Das Kato Spektrum

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S E M I N A R V O R T R A G

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uber die Bachelorarbeit

Das Kato Spektrum

vorgetragen von Eva Wagner am 12./19./26. April 2021

1 Allgemeines

In diesem Handout habe ich die Resultate aus meiner Bachelorarbeit übernommen. Die Be- weise werde ich im Zuge meines Vortrages präsentieren. Alternativ können sie auch in meiner Bachelorarbeit nachgeschlagen werden. Im ersten Teil meines Vortrages werden wir erste Re- sultate aus der Spektraltheorie beweisen und das Kato Spektrum kennenlernen. Im zweiten Teil wollen wir zeigen, dass das Kato Spektrum kompakt ist und eine konkrete Darstellung des Kato Spektrums für spezielle Arten von Operatoren mithilfe der Sandwich Formel finden.

Als Letztes zeigen wir den Spektralabbildungssatz für das Kato Spektrum. Wir setzen voraus, dass im Folgenden alle Banachräume mit dem Skalarkörper Cversehen sind.

2 Erste Definitionen und Resultate

Definition 1. SeiT ∈Lb(X) ein linearer und beschr¨ankter Operator mit einem Banachraum X. Wir definieren das approximative Spektrum

σap(T) :={λ∈C:∃(xn)n∈N:xn∈X, kx_nk= 1 und (T −λ)xn

−−−→n→∞ 0}.

Definition 2. SeiT ∈Lb(X, Y) mit Banachr¨aumenXundY. Dann definieren wir die untere Schranke von T durch

κ(T) := inf

nkT xk

kxk :x∈X\ {0}o .

Bemerkung 3. F¨ur nicht injektivesT giltκ(T) = 0. FallsT injektiv ist, giltκ(T) = T⁻¹

−1, wobei T⁻¹ :T(X)→X.

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Korollar 4. Ist T ∈Lb(X, Y) eine zwischen zwei Banachr¨aumen X undY surjektive Abbil- dung, so gilt

∃c >0 : ∀y∈Y ∃x∈X:T x=y und kxk ≤ckyk.

Proposition 5. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X 6={0} und λ∈C sind folgende Aussagen ¨aquivalent.

(i) λ /∈σap(T).

(ii) ker(T −λ) ={0} und (T−λ)X ist abgeschlossen.

(iii) T −λist nach unten beschr¨ankt, also κ(T −λ)>0.

Das approximative Spektrum σ_ap(T) ist abgeschlossen und es gilt ∂σ(T) ⊆ σ_ap(T) ⊆ σ(T).

Insbesonders ist σ_ap(T) nichtleer.

Definition 6. Sei T ∈Lb(X) mit einem BanachraumX. Dann wird mitT^∞X := T

n∈N

TⁿX der verallgemeinerte Bildbereich von T bezeichnet. Die Kato Resolventenmenge ist gegeben durch

ρK(T) :={λ∈C: ker (T−λ)⊆(T−λ)^∞X, (T −λ)Xabgeschlossen}

und das Kato Spektrum wird als Komplement der Resolventenmenge σ_K(T) := C\ρ_K(T) definiert.

Korollar 7. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt σ_K(T)⊆σap(T).

Lemma 8. HabeT ∈L_b(X)abgeschlossenes BildT X und seiY ein abgeschlossener, linearer Teilraum von X, wobei kerT ⊆Y. Dann ist auch T Y abgeschlossen.

Lemma 9. SeiT ∈L_b(X) ein Operator mit kerT ⊆T^∞X. Dann giltT(T^∞X) =T^∞X und kerTⁿ⊆T^∞X f¨ur allen∈N.

Korollar 10. F¨ur T ∈L_b(X) und λ∈ρ_K(T) folgt, dass

(i) f¨ur jedes n∈Nder Operator (T−λ)ⁿ abgeschlossenes Bild hat, (ii) (T−λ)^∞X abgeschlossen ist und

(iii) (T−λ)(T−λ)^∞X= (T−λ)^∞X gilt.

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Definition 11 (lokale Resolventenmenge). Sei T ∈ Lb(X) und x ∈ X beliebig. Die lokale Resolventenmenge ist definiert durch

ρT(x) :=[

{U :U ⊆Coffen,∃f ∈H(U, X) : (T−λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈U}.

Die Mengeσ_T(x) :=C\ρ_T(x) heißt das lokale Spektrum.

Bemerkung 12. Als Vereinigung offener Mengen ist ρ_T(x) auch offen und σ_T(x) somit abgeschlossen.

Da f¨urλ∈ρ(T) sicherlich (T−λ)(T−λ)⁻¹x=xgilt und daλ7→(T−λ)⁻¹ und infolgeλ7→

(T−λ)⁻¹x holomorph aufρ(T) ist, erhalten wirρ(T)⊆ρ_T(x) f¨ur alle x∈X. Somit k¨onnen die analytischen Funktionen, die in der Definition der lokalen Resolventenmenge vorkommen, als lokale Fortsezung der Funktion (T −λ)⁻¹x gesehen werden.

