Das Kato Spektrum

S E M I N A R V O R T R A G

¨

uber die Bachelorarbeit

Das Kato Spektrum

vorgetragen von Eva Wagner am 12. und 19. April 2021

1 Allgemeines

In diesem Handout habe ich die Resultate aus meiner Bachelorarbeit ¨ubernommen. Die Be- weise werde ich im Zuge meines Vortrages pr¨asentieren. Alternativ k¨onnen sie auch in meiner Bachelorarbeit nachgeschlagen werden. Im ersten Teil meines Vortrages werden wir erste Re- sultate aus der Spektraltheorie beweisen und das Kato Spektrum kennenlernen. Im zweiten Teil wollen wir zeigen, dass das Kato Spektrum kompakt ist und eine konkrete Darstellung des Kato Spektrums f¨ur spezielle Arten von Operatoren mithilfe der Sandwich Formel finden.

Wir setzen voraus, dass im Folgenden alle Banachr¨aume mit dem Skalark¨orper C versehen sind.

2 Erste Definitionen und Resultate

Definition 1. SeiT ∈Lb(X) ein linearer und beschr¨ankter Operator mit einem Banachraum X. Wir definieren das approximative Spektrum

σap(T) :={λ∈C:∃(xn)n∈N:xn∈X, kx_nk= 1 und (T −λ)xn

−−−→n→∞ 0}.

Definition 2. SeiT ∈Lb(X, Y) mit Banachr¨aumenXundY. Dann definieren wir die untere Schranke von T durch

κ(T) := inf

nkT xk

kxk :x∈X\ {0}o .

Bemerkung 3. F¨ur nicht injektivesT giltκ(T) = 0. FallsT injektiv ist, giltκ(T) = T⁻¹

−1, wobei T⁻¹ :T(X)→X.

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Proposition 4. F¨ur T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X 6={0} und λ∈C sind folgende Aussagen ¨aquivalent.

(i) λ /∈σap(T).

(ii) ker(T −λ) ={0} und (T−λ)X ist abgeschlossen.

(iii) T −λist nach unten beschr¨ankt, also κ(T −λ)>0.

Das approximative Spektrum σ_ap(T) ist abgeschlossen und es gilt ∂σ(T) ⊆ σ_ap(T) ⊆ σ(T).

Insbesonders ist σ_ap(T) nichtleer.

Definition 5. Sei T ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Dann wird mitT^∞X := T

n∈N

TⁿX der verallgemeinerte Bildbereich von T bezeichnet. Die Kato Resolventenmenge ist gegeben durch

ρK(T) :={λ∈C: ker (T−λ)⊆(T−λ)^∞X, (T −λ)Xabgeschlossen}

und das Kato Spektrum wird als Komplement der Resolventenmenge σK(T) := C\ρK(T) definiert.

Korollar 6. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt σ_K(T)⊆σ_ap(T).

Lemma 7. HabeT ∈L_b(X)abgeschlossenes BildT X und seiY ein abgeschlossener, linearer Teilraum von X, wobei kerT ⊆Y. Dann ist auch T Y abgeschlossen.

Lemma 8. SeiT ∈L_b(X) ein Operator mit kerT ⊆T^∞X. Dann giltT(T^∞X) =T^∞X und kerTⁿ⊆T^∞X f¨ur allen∈N.

Korollar 9. F¨ur T ∈Lb(X) und λ∈ρK(T) folgt, dass

(i) f¨ur jedes n∈Nder Operator (T−λ)ⁿ abgeschlossenes Bild hat, (ii) (T−λ)^∞X abgeschlossen ist und

(iii) (T−λ)(T−λ)^∞X= (T−λ)^∞X gilt.

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Definition 10 (lokale Resolventenmenge). Sei T ∈ Lb(X) und x ∈ X beliebig. Die lokale Resolventenmenge ist definiert durch

ρT(x) :=[

{U :U ⊆Coffen,∃f ∈H(U, X) : (T−λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈U}.

Die Mengeσ_T(x) :=C\ρ_T(x) heißt das lokale Spektrum.

Bemerkung 11. Als Vereinigung offener Mengen ist ρ_T(x) auch offen und σ_T(x) somit abge- schlossen.

Da f¨urλ∈ρ(T) sicherlich (T−λ)(T−λ)⁻¹x=xgilt und daλ7→(T−λ)⁻¹ und infolgeλ7→

(T−λ)⁻¹x holomorph aufρ(T) ist, erhalten wirρ(T)⊆ρ_T(x) f¨ur alle x∈X. Somit k¨onnen die analytischen Funktionen, die in der Definition der lokalen Resolventenmenge vorkommen, als lokale Fortsezung der Funktion (T −λ)⁻¹x gesehen werden.

Lemma 12. SeiXein Banachraum undU eine offene Teilmenge vonC. F¨ur einen Operator T ∈L_b(X), x∈Xundf ∈H(U, X)mit(T−λ)f(λ) =xf¨ur alleλ∈U giltσ_T(x) =σ_T(f(λ)) f¨ur jedes λ∈U.

Definition 13 (lokaler spektraler Teilraum). F¨urF ⊆Cnennen wir die Menge XT(F) :={x∈X:σT(x)⊆F}

den lokalen spektralen Teilraum.

Definition 14 (T-hyperinvariant). Sei X ein Banachraum. Ein linearer Teilraum Y ⊆ X heißt T-hyperinvariant, wenn f¨ur jeden mit T kommutierenden Operator S ∈ L_b(X) die InklusionSY ⊆Y gilt.

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Lemma 15. Sei T ∈ L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X und F ⊆C. Dann ist XT(F) ein T-hyperinvarianter, linearer Teilraum vonX.

Korollar 16. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X und F ⊆C gilt (T−λ)XT(F) =XT(F)f¨ur alleλ∈C\F.

Definition 17. SeiF ⊆Cabgeschlossen undT ∈L_b(X).

X_T(F) :={x∈X :∃f ∈H(C\F, X) mit (T −λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈C\F}.

Diese Menge bildet offenbar einen Unterraum vonXund wir nennen sie den globalen, lokalen spektralen Teilraum. Offenbar gilt X_T(F)⊆X_T(F).

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Definition 18. Das surjektive Spektrum eines Operators T ∈ Lb(X) ist folgendermaßen definiert

σ_su(T) :={λ∈C: (T−λ)X 6=X}.

Lemma 19. SeiT ∈Lb(X) mit einem Banachraum X. Zuλ∈C\σsu(T) gibt es ein >0 derart, dass

X=X_T(C\U(λ)).

Bemerkung 20. Ist T ∈ L_b(X, Y) eine zwischen zwei Banachr¨aumen X und Y surjektive Abbildung, so gilt

∃c >0 : ∀y∈Y ∃x∈X:T x=yund kxk ≤ckyk.

Korollar 21. F¨ur einen Operator T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt σ_su(T) =[

{σ_T(x) :x∈X}.

Proposition 22. F¨ur T ∈L_b(X) und λ∈ρ_K(T) gilt (T −λ)^∞X =XT(C\ {λ}).

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