Das Kato Spektrum

(1)

B A C H E L O R A R B E I T

Das Kato Spektrum

ausgef¨uhrt am

Institut f¨ ur

Analysis und Scientific Computing TU Wien

unter der Anleitung von Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn.

Michael Kaltenb¨ ack

durch

Eva Wagner

Matrikelnummer: 1427565 Penzingerstraße 83/10

1140 Wien

(2)

1 Einleitung 1

2 Wiederholung aus h¨oherer Analysis 2

2.1 Quotiententopologie . . . 2

2.2 Satz von der offenen Abbildung . . . 3

2.3 Adjungierte Operatoren in Banachr¨aumen . . . 3

2.4 Analytische Funktionen . . . 4

2.5 Definition der verschiedenen Spektren . . . 6

2.6 Spektralsatz f¨ur normale Operatoren . . . 7

3 Das Kato Spektrum und erste Resultate 8

4 Zusammenhang der Kato Resolventenmenge mit dem lokalen spektralen Teilraum 14 5 Abgeschlossenheit mithilfe des lokalen spektralen Teilraumes 19

6 Die Sandwich Formel 22

7 Das Kato Spektrum f¨ur normale Operatoren 26

8 Spektralabbildungsatz f¨ur das Kato Spektrum 30

Literaturverzeichnis 34

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1 Einleitung

In dieser Arbeit wollen wir den Begriff des Kato Spektrums behandeln. Dieser basiert auf den japanischen Mathematiker Tosio Kato (d1999). Mithilfe erster Resultate werden wir grundle- gende Eigenschaften für das Kato Spektrum erhaten, wie die Abgeschlossenheit oder die Be- schränktheit. Wir werden auch erfassen, wie das Kato Spektrum in der komplexen Zahlenebene liegt. Dafür werden auch neue Begriffe, wie das lokale Spektrum oder das surjektive Spektrum vorgestellt. Für normale Operatoren und nicht invertierbare und isometrische Operatoren wird das Kato Spektrum konkret angegeben. Am Ende werden wir einen Spektralabbildungssatz für das Kato Spektrum zeigen.

(4)

Im Folgenden wiederholen wir Begriffe und Resultate, die aus Funktionalanalysis I, II, III und komplexer Analysis bekannt sind.

2.1 Quotiententopologie

Satz 2.1. SeiX eine Menge, seien(Y_i;T_i), i∈I, topologische R¨aume undf_i :Y_i →X,i∈I, Abbildungen. Dann existiert genau eine Topologie T auf X mit der Eigenschaft:

• T ist die feinste Topologie auf X derart, dass alle Abbildungen f_i : (Y_i,T_i) → (X,T), i∈I, stetig sind.

Diese Topologie wird finale Topologie genannt.

Dabei gilt, dass f¨ur einen topologischen Raum (Z,O) eine Funktionf : (X,T)→(Z,O) genau dann stetig ist, wenn alle Abbildungenf ◦fi : (Yi,T_i)→(Z,O), i∈I stetig sind.

Beweis.Siehe [2, Satz 1.4.1]

Beispiel 2.2. Ein Beispiel für eine finale Topologie ist die Quotiententopologie. Dafür sei (X,T) ein topologischer Raum und∼eine beliebige Äquivalenzrelation auf X. Betrachte die kanonische Projektion π : X → X/∼, die jedem x seine Äquivalenzklasse [x]∼ := {y ∈ X :x ∼ y}

zuweist. Laut Satz2.1ist T_∼ die feinste Topologie derart, dassπ stetig ist. Wir schreiben den topologischen Raum als (X/∼,T_∼) an.

Bemerkung 2.3. Seien X, Y Vektorräume über denselben Körper R oder C. Mithilfe eines linearen Teilraumes U von X können wir die Äquivalenzrelation x ∼ y :⇐⇒ x−y ∈ U definieren. Dadurch bekommen wir den sogenannten Faktorraum X/U, der sich wiederum als Vektorraum herausstellt. Die dazugehörige Äquivalenzklasse wird dann geschrieben als [x]_U :=x+U ={x+u:u∈U}.

In dieser Arbeit werden wir ¨ofters f¨ur einen linearen Operator T : X → Y den Faktorraum X/kerT betrachten.

Definition 2.4. Sei T : X → X mit einem Vektorraum X und Y ⊆ X ein T-invarianter, linearer Teilraum vonX, also giltT Y ⊆Y. Aufgrund derT-Invarianz vonY ist die Abbildung

T /Y :

X/Y →X/Y x+Y 7→T x+Y.

wohldefiniert und linear.

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2 Wiederholung aus h¨oherer Analysis

Bemerkung 2.5. Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Definition 2.4 ist klarerweise auch T|_Y eine lineare Abbildung von Y nachY.

Definition 2.6 (Faktornorm). Sei X ein Banachraum undU ⊆X ein linearer Teilraum von X. Dann wird f¨ur den dazugeh¨origen FaktorraumX/U die sogenannte Faktornorm definiert.

kx−Uk_X/U := inf{kx−uk:u∈U}=d(x, U)

Dieser Ausdruck ist auf jeden Fall eine Seminorm und falls U abgeschlossen ist, sogar eine Norm. In dem Fall istX/U ein Banachraum (siehe [2, Proposition 2.4.9]).

