 2,..., _s)=0

g q q q

...

1 2

( , ,..., )=0

k s

g q q q

Beispiel: Ein Pendel. Man stelle die Bewe- gungsgleichungen auf und gebe die Stangenkraft an.

Lösung: Die Lagrangefunktion ohne Berücksichtigung der Zwangsbedingung ist

2 2 2

1 1

2 2 cos

L= mrɺ + mrϕɺ +mgr ϕ .

Die Zwangsbedingung ist r− =l 0, somit ( , )

g r ϕ = −r l.

Die Bewegungsgleichungen sind:

1) ² cos g

mr mr mg

ϕ ϕ λ^∂r λ

− − = =

ɺ ∂ ɺɺ

2) ² 2 sin g 0

mr ϕ mrrϕ mgr ϕ λ ϕ

+ + = ∂ =

ɺɺ ɺɺ ∂ 3) r - l = 0 ⇒ rɺɺ=0.

Die zweite Gleichung ist dann die gesuchte Bewegungsgleichung und die erste gibt die Zwangskraft an:

2 cos

r

F g mr mg

λ^∂r ϕ ϕ

= = − −

∂ ɺ .

ϕ r=l

1 Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 5.

I. Zwangskräfte (Fortsetzung)

II. Potentielle und kinetische Energie eines elastischen Stabes, Eigenschwingungen I. Lagrangesche Gleichungen 1. Art für ein

System mit mehreren Bindungen

Gibt es in einem mechanischen System mit der Lagrangefunktion L r Bindungen, die mittels der Bindungsgleichungen

( ,...,1 ) 0

k s

g q q = , k =1,...,r

dargestellt werden können, so haben die Be- wegungsgleichungen die Form:

Lagrangesche Gleichungen 1. Art

1 r

k

i k

i i i k i

d L L D g

dt q q q Q λ q

=

∂ − ∂ +∂ = + ∂

∂ ∂ ∂

∑

∂

ɺ ɺ

1( ,1 2,..., _s) 0

g q q q =

...

1 2

( , ,..., ) 0

r s

g q q q =

Beispiel: Ein Pendel. Man stelle die Bewe- gungsgleichungen auf und gebe die Stangenkraft an.

Lösung: Die Lagrangefunktion ohne Berücksichtigung der Zwangsbedingung ist

2 2 2

1 1

2 2 cos

L= mrɺ + mr ϕɺ +mgr ϕ Die Zwangsbedingung ist r− =l 0, somit

( , )

g r ϕ = −r l.

Die Lagrangegleichungen sind:

1) ² cos g

mr mr mg

ϕ ϕ λ^∂r λ

− − = =

ɺ ∂ ɺɺ

2) ² 2 sin g 0

mr ϕ mrrϕ mgr ϕ λ ϕ

+ + = ∂ =

ɺɺ ɺɺ ∂ 3) r - l = 0 ⇒ ɺɺr=0.

Die zweite Gleichung ist die gesuchte Bewe- gungsgleichung und die erste gibt die Zwangskraft an:

2 cos

r

F g mr mg

λ^∂r ϕ ϕ

= = − −

∂ ɺ .

II. Kontinuierliche Medien

A. Potentielle und kinetische Energie eines deformierten Stabes

Spannung: u

E E

σ = ε = ^∂x

∂ . Kraft:

i

i i i i i

i i

l AE

F A AE AE l k l

l l

σ ε ^∆

= = = = ∆ = ∆ ^⇒

Steifigkeit eines Elementes:

i

k AE

= l . Potentielle Energie eines Elementes:

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2

i i

i i i

i i

i i i

i

l AE AE l

U k l l

l l

AE AE u

l l

ε x

∆ ∆

= = ∆ = =

∂ 

= = ∂ 

Potentielle Energie des ganzen Stabes:

2

i 2 i

i i i

AE u

U U l

x

∂

 

=

∑

=

∑

∂  oder

2

2

0 2 0 2

l l

AE u AE

U dx u dx

x

∂

  ′

=

∫

∂  =

∫

Kinetische Energie des Stabes:

2 2

0 2 0 2

l l

v u

K =

∫

dm =

∫

ρA^ɺ dx^. Lagrangefunktion:

2 2

0 2 2

l u AE u

L A dx

ρ x ^

 ∂ 

=

∫

 ^ɺ − ∂  

B. Lagrangefunktion eines elastischen Sta- bes in Fourier-Darstellung

Betrachten wir einen an beiden Enden fest- gespannten elastischen Stab der Länge l (Randbedingungen (0)u =0, ( )u l =0):

Mit welchen generalisierten Koordinaten kann man einen Stab beschreiben?