Lemma 13. SeiXein Banachraum undU eine offene Teilmenge vonC. Für einen Operator T ∈L_b(X), x∈Xundf ∈H(U, X)mit(T−λ)f(λ) =xfür alleλ∈U giltσ_T(x) =σ_T(f(λ)) für jedes λ∈U.

Definition 14 (lokaler spektraler Teilraum). F¨urF ⊆Cnennen wir die Menge XT(F) :={x∈X:σT(x)⊆F}

den lokalen spektralen Teilraum.

Definition 15 (T-hyperinvariant). Sei X ein Banachraum. Ein linearer Teilraum Y ⊆ X heißt T-hyperinvariant, wenn f¨ur jeden mit T kommutierenden Operator S ∈ L_b(X) die InklusionSY ⊆Y gilt.

Lemma 16. Sei T ∈ L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X und F ⊆C. Dann ist X_T(F) ein T-hyperinvarianter, linearer Teilraum vonX.

Korollar 17. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X und F ⊆C gilt (T−λ)XT(F) =XT(F)f¨ur alleλ∈C\F.

Definition 18. SeiF ⊆Cabgeschlossen undT ∈L_b(X).

X_T(F) :={x∈X :∃f ∈H(C\F, X) mit (T −λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈C\F}.

Diese Menge bildet offenbar einen Unterraum vonXund wir nennen sie den globalen, lokalen spektralen Teilraum. Offenbar gilt X_T(F)⊆X_T(F).

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Definition 19. Das surjektive Spektrum eines Operators T ∈ Lb(X) ist folgendermaßen definiert

σ_su(T) :={λ∈C: (T−λ)X 6=X}.

Lemma 20. SeiT ∈Lb(X) mit einem Banachraum X. Zuλ∈C\σsu(T) gibt es ein >0 derart, dass

X=X_T(C\U(λ)).

Korollar 21. F¨ur einen Operator T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt σ_su(T) =[

{σ_T(x) :x∈X}.

Proposition 22. F¨ur T ∈L_b(X) und λ∈ρ_K(T) gilt (T −λ)^∞X =X_T(C\ {λ}).

3 Das Kato Spektrum ist kompakt

Lemma 23. SeiT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X. Dann gilt (i) XT(F)⊆XT(G), falls F ⊆G⊆C,

(ii) x∈XT(F) mit x∈X, λ∈F, falls (T−λ)x∈XT(F), (iii) ker(T −λ)ⁿ⊆X_T({λ}) f¨ur λ∈C, n∈N.

Definition 24 (Minimum Modulus). SeiT ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Wir nennen γ(T) := infn kT xk

d(x,kerT) :x∈X\kerTo

den Minimum Modulus von T, wobei γ(T) := +∞ im Fall T = 0. F¨ur injektives T gilt γ(T) =κ(T).

Bemerkung 25. Man zeigt leicht, dass γ(T) = κ(T), wobeie Te : X/kerT → T X durch Te([x]kerT) = T x definiert ist. Dann gilt γ(T) =

Te⁻¹

−1

. Ist T X = T(X/kere T) abgeschlossen, so folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung

Te⁻¹

<+∞, also γ(T)>0.

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Bemerkung 26. Da für λ∈ ρK(T) definitionsgemäß (T −λ)X abgeschlossen ist, gilt insbesonders γ(T −λ)>0. Wir schreibenδ :=γ(T −λ) für den Minimum Modulus vonT −λ.

Lemma 27. F¨ur T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X und λ∈ρK(T) gilt (i) (T−λ)^∞X=X_T(C\ {λ}) =X_T(C\U_δ(λ)),

(ii) (T−λ)^∞X⊆(T−µ)^∞X f¨ur alle µ∈U_δ(λ).

Satz 28. F¨ur T ∈ Lb(X) mit einem Banachraum X ist ρK(T) offen und daher σK(T) abgeschlossen in C.

Bemerkung 29. Es folgt, dass das Kato Spektrum als Teilmenge der kompakten Mengeσ(T) selbst kompakt ist.

4 Die Sandwich Formel

Um einen besseren Eindruck zu bekommen, wie das Kato Spektrum in der komplexen Zah- lenebene liegt, wollen wir die sogenannte Sandwich Formel zeigen.

Definition 30. F¨urT ∈L_b(X) mit einem BanachraumX ist das Kompressionspektrum von T folgendermaßen definiert

σ_com(T) :={λ∈C: (T −λ)Xnicht dicht inX}.

Korollar 31. F¨ur einen Operator T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X gilt σ(T) =σ_ap(T)∪σ_com(T).

Lemma 32. F¨ur jeden Operator T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt (i) σcom(T) =σp(T⁰),

(ii) σ_su(T) =σ_ap(T⁰), σ_ap(T) =σ_su(T⁰), (iii) σ(T) =σ(T⁰).

Korollar 33. F¨ur jeden Operator T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X ist das surjektive Spektrum σ_su(T) abgeschlossen und enth¨alt den Rand vom Spektrum σ(T).

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Definition 34 (Analytisches Residuum). Wir definieren folgende Teilmenge der komplexen Zahlenebene f¨urT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X.

S(T) :={λ∈C:∃U ⊆CGebiet, f ∈H(U, X), f 6= 0, λ∈U mit (T−µ)f(µ) = 0∀µ∈U}

Lemma 35. Sei T ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Dann ist das analytische Residuum S(T) im Inneren σp(T)^◦ des Punktspektrums enthalten.

Proposition 36. SeiT ∈Lb(X) mit einem Banachraum X. Dann gilt ρ_K(T) =ρ_K(T⁰).

Außerdem gilt die sogenannte Sandwich Formel

∂σ(T)⊆(σap(T)∩σsu(T))\(S(T)∩ S(T⁰))⊆σK(T)⊆σap(T)∩σsu(T).

Bemerkung 37. Wegen ∂σ(T) ⊆σ_K(T) ist das Kato Spektrum sicherlich nichtleer f¨ur jeden nichttrivialen BanachraumX und T ∈L_b(X), da das Sektrum bekannterweise nichtleer und kompakt ist.

5 Das Kato Spektrum spezieller Operatoren mithilfe der Sand- wich Formel

Lemma 38. Sei T ∈ Lb(X) ein Operator mit einem Banachraum X. Dann exisitert der Grenzwert

i(T) := lim

n→∞κ(Tⁿ)^1/n = sup

n∈N

κ(Tⁿ)^1/n.

Proposition 39. SeiT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X. Dann ist (i) σap(T)⊆ {λ∈C:i(T)≤ |λ| ≤r(T)}.

Falls zus¨atzlich0∈σ(T) erf¨ullt ist, gilt außerdem (ii) K_i(T₎(0)⊆σ(T) und

(iii) i(T) =r(T)⇒σ(T) =K_r(T₎(0).

Korollar 40. SeiT ∈L_b(X) ein nicht invertierbarer und isometrischer Operator mit einem Banachraum X. Dann ist das Kato Spektrum gleich der Einheitskreislinie.

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6 Spektralabbildungsatz f¨ ur das Kato Spektrum

Wie wir in Funktionalanalysis gesehen haben, ist das Bild unter einem Polynom p von dem Spektrum eines Operators T das Gleiche, wie das Spektrum des Operatorsp(T). Wir konnten dies mithilfe des Einsetzungshomomorphismus für Polynome zeigen. Für analytische Funktio- nen müssen wir zunächst definieren, was es überhaupt bedeutet, wenn man eine analytische Funktion auf einen Operator T anwendet.

Definition 41. SeiAeine komplexe Banachalgebra mit Einselement,a∈Aundf ∈H(U,C) mit σ(a)⊆U. Sei Γ = (α₁, ..., α_n) ein Tupel von stetigen und st¨uckweise stetig differenzier- baren, inU \σ(a) verlaufenden Wegen derart, dass

n(Γ, z) :=

n

X

i=1

n(αi, z) =

1, fallsz∈σ(a) 0, fallsz∈C\U.

Wir definieren nunf(a)∈Adurch f(a) := 1

2πi

n

X

i=1

Z

αi

f(ζ)(ζe−a)⁻¹dζ.

Diese Art von Tupel existieren und sind unabh¨angig vonf(a).

Mithilfe dieser Definition bekommen wir folgenden Satz, der in Funktionalanalysis III bewie- sen wurde.

Satz 42 (Spektralabbildungssatz f¨ur analytische Funktionen). SeiA eine komplexe Banach- algebra mit Einselement. Dann gilt f¨ur jedesa∈Aund jede analytische Funktionf ∈H(U,C) mit σ(a)⊆U die Gleichheit

σ(f(a)) =f(σ(a)).

Wir zeigen zun¨achst folgende zwei Lemmata.

Lemma 43. Seien S, T ∈ Lb(X) kommutierende Operatoren mit einem Banachraum X.

Dann folgt aus 0∈ρK(ST), dass 0∈ρK(S)∩ρK(T).

Lemma 44. Sei T ∈ L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X und sei p(λ) = (λ− λ₁)ⁿ¹...(λ−λ_k)ⁿ^k ein komplexes Polynom mit paarweise verschiedenen Nullstellenλ₁, ..., λ_k∈ C. Dann gilt

kerp(T) =ker(T−λ₁)ⁿ¹ +^. ... +^. ker(T−λ_k)ⁿ^k, p(T)X= (T−λ₁)ⁿ¹X∩...∩(T −λ_k)ⁿ^kX.

Mithilfe der gewonnenen Resultaten zeigen wir nun das eine Vertauschung mit analytischen Funktionen auch mit dem Kato Spektrum m¨oglich ist.

Satz 45 (Spektralabbildungssatz f¨ur das Kato Spektrum). Sei T ∈L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X und sei U ⊆ C eine offene Menge, die das Spektrum σ(T) enth¨alt.

Dann gilt f(σK(T)) =σK(f(T))f¨ur jede analytische Funktion f ∈H(U,C).