Bemerkung 2.7. WennX ein Banachraum, Y ⊆X abgeschlossen undT ∈L_b(X) mitT(Y)⊆ Y ist, dann ist T /Y : X/Y → X/Y nach Satz 2.9 wegen π ◦ T = T /Y ◦π stetig, also T /Y ∈L_b(X/Y), wobeiX/Y mitk.k_X/Y versehen ist.

2.2 Satz von der offenen Abbildung

Definition 2.8. Eine AbbildungT :X →Y zwischen zwei topologischen R¨aumen wird offen genannt, wenn f¨ur jede offene MengeO von X auch f(O) in Y offen ist.

Satz 2.9 (Satz von der offenen Abbildung). Sei T ∈ L_b(X, Y) surjektiv mit zwei Bana- chr¨aumen X und Y. Dann istT offen.

Korollar 2.10. Ist T ∈ L_b(X, Y) eine zwischen zwei Banachr¨aumen X und Y surjektive Abbildung, so gilt

∃c >0 : ∀y∈Y ∃x∈X:T x=yund kxk ≤ckyk.

Beweis.Aus Satz2.9folgt die Offenheit vonT. Betrachte die lineare AbbildungTe: (X/kerT)→ Y, definiert durch Te([x]_ker_T) = T x. Da T auch geschrieben werden kann als T =Te◦π ist Te wegen Satz 2.1 stetig. Laut Konstruktion ist Te auch bijektiv. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt, dassTe(O) = (Te⁻¹)⁻¹(O) offen f¨ur offeneOist. Also istTe⁻¹stetig und folglich

beschr¨ankt, woraus die gesuchte Ungleichung folgt.

2.3 Adjungierte Operatoren in Banachr¨ aumen

Satz 2.11. Sei T ∈ L_b(X, Y) eine Abbildung mit zwei Banachr¨aumen X, Y. Dann gibt es genau einen Operator T⁰∈Lb(Y⁰, X⁰) f¨ur den

hT x, y⁰i=hx, T⁰y⁰i f¨ur allex∈X, y⁰ ∈Y⁰, gilt. Diesen nennen wir den adjungierten Operator vonT.

Beweis.Siehe [2, Satz 6.1.2].

(6)

Satz 2.12 (vom abgeschlossenen Bild). Sei T ∈ L_b(X, Y) mit zwei Banachr¨aumen X, Y. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) T X ist abgeschlossen in Y bzgl. der Normtopologie.

(ii) T⁰Y⁰ ist abgeschlossen in X⁰ bzgl. der Normtopologie.

(iii) T⁰Y⁰ ist abgeschlossen in X⁰ bzgl. derw^∗-Topologie σ(X⁰, X).

Definition 2.13. F¨ur einen Banachraum X und seinen Dualraum X⁰ seien M ⊆ X und N ⊆X⁰. Wir nennen

M^⊥:={φ∈X⁰ :φ(x) = 0, x∈M} und ^⊥N :={x∈X:φ(x) = 0, φ∈N} den Annihilator vonM bzw. N.

Satz 2.14(Bipolarsatz). F¨ur einen BanachraumX seinen DualraumX⁰,M ⊆X undN ⊆X⁰ gilt

⊥(M^⊥) =span M^σ(X,X

0)

=span M^k.k, (^⊥N)^⊥=span N^σ(X

0,X)

.

Proposition 2.15. SeiT ∈L_b(X, Y) mit zwei normierten R¨aumen X, Y. Dann gilt kerT =^⊥(T⁰Y⁰)und kerT⁰ = (T X)^⊥.

Beweis.Siehe [2, Proposition 6.1.7].

Bemerkung 2.16. Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Proposition 2.15 folgt f¨ur T mit abgeschlossenem Bild inY bzgl. der Normtopologie, dass

T X =^⊥(kerT⁰) und T⁰Y⁰= (kerT)^⊥.

Dies ist erkennbar mithilfe des Bipolarsatzes und des Satzes vom abgeschlossenen Bild.

2.4 Analytische Funktionen

Definition 2.17(Fréchet-Raum). Ein Fréchet-Raum ist ein hausdorffscher, lokalkonvexer und vollständiger topologischer Vektorraum mit einer abzählbaren Nullumgebungsbasis.

Der Besitz einer abzählbaren Nullumgebungsbasis ist für einen hausdorffschen, lokalkonvexen topologischen Vektorraum äquivalent zur Metrisierbarkeit. Es gibt dabei aber keine ausgezeich- nete Metrik.

(7)

Definition 2.18. Sei X ein Banachraum und f : U → X eine Funktion auf einer offenen TeilmengeU vonC. Dann heißtf analytisch, wenn es f¨ur jeden Punktλ0∈U eine Potenzreihe P∞

n=0an(λ−λ0)ⁿ mit Konvergenzradius R >0 und einen Radius r ∈(0, R] mit Ur(λ0)⊆U derart gibt, dass

f(λ) =X∞

n=0a_n(λ−λ₀)ⁿ, λ∈U_r(λ₀).

Der RaumH(U, X) bezeichnet die Menge aller analytischen Funktionen von U nach X.

Definition 2.19. Sei (Kn)n∈Neine Folge kompakter Teilmengen von einer offenen MengeU ⊆ Cderart, dassKn⊆K_n+1^◦ und dass die Vereinigung allerKnganzU ergibt. Die Existenz einer Folge dieser Art ist durch [4, Lemma 4.1.3] gesichert. Bezeichne mitd∞die Supremumsmetrik.