Erste Möglichkeit: u x ; hier spielt u die ( ) Rolle von generalisierten Koordinaten und x die Rolle des Indexes i, welcher die Koordi- naten nummeriert.

Zweite Möglichkeit: Jede nicht singuläre Funktion kann auf dem Intervall (0, )l in eine Taylor-Reihe entwickelt werden:

li

0 x

l u

ϕ r=l

x x dx+ x

0

( , ) _n( ) ⁿ

n

u x t a t x

∞

=

=

∑

. Die Entwicklungskoef- fizienten a können als generalisierte Koor-_n dinaten gewählt werden.

Dritte Möglichkeit: Jede Funktion, die den Randbedingungen (0)u =0, ( )u l =0 genügt, kann auf dem Intervall (0, )l in eine Fourier- Reihe entwickelt werden:

0

( , ) _n( ) sin

n

u x t a t nx l π

∞

=

=

∑

^.

Die Fourier-Koeffizienten a können eben-_n falls als generalisierte Koordinaten gewählt werden.

Weitere Möglichkeiten:

0

( , ) _n( ) _n( )

n

u x t ^∞ a t ϕ x

=

=

∑

^{, wobei} ϕn^{( )}x ^{ein vol-} ler Satz von Basisfunktionen (es gibt ver- schiedene).

Betrachten wir die dritte Wahl der generali- sierten Koordinaten näher:

0

( , ) _n( ) sin

n

u x t a t nx l π

∞

=

=

∑

^.

Wir leiten die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten a her. Zu die-_n sem Zweck muss die Lagrange-Funktion des Stabes

(

^{2 2}

)

0

1 '

2

l

L=

∫

ρAu^ɺ −AEu dx als Funktion der generalisierten Koordinaten dargestellt wer- den. Die Ableitungen sind:

0

( , ) _n( ) sin

n

u x t a t nx l π

∞

=

=

∑

ɺ ɺ ,

0

'( , ) _n( ) cos

n

n nx

u x t a t

l l

π π

∞

=

 

=  

 

∑

2

, 1 0

0

1 sin sin

2 4

l

n n k

n k n

nx kx Aa l

K Aa a dx

l l

π π ρ

∞ ρ ∞

= =

=

∫ ∑

^{ɺ ɺ} =

∑

^ɺ

, 1 0

1 cos cos

2

l

n k n k

n k nx kx

U AEa a dx

l l l l

π π π π

∞

=

=

∫ ∑

2 2

1

1

4n ⁿ

AEa n l

l π

∞

=

 

=  

 

∑

Die Lagrangefunktion lautet:

2 2 2

2

0 1

1

4 4

n

n

n n

Aa l n

L AEa

l

ρ π

∞ ∞

= =

=

∑

^ɺ −

∑

^.

Die Lagrangegleichungen 0

n n

d L L

dt a a

∂ − ∂ =

∂ɺ ∂ lauten:

2 2

n n 0

Aa l AEa n l

ρ ɺɺ + π = .

Diese Gleichung beschreibt harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz

n

E n

l ω π

ρ

 

=  

 .

Wir haben heraus gefunden, dass die Bewe- gungsgleichungen für alle generalisierten Koordinaten a unabhängig von einander _n sind! Die allgemeine Lösung für die Koordi- nate a t lautet: _n( )

( ) cos sin

cos sin

n n n n n

n n

a t A t B t

E n E n

A t B t

l l

ω ω

π π

ρ ρ

= +

   

=   +  

   

Wenn wir eine Deformation haben, bei der zum Zeitpunkt t=0 nur eine Koordinate a _n verschieden von Null war, so ist dies auch zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt gültig.

In diesem Fall ist die Verschiebung durch den Ausdruck

( , ) _n( ) sin nx u x t a t

l

= π

gegeben. Diese Funktion heißt die n-te Eigen- form der Schwingungen des elastischen Sta- bes. Der Stab oszilliert dabei mit einer kons- tanten Frequenz _n E n

l ω π

ρ

 

=  

 , welche als n-te Eigenfrequenz bezeichnet wird. Die ge- neralisierten Koordinaten a heißen Normal-_n koordinaten des Stabes. Die allgemeine Lö- sung für die n-te Eigenform ist

( , ) _ncos E n _nsin E n sin nx

u x t A t B t

l l l

π π π

ρ ρ

     

=   +   

   

 

mit beliebigen Konstanten A und _n B , deren _n Werte von den Anfangsbedingungen abhän- gen.

Im zweiten Teil des Kurses, der Konti- nuumsmechanik, werden wir diese Lösung auf einem anderen Weg, als die sogenannte Bernoullische Lösung der Wellengleichung, kennenlernen.

1

Energiemethoden der Mechanik / Prof. Popov / Vorlesung 6.

Potentielle und kinetische Energie eines elastischen Balkens, eines Torsionsstabes, einer ge- spannten Saite. Beispiele für Statik und Dynamik eines Balkens.

I. Energie eines Balkens

Gegeben sei ein Balken mit der Länge l, dem geometrischen Trägheitsmoment des Quer- schnitts I und dem Elastizitätsmodul E in einem deformierten Zustand, der durch die Querverschiebung w x( ) seiner Achse gege- ben ist. Zu bestimmen ist seine potentielle Energie.

Wir betrachten einen infinitesimal kleinen Ausschnitt aus dem Balken:

Aus der vorigen Vorlesung wissen wir, dass potentielle Energie eines gedehnten Stabes

2 2

2 2

AE E

U = ε l = ε ⋅V

ist (V ist Volumen).

Deformation einer "Faser" mit der Querkoor- dinate y (gemessen von der Mittellinie) ist

( )y y R/ y w''

ε = − = − ⋅ . Die potentielle Energie ist gleich:

2 2 2

0 0

( ) 1 '' ( )

2 2

l l

U=

∫ ∫∫

dx Eε y dydz=

∫ ∫∫

dx E y w x dydz oder

2 0

1 '' ( ) 2

l

U =

∫

EIw x dx

Die kinetische Energie berechnet sich wie bei einem Stab zu:

2

0 2

l w

K =

∫

ρA ^ɺ dx

II. Energie eines Torsionsstabes

Wir schneiden aus einem verdrehten Stab ein infinitesimal kleines Element zwischen x und x+dx. Der linke Rand ist gedreht um den Winkel θ( )x ^{, der rechte um}

(x dx) d

θ + = +θ θ . Das Torsionsmoment im Querschnitt ist gleich

r r

M GI GI

x

θ θ

∆ ′

= =

∆ (I_r ist das polare geo- metrische Trägheitsmoment des Quer- schnitts). Der Torsionssteifigkeitskoeffizient des Elementes ist k =GI_r/∆x. Die potentiel- le Energie des Elementes ist

2 2 2

2

2 2 2 2 2

r r r

I I GI

U k G G x x

x x

θ θ θ θ

∆ ∆ ∆ ′

∆ = = = ∆ = ∆

∆ ∆

Potentielle Energie des gesamten Stabes ist

2

0 2

l

GIr

U =

∫

θ′ dx^.

Die kinetische Energie eines Elementes ist:

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

über über

Querschnitt Querschnitt

über über

Querschnitt Querschnit

mv x y z r

K

y z r

x x r dydz

ρ θ

ρ θ ρ θ

∆ ⋅∆ ∆ ∆ ⋅

∆ = =

⋅∆ ∆ ⋅

= ∆ = ∆

∑ ∑

∑ ∫

ɺ

ɺ ɺ

2

2 Ir

xρ θ

= ∆ ɺ . Die gesamte kinetische Energie:

2

0 2

l

Ir

K =

∫

ρ θ^ɺ dx

III. Energie einer gespannten Saite Saite ist ein vorgespannter Faden, der keine Biegesteifigkeit besitzt.

Wir nehmen einen elastischen Faden mit der Länge l im ungespannten Zustand und deh-₀ nen ihn um ∆l₀ auf eine neue Länge

0 0

l= + ∆l l ; dadurch entsteht eine Spannkraft S= ∆c l0 (c ist der Steifigkeitskoeffizient).

x w(x)

l

neutrale Linie R

x w,y

1/R=w''

x

w l x

Jetzt lenken wir die Saite aus diesem Zustand aus (Verschiebung in der Querrichtung

( )

w x ). Dadurch dehnt sich der Faden auf die Länge

2 2

0 0

2 2

0 0 0 0 1

0 0

1 1 . . .

2

2 2

l l

l l

l w dx w G h O dx

w w

l dx l l dx l l l

′ 

′= + ′ =  + + 

 

′ ′

≈ + = + ∆ + = + ∆ + ∆

∫ ∫

∫ ∫

Die potentielle Energie vor der Auslenkung

war _{1 0}²

2

U = ∆c l . Nach der Auslenkung:

( )

²

(

²

)

2 0 1 0 2 0 1 . . .

2 2

c c

U = ∆ + ∆l l = ∆ + ∆ ∆ +l l l G h O

2 1 0 1 1

U =U −U = ∆ ∆ = ∆c l l S l oder

2

2 0

S l

U =

∫

w dx′ ^.

Sie hängt nicht von der Steifigkeit des Fa- dens, sondern nur von der Vorspannkraft S ab. Die kinetische Energie ist wie beim Bal- ken

2

0

2 .

l w

K =

∫

ρA ^ɺ dx

IV. Ein Balken im statischen Gleichge- wicht: ein Beispiel.

Zu berechnen ist die Durchbiegung in der Mitte.

Lösung: Die poten- tielle Energie ist

( )

²

0

1 ''( ) ( / 2)

2

l

U =

∫

EI w x dx+Fw l Mit dem Ansatz

0

( ) _nsin

n

w x a nx l π

∞

=

=

∑

^{, (der}

den Randbedingungen (0)w =0, ( )w l =0 genügt), bekommen wir

2

0

''( ) _n sin

n

n nx

w x a

l l

π π

∞

=



=  

 

∑

.

Die potentielle Energie ist

4 2

0 0

4 n ⁿ n ⁿsin 2

EIl n n

U a F a

l

π π

∞ ∞

= =

 

=   + ⋅

 

∑ ∑

^.

Die Bedingungen für ein Gleichgewicht:

4

sin 0

2 ⁿ 2

n

U EIl n n

a F

a l

π π

∂  

=   + ⋅ =

∂  

Daraus folgt ^{an = −}_^2Fl3sinπ₂^n_^/

(

^EIπ4n4

)

^.

Die Durchbiegung in der Mitte ist somit

3 2

4 4

0 0

3 3

4 4

0

2 sin sin 2

2 2

2 1

(2 1) 48 .

n

n n

k

Fl n

l n

w a

EI n

Fl Fl

EI k EI

π π

π π

∞ ∞

= =

∞

=

 = = − =

  

− = −

+ ⋅

∑ ∑

∑

4 4 0

: 1

(2 1) 96

k

berücksichtige

k

π

∞

=

 

 + = 



∑



V. Dynamik eines Balkens

Gegeben sei ein beidseitig drehbar gelagerter Balken. Zu bestimmen sind die Eigenfre- quenzen.

Lösung: Die Querauslenkung des Balkens genügt den Randbedingungen (0)w =0,

( ) 0

w l = und kann daher als folgende Fou- rier-Reihe dar- gestellt werden:

0

( , ) _n( )sin

n

w x t a t nx l π

∞

=

=

∑

.

Als generalisier- te Koordinaten wählen wir a .Die zur Be-_n rechnung von Energien benötigten Ableitun- gen sind:

0

( , ) _n( )sin

n

w x t a t nx l π

∞

=

=

∑

ɺ ɺ ,

2

0

( , ) _n( ) sin

n

n nx

w x t a t

l l

π π

∞

=

 

′′ = −  

 

∑

^.

Kinetische und potentielle Energien:

2

, 1 0

0

1 sin sin

2 4

l

n n k

n k n

nx kx Aa l

K Aa a dx

l l

π π ρ

∞ ρ ∞

= =

=

∫ ∑

^{ɺ ɺ} =

∑

^ɺ

4 2

1

1

4 n ⁿ

U EIa n l

l π

∞

=

 

=  

 

∑

Die Lagrangefunktion:

2 4

2

0 1

1

4 4

n

n

n n

Aa n

L l EIa

l

ρ π

∞ ∞

= =

   

= 

∑

^ɺ −

∑

  ^. Die Lagrangegleichungen:

0

n n

d L L

dt a a

∂ − ∂ =

∂ɺ ∂ oder

4

n n 0

Aa EIa n l ρ + ^π ^ =

 

ɺɺ . Diese Gleichungen

beschreiben Schwingungen mit den Kreisfre- quenzen

4 2

n

EI n A l ω π

ρ

 

=  

  .

2 n

n EI

l A

ω π

ρ

 

= 

 

F