Dann ist durch

ρ(f, g) :=

∞

X

n=1

1 2ⁿ

d∞(f|_K_n, g|_K_n) 1 +d∞(f|_K_n, g|_K_n) eine Metrik aufH(U, X) definiert.

Bemerkung2.20. H(U, X) versehen mit der vonρinduzierten TopologieT_ρbildet einen Fr´echet- Raum. Siehe [4, Satz 4.2.1].

Definition 2.21. Für einen geschlossenen, stetigen und stückweise stetigen differenzierbaren Wegγ : [a, b]→C und fürz∈C\γ([a, b]) heißt

n(γ, z) := 1 2πi

Z

γ

1 ζ−zdζ die Umlaufzahl des Wegesγ um den Punkt z.

Definition 2.22.SeiAeine komplexe Banachalgebra mit Einselement,a∈Aundf ∈H(U,C) mitσ(a)⊆U. Sei Γ = (α1, ..., αn) ein Tupel von stetigen und st¨uckweise stetig differenzierbaren, inU \σ(a) verlaufenden Wegen derart, dass

n(Γ, z) :=

n

X

i=1

n(α_i, z) =

1, fallsz∈σ(a) 0, fallsz∈C\U.

Wir definieren nunf(a)∈A durch f(a) := 1

2πi

n

X

i=1

Z

αi

f(ζ)(ζe−a)⁻¹dζ.

Beachte dabei, dass wegen [6, Satz 2.2.1] und [6, Satz 2.3.2] solche Tupel immer existieren und f(a) unabh¨angig von diesen ist.

Satz 2.23(Spektralabbildungssatz f¨ur analytische Funktionen). SeiA eine komplexe Banach- algebra mit Einselement. Dann gilt f¨ur jedesa∈A und jede analytische Funktionf ∈H(U,C) mitσ(a)⊆U die Gleichheit

σ(f(a)) =f(σ(a)).

(8)

Satz 2.24(Identitätssatz). Sei∅ 6=G⊆Cein Gebiet, also eine zusammenhängende und offene Teilmenge vonCund sei X ein Banachraum. Für eine analytische Funktionf ∈H(G, X) gilt f ≡0 genau dann, wenn die Menge {λ∈G:f(λ) = 0} einen Häufungspunkt in Gbesitzt.

Siehe [4, Satz 3.1.4]. Man beachte dabei, dass der Beweis analog zum Fallf ∈H(G,C) verl¨auft.

Korollar 2.25. Sei Y ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Banachraumes X und U ⊆ C ein Gebiet mit einer Teilmenge S ⊆ U, die H¨aufungspunkte in U besitzt. F¨ur eine Funktionf ∈H(U, X) mit f(S)⊆Y gilt dann sogar f(U)⊆Y.

Beweis.Betrachte den Annihilator von Y

Y^⊥={φ∈X⁰ :φ(x) = 0 f¨ur allex∈Y}.

Daf|_S laut Voraussetzung nachY hinein abbildet, giltφ◦f|_S ≡0 für alleφ∈Y^⊥. Seiφ∈Y^⊥ beliebig. Die MengeS ={λ∈S :φ(f(λ)) = 0} hat laut Voraussetzung einen Häufungspunkt inU, weswegen mithilfe des Identitätsatzes 2.24folgt, dass U ={λ∈U :φ(f(λ)) = 0}. Da φ beliebig war folgt

f(U)⊆^⊥(Y^⊥) =Y^k.k =Y.

2.5 Definition der verschiedenen Spektren

Definition 2.26 (Spektrum). SeiT ein linearer und beschr¨ankter Operator mit einem Bana- chraumX. Dann ist das Spektrum definiert durch

σ(T) :={λ∈C: (T−λ) ist nicht invertierbar}.

Das Spektrum ist f¨ur jedes T ∈ L_b(X) nichtleer und kompakt. Man kann es als disjunkte Vereinigungenσ(T) =σ_p(T)∪^.σ_c(T)∪σ^. _r(T) folgender Mengen verstehen: Dem Punktspektrum

σ_p(T) :={λ∈C: ker (T−λ)6={0}}, dem stetigen Spektrum

σc(T) :={λ∈C: ker (T−λ) ={0}, (T −λ)X=X}

und dem Residualspektrum

σ_r(T) :={λ∈C: ker (T−λ) ={0}, (T −λ)X6=X}.

Siehe [2, Bemerkung 6.4.6].

(9)

2.6 Spektralsatz f¨ ur normale Operatoren

Aus Funktionalanalysis ist der Spektralsatz f¨ur selbstadjungierte Operatoren bekannt. Dieser l¨asst sich auf normale Operatoren ausweiten.

Satz 2.27(Spektralsatz für normale Operatoren). SeiB(C)die Borel’sche σ-Algebra auf dem Körper C und T ∈ L_b(H) normal auf einem Hilbertraum H. Dann gibt es ein eindeutiges Spektralmaß E für den Maßraum hC,B(C), Hi derart, dass E(C\K) = 0 für ein gewisses kompaktes K⊆Cgilt und

T = Z

K

t dE(t).

Dabei gelten auch folgende Sachverhalte.

(i) F¨ur B ∈L_b(H) gilt BT =T B genau dann, wenn BE(∆) =E(∆)B f¨ur alle ∆∈ B(C).

(ii) Jedes beliebige kompakte K ⊇ σ(T) erf¨ullt E(C \K). Insbesonders kann man E als Spektralmaß auf dem Spektrum auffassen.

Bemerkung 2.28. Seien die Voraussetzungen von Satz2.27 erf¨ullt. F¨ur ein ∆∈ B(C), welches inK enthalten ist, einλ /∈∆ und einx∈E(∆)H gilt

(T−λ)· Z

K

1∆(t) 1

t−λdE(t)

x= Z

K

(t−λ)dE(t)

· Z

K

1∆(t) 1

t−λdE(t)

x=

= Z

K

1∆dE

x=x.

Dies bedeutet, dassλin der Resolventenmenge vonT|_E(∆)H liegt, womit σ(T_E(∆)H)⊆∆.

(10)

Für den Rest dieser Arbeit wollen wir voraussetzen, dass die verwendeten Banachräume mit dem SkalarkörperCversehen sind.

Wir führen zunächst folgende, erweiternde Begriffe für Spektren ein.

Definition 3.1. SeiT ∈Lb(X) ein linearer und beschr¨ankter Operator mit einem Banachraum X. Wir definieren das approximative Spektrum

σap(T) :={λ∈C:∃(xn)n∈N:xn∈X, kx_nk= 1 und (T−λ)xn

−−−→n→∞ 0}, das surjektive Spektrum

σsu(T) :={λ∈C: (T−λ)X 6=X}

und das Kompressionsspektrum

σcom(T) :={λ∈C: (T −λ)Xnicht dicht inX}

von T.

Bemerkung 3.2. Die Vereinigung vom stetigen Spektrum und dem Residualspektrum ist sicherlich im surjektiven Spektrum enthalten; siehe Kapitel 2.5. Offenbar gilt auch σcom(T) ⊆ σ_su(T)⊆σ(T) sowie σ(T) =σ_p(T)∪σ_su(T).

Definition 3.3. Sei T ∈ Lb(X, Y) mit Banachr¨aumen X und Y. Dann definieren wir die untere Schranke vonT durch

κ(T) := infnkT xk

kxk :x∈X\ {0}o .

Bemerkung 3.4. F¨ur nicht injektivesT giltκ(T) = 0. FallsT injektiv ist, giltκ(T) = T⁻¹

−1, wobeiT⁻¹:T(X)→X.

Proposition 3.5. F¨ur T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X 6={0} und λ∈Csind folgende Aussagen ¨aquivalent.

(i) λ /∈σ_ap(T).

(ii) ker(T−λ) ={0} und (T −λ)X ist abgeschlossen.

(iii) T−λ ist nach unten beschr¨ankt, also κ(T −λ)>0.

Das approximative Spektrum σ_ap(T) ist abgeschlossen und es gilt ∂σ(T) ⊆ σ_ap(T) ⊆ σ(T).

Insbesonders ist σ_ap(T) nichtleer.

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3 Das Kato Spektrum und erste Resultate

Beweis.Aussage (iii) ist ¨aquivalent zu

∃c >0 :k(T −λ)xk ≥ckxk ∀x∈X. (3.1) Daraus folgt, dass f¨ur jede Folge (x_n)n∈N mit Norm 1 die Folge k(T−λ)x_nk nicht gegen 0 konvergieren kann; also gilt (i). Angenommen (iii) gilt nicht. Das bedeutet

∀n∈N∃x_n∈X :k(T −λ)xnk< 1 nkx_nk, weshalb insbesonders x_n 6= 0. Mit xe_n := _kx^xⁿ

nk haben wir somit eine Folge mit Norm 1 in X derart gefunden, dassk(T−λ)xe_nk−−−→^n→∞ 0. Damit ist λ∈σ_ap(T) und wir haben den Schluss von (i) auf (iii) nachgewiesen.

Nach dem Satz von der offenen Abbildung 2.9 hat T −λ : X → (T −λ)X unter der Vor- aussetzung (ii) eine beschr¨ankte Inverse, womit (3.1) gilt. Umgekehrt folgt aus (3.1), dass nur 0 den Funktionswert 0 annehmen kann. (T −λ) ist somit injektiv. Um zu zeigen, dass (T−λ)X auch abgeschlossen ist, w¨ahlen wir eine Folge (x_n)n∈N und ein beliebigesy∈X mit (T −λ)x_n −−−→^n→∞ y. Wegen (3.1) ist (x_n)n∈N eine Cauchy Folge und konvergiert somit gegen ein Elementx∈X. Da T−λstetig ist, folgt (T−λ)x=y.

Um zu zeigen, dass σ_ap(T) abgeschlossen ist, wählen wir eine Folge (λ_n)n∈N mit Elementen ausσ_ap(T), die gegen ein Element λ∈C konvergiert. Da alle λ_n inσ_ap(T) liegen, können wir eine Folge (xn)n∈N aus X und mit Norm 1 derart wählen, dass k(T −λn)xn)k ≤1/n für alle n∈N. Da

k(T−λ)x_nk=k(T−λ_n)x_n+ (λ_n−λ)x_nk ≤ k(T −λ_n)x_nk+kλ_n−λk kx_nk ≤1/n+|λ_n−λ|

f¨urn→ ∞ gegen Null konvergiert, giltλ∈σ_ap(T).

Zu λ∈ρ(T)∩σ_ap(T) gibt es eine Folge in X mit Norm 1 derart, dass k(T −λ)x_nk−−−→^n→∞ 0.

Da die Inverse von (T−λ) existiert, bekommen wir den Widerspruch xn= (T−λ)⁻¹(T−λ)xn

−−−→n→∞ 0, womitσap(T)⊆σ(T).

F¨urλ∈∂σ(T) gibt esµ_n∈ρ(T) mitµ_n−−−→^n→∞ λ. Wegen der aus Funktionalanalysis bekannten Ungleichung

(T −µ)⁻¹

≥ 1 dist(µ, σ(T)) folgt

(T −µ_n)⁻¹

−−−→n→∞ +∞. Wir w¨ahlen f¨urn∈Nnormierte Vektoreny_n∈X derart, dass die Ungleichung

cn:=

(T−µn)⁻¹yn

≥

(T −µn)⁻¹ − 1

n erf¨ullt ist. Die Folge (x_n)n∈N von Vektoren

x_n:=c⁻¹_n (T−µ_n)⁻¹y_n

(12)

hat Norm 1 undk(T−λ)x_nk konvergiert gegen Null, da einerseits

n→∞lim c⁻¹_n = lim

n→∞

1

k(T−µ_n)⁻¹y_nk ≤ 1

k(T−µ_n)⁻¹k −1/n = 0 und andererseits

n→∞lim

(T−λ)(T −µ_n)⁻¹y_n = lim

n→∞ky_nk= 1.

Somit liegtλim approximativen Spektrum vonT. Daraus folgt auch, dass das approximative Spektrum nichtleer ist, da das Spektrum nichtleer, beschr¨ankt und abgeschlossen ist.

Korollar 3.6. F¨ur einen OperatorT ∈Lb(X) mit einem Banachraum X gilt σ(T) =σ_ap(T)∪σ_com(T).

Beweis.Die Inklusionσ_ap(T)∪σ_com(T)⊆σ(T) ist klar. F¨urλ∈[σ_ap(T)∪σ_com(T)]^cfolgt aus Proposition3.5, dass ker (T−λ) ={0}und (T−λ)X abgeschlossen ist.λ /∈σ_com(T) impliziert (T−λ)X= (T−λ)X =X, weshalbλnicht im Spektrum liegen kann.

Lemma 3.7. F¨ur jeden Operator T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt (i) σcom(T) =σp(T⁰),

(ii) σ_su(T) =σ_ap(T⁰), σ_ap(T) =σ_su(T⁰), (iii) σ(T) =σ(T⁰).

Beweis. (i) λ∈ C\σcom(T) bedeutet, dass (T −λ)X dicht in X ist, was wegen Proposition 2.15zu ker (T⁰−λ) ={0} und folglich zu λ∈C\σ_p(T⁰) ¨aquivalent ist.

(ii) F¨urλ∈C\σ_su(T) ist (T−λ)X=Xabgeschlossen. Wegen des Satzes vom abgeschlossenen Bild2.12ist auch (T⁰−λ)X⁰ abgeschlossen inX⁰. Außerdem gilt wegen

ker (T⁰−λ) = [(T−λ)X]^⊥=X^⊥={0}

und Proposition 3.5, dass λ∈ C\σ_ap(T⁰). Sei umgekehrt λ∈ C\σ_ap(T⁰). Dann gilt wieder wegen Proposition3.5 und Satz2.12

X^⊥ ={0}= ker (T⁰−λ) = [(T−λ)X]^⊥, und damitX = (T −λ)X,

weswegen λ∈C\σ_su(T). F¨urλ∈C\σ_su(T⁰) ist (T⁰−λ)X⁰ =X⁰ abgeschlossen. Wegen des Satzes vom abgeschlossennen Bild2.12 ist auch (T−λ)X abgeschlossen in X. Außerdem gilt wegen

ker (T −λ) =^⊥[(T⁰−λ)X⁰] =^⊥[X⁰] ={0}

und Proposition 3.5, dass λ ∈ C\σap(T). Sei umgekehrt λ ∈ C\σap(T). Dann gilt wieder wegen Proposition3.5 und Satz2.12, dass

⊥[X⁰] ={0}= ker (T−λ) =^⊥[(T⁰−λ)X⁰] , und damitX⁰ = (T⁰−λ)X⁰, weswegenλ∈C\σ_su(T⁰).

(iii) Die letzte Aussage folgt aus Kombination von (i), (ii) und Korollar3.6, da σ(T) =σap(T)∪σcom(T) =σsu(T⁰)∪σp(T⁰) =σ(T⁰).

(13)

Korollar 3.8. F¨ur jeden Operator T ∈ L_b(X) mit einem Banachraum X ist das surjektive Spektrum σsu(T) abgeschlossen und enth¨alt den Rand vom Spektrum σ(T).

Beweis. Wie wir in Lemma 3.7 bewiesen haben, gilt σ_su(T) = σ_ap(T⁰) und σ(T) = σ(T⁰).

Damit folgt aus Propostion3.5, dassσ_su(T) abgeschlossen ist und ∂σ(T)⊆σ_su(T).

Lemma 3.9. Sei T ∈ L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X. Dann exisitert der Grenzwert

i(T) := lim

n→∞κ(Tⁿ)^1/n= sup

n∈N

κ(Tⁿ)^1/n.

Beweis.Wir wollen zun¨achst zeigen, dass f¨ur eine Folge nichtnegativer, reeller Zahlen (an)n∈N

diea_na_m≤a_n+m f¨ur alle n, m∈Nerf¨ullt,

n→∞lim a^1/n_n = sup

n∈N

{a^1/k_k :k∈N}. (3.2)

Offenbar gilt c:= sup

n∈N

{a^1/k_k :k∈N} ≥lim sup

n→∞a^1/nn . Im Fall c = 0 giltan = 0 für allen∈N und (3.2) ist infolge richtig. Es kann alsoc >0 angenommen werden. Für∈Rmitc > >0 sei k∈ N so gewählt, dass a_k ≥(c−)^k. Für beliebiges n ∈N schreiben wir n =kp+r mit 0≤r < k und bekommen folgende Abschätzung

a^1/n_n =a^1/n_pk+r≥a^1/n_pk a^1/n_r ≥(c−)^pk/na^r/n₁ ,

wobei a^r₁ ≤ a_r durch Induktion aus der Voraussetzung folgt. Wegen r < k gilt r/n→ 0 und wegen 1 =kp/n+r/nkonvergiertkp/n f¨urn→ ∞ gegen 1. Damit gilt

lim infn→∞a^1/n_n ≥c− f¨ur alle hinreichend kleinen >0, wodurch insgesamt

lim sup

n→∞

a^1/n_n ≤c≤lim infn→∞a^1/n_n , also (3.2), bewiesen ist. Es bleibt κ(T^n+m)≥κ(Tⁿ)κ(T^m) zu zeigen.

IstT nicht injektiv, so sind es auch alleTⁿ, n∈N, nicht, wodurch κ(Tⁿ) = 0 f¨ur allen∈N. IstT injektiv, sind es auch alle Tⁿ,n∈N. F¨urn, m∈Nund x∈X\ {0}folgt

kT^n+mxk

kxk = kTⁿ(T^mx)k

kT^mxk ·kT^mxk

kxk ≥κ(Tⁿ)κ(T^m),

womitκ(T^n+m)≥κ(Tⁿ)κ(T^m).

Proposition 3.10. SeiT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X. Dann ist (i) σap(T)⊆ {λ∈C:i(T)≤ |λ| ≤r(T)}.

Falls zus¨atzlich 0∈σ(T) erf¨ullt ist, gilt außerdem

(14)

(ii) K_i(T₎(0)⊆σ(T) und

(iii) i(T) =r(T)⇒σ(T) =K_r(T₎(0).

Beweis. (i) Da schon σap(T) ⊆σ(T) ⊆ K_r(T₎(0) bekannt ist, muss nur mehr gezeigt werden, dass für beliebigesλ∈Cmit|λ|< i(T) folgt, dassλ /∈σ_ap(T). Wählec >0 undn∈Nderart, dass|λ|< c < i(T) und cⁿ≤κ(Tⁿ). Wegen cⁿkxk ≤ kTⁿxk fürx∈X, gilt

k(Tⁿ−λⁿ)xk ≥ kTⁿxk − |λ|ⁿkxk ≥(cⁿ− |λⁿ|)kxk. Damit folgtλⁿ∈/ σap(Tⁿ) aus Proposition3.5. Wegen

k(Tⁿ−λⁿ)x_jk=

n

X

k=1

λ^n−kT^k−1(T−λ)x_j

≤

n

X

k=1

λ^n−kT^k−1

k(T−λ)x_jk

kann f¨ur keine Folge (x_j)j∈Nmit Norm eins (T−λ)x_j gegen 0 konvergieren. Infolgedessen gilt auchλ /∈σ_ap(T).

(ii) Angenommen λ ∈ ρ(T) mit |λ| ≤ i(T). Wegen 0 ∈ σ(T) und da die Resolventenmenge offen ist, gibt es ein t∈[0,1) mittλ∈∂σ(T)⊆σ_ap(T). Wegen|tλ|< i(T) bedeutet das einen Widerspruch zu (i). Also haben wirK_i(T₎(0)⊆σ(T).

(iii) Im Falli(T) =r(T) gilt wegen

K_i(T₎(0)⊆σ(T)⊆K_r(T₎(0)

die Gleichungσ(T) =K_r(T₎(0).

Definition 3.11. SeiT ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Dann wird mitT^∞X := T

n∈N

TⁿX der verallgemeinerte Bildbereich von T bezeichnet. Die Kato Resolventenmenge ist gegeben durch

ρ_K(T) :={λ∈C: ker (T−λ)⊆(T −λ)^∞X, (T−λ)Xabgeschlossen}

und das Kato Spektrum wird als Komplement der Resolventenmenge σ_K(T) := C\ρ_K(T) definiert.

Korollar 3.12. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem BanachraumX gilt σ_K(T)⊆σ_ap(T).

Beweis.Sei λ /∈σ_ap(T). Gem¨aß Proposition 3.5bedeutet das

ker (T −λ) ={0}und (T−λ)Xabgeschlossen.

Da der OperatorT−λlinear ist, gilt 0∈(T−λ)ⁿX f¨ur allen∈N, womit auch 0∈(T−λ)^∞X.

Also liegt jedes λ∈C\σ_ap(T) auch in der Kato Resolventenmenge, womit σ_K(T) ⊆σ_ap(T).

Lemma 3.13. Habe T ∈ L_b(X) abgeschlossenes Bild T X und sei Y ein abgeschlossener, linearer Teilraum vonX, wobei kerT ⊆Y. Dann ist auch T Y abgeschlossen.

(15)

Beweis. Betrachte den stetigen und bijektiven Operator Te : X/kerT → T X definiert durch T([x]e kerT) = T x. Nach dem Satz von der offenen Abbildung ist auch Te⁻¹ : T X → X/kerT stetig. Folglich sind Bilder abgeschlossener Mengen unter Te in X/kerT wieder abgeschlossen bez¨uglich der Spurtopologie T X. Da wir vorausgesetzt haben, dass kerT ⊆ Y und Y selber schon abgeschlossen ist, ist Y /kerT abgeschlossen in X/kerT und somit Te(Y /kerT) = T Y abgeschlossen inT X. DaT X selbst abgeschlossen ist, ist T Y auch in X abgeschlossen.

Lemma 3.14. Sei T ∈ Lb(X) ein Operator mit kerT ⊆T^∞X. Dann gilt T(T^∞X) =T^∞X und kerTⁿ⊆T^∞Xf¨ur allen∈N.

Beweis. Wir wollen als erstes zeigen, dass T(T^∞X) = T^∞X. Sei x ∈ T^∞X, also x ∈ TⁿX für allen ∈N. Der PunktT x liegt sicherlich in T X. Wegenx ∈T X liegt T x sicherlich auch in T²X usw. Es folgt T x ∈ TⁿX für alle n ∈ N, womit T(T^∞X) ⊆ T^∞X. Für die andere Inklusion undx∈T^∞X wähle eine Folgexn∈X mitx=Tⁿxnfür allen∈N. Da fürn∈N

x₁−Tⁿx_n+1 ∈kerT ⊆T^∞X⊆TⁿX, giltx₁ ∈TⁿX f¨ur allen∈N, weshalbx=T x₁ ∈T(T^∞X).

Laut Voraussetzung gilt kerTⁿ⊆T^∞X fürn= 1. Gilt kerTⁿ⊆T^∞X für ein n∈N, so folgt fürx∈kerTⁿ⁺¹, dass T x∈kerTⁿ⊆T^∞X. Wegen T(T^∞X) =T^∞X, existiert ein u∈T^∞X mitT x=T u, also x−u∈kerT ⊆T^∞X, wodurch auchx= (x−u) +u∈T^∞X.

Aus den gewonnenen Resultaten folgt relativ einfach folgendes Korollar.

Korollar 3.15. F¨ur T ∈Lb(X) und λ∈ρK(T) folgt, dass

(i) f¨ur jedesn∈N der Operator (T −λ)ⁿ abgeschlossenes Bild hat, (ii) (T−λ)^∞X abgeschlossen ist und

(iii) (T−λ)(T−λ)^∞X = (T −λ)^∞X gilt.

Beweis. Aus (i) folgt unmittelbar (ii) und (iii) folgt wegen λ∈ ρK(T) aus Lemma 3.14. Wir zeigen (i) durch vollständige Induktion nach n. Fürn= 1 gilt (i) wegenλ∈ρ_K(T). Nehmen wir an, dass (T −λ)ⁿX abgeschlossen ist für ein beliebiges n ∈ N. Wie wir in Lemma 3.14 festgestellt haben, gilt ker (T −λ)ⁿ ⊆ (T −λ)^∞X ⊆ (T −λ)X für n ∈ N. Damit folgt aus der Induktionsvoraussetzung, dass (T−λ)ⁿX abgeschlossen ist, wegen Lemma3.13die Abge-

schlossenheit von (T−λ)ⁿ(T−λ)X = (T −λ)ⁿ⁺¹X.

(16)

mit dem lokalen spektralen Teilraum

In diesem Kapitel soll ein Zusammenhang zwischen dem verallgemeinerten Bildbereich und dem lokalen spektralen Teilraum aus Definition 4.4 hergestellt werden. Daf¨ur f¨uhren wir folgende Begriffe ein.

Definition 4.1 (lokale Resolventenmenge). Sei T ∈ L_b(X) und x ∈ X beliebig. Die lokale Resolventenmenge ist definiert durch

ρ_T(x) :=[

{U :U ⊆Coffen,∃f ∈H(U, X) : (T −λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈U}.

Die MengeσT(x) :=C\ρT(x) heißt das lokale Spektrum.

Bemerkung 4.2. Als Vereinigung offener Mengen ist ρ_T(x) auch offen und σ_T(x) somit abgeschlossen.

Da für λ ∈ ρ(T) sicherlich (T −λ)(T −λ)⁻¹x = x gilt und da λ 7→ (T −λ)⁻¹ und infolge λ7→(T−λ)⁻¹xholomorph aufρ(T) ist, erhalten wirρ(T)⊆ρ_T(x) für allex∈X. Somit können die analytischen Funktionen, die in der Definition der lokalen Resolventenmenge vorkommen, als lokale Fortsezung der Funktion (T−λ)⁻¹x gesehen werden.

Lemma 4.3. SeiX ein Banachraum und U eine offene Teilmenge vonC. Für einen Operator T ∈Lb(X), x∈Xundf ∈H(U, X)mit (T−λ)f(λ) =x für alle λ∈U gilt σT(x) =σT(f(λ)) für jedesλ∈U.

Beweis. Wir verfahren in mehreren Schritten. Sei λ∈ U beliebig, aber fest und definiere die Funktiong∈H(U, X) durch

g(µ) :=

( _f(µ)−f_(λ)

µ−λ , µ∈U \ {λ}, f⁰(λ), µ=λ.

(17)

4 Zusammenhang der Kato Resolventenmenge mit dem lokalen spektralen Teilraum

F¨urµ∈U gilt (T−µ)f(µ) =x, weswegen f¨urµ6=λ (T−µ)g(µ) = (T−µ)(f(µ)−f(λ))

µ−λ =

= (T−µ)(f(µ)−f(λ))−(µ−λ)f(λ) + (µ−λ)f(λ)

µ−λ =

= (T−µ)f(µ)−(T−λ)f(λ) + (µ−λ)f(λ)

µ−λ = (4.1)

= x−x+ (µ−λ)f(λ)

µ−λ =

=f(λ).

Aus Stetigkeitsgründen gilt auch (T−λ)g(λ) =f(λ). Damit haben wir für die offene Teilmen- ge U von C eine analytische Funktion g gefunden, welche die Gleichung (T −µ)g(µ) =f(µ), µ∈U, löst, wodurch U ⊆ρT(f(λ)) gilt.

Um ρ_T(x)\U ⊆ ρ_T(f(λ)) zu zeigen, was in Kombination mit dem gerade Bewiesenen die MengeninklusionρT(x)⊆ρT(f(λ)) liefert, wählen wir ein beliebiges w∈ρT(x)\U. DaρT(x) offen ist, finden wir eine offene Umgebung W von w, mitλ /∈W ⊆ρT(x). Wegen w∈ρT(x), gibt es eine analytische Funktionh :W⁰ → X mit W⁰ ⊆W, für die (T −µ)h(µ) =x für alle µ∈W⁰ gilt. Wegen λ /∈W⁰ ist die Funktionk:W⁰ →X,k(µ) := ^{h(µ)−f(λ)}_µ−λ analytisch und wie in (4.1) zeigt man (T−µ)k(µ) =f(λ) für alle µ∈W⁰. Damit liegtw inρT(f(λ)).

Um ρ_T(f(λ)) ⊆ ρ_T(x) zu zeigen, w¨ahlen wir w ∈ ρ_T(f(λ)) und betrachten eine analytische Funktion h:W → X auf einer offenen Umgebung W von w mit (T−µ)h(µ) =f(λ) f¨ur alle µ∈W. Wegen

(T−µ)(T −λ)h(µ) = (T −λ)(T −µ)h(µ) = (T−λ)f(λ) =x

f¨ur alle µ∈W und weil µ7→(T −λ)h(µ) aufW analytisch ist, liegt dannw inρ_T(x).

Definition 4.4 (lokaler spektraler Teilraum). F¨urF ⊆C nennen wir die Menge XT(F) :={x∈X:σT(x)⊆F}

den lokalen spektralen Teilraum.

Definition 4.5 (T-hyperinvariant). Ein linearer Teilraum Y ⊆ X heißt T-hyperinvariant, wenn f¨ur jeden mitT kommutierenden Operator S ∈Lb(X) die Inklusion SY ⊆Y gilt.

Lemma 4.6. Sei T ∈ L_b(X) ein Operator mit einem Banachraum X und F ⊆C. Dann ist X_T(F) ein T-hyperinvarianter, linearer Teilraum von X.

Beweis. Wir zeigen zunächst die Teilraumeigenschaft von X_T(F). Wegen ρ_T(0) = C, also σT(0) =∅gilt{0} ⊆XT(F)6=∅. Aus der leicht zu zeigenden InklusionρT(u)∩ρT(v)⊆ρT(u+ v) folgtσ_T(u+v)⊆σ_T(u)∪σ_T(v). Füru, v∈X_T(F) gilt somitσ_T(u+v)⊆σ_T(u)∪σ_T(v)⊆F. Wegenρ_T(αu) =ρ_T(u) gilt auch σ_T(αu) =σ_T(u)⊆F füru∈X_T(F) undα6= 0.

(18)

Für die T-Hyperinvarianz wähle einen mit T kommutierenden Operator S ∈ L_b(X), x ∈ X undf ∈H(U, X) mit einer offenen Menge U ⊆Cderart, dass (T−λ)f(λ) =x für alleλ∈U. Daraus folgt

(T −λ)Sf(λ) =S(T −λ)f(λ) =Sx f¨ur alle λ∈U.

Da auchS◦f eine analytische Funktion aufU ist, erhalten wirρ_T(x)⊆ρ_T(Sx) beziehungsweise σT(Sx) ⊆σT(x). Da f¨ur einen Punktx ∈XT(F) deswegen σT(Sx) ⊆ σT(x) ⊆ F, gilt Sx ∈ XT(F). Also bekommen wir die gesuchte Inklusion SXT(F)⊆XT(F).

Korollar 4.7. F¨ur T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X und F ⊆Cgilt (T −λ)X_T(F) =X_T(F)f¨ur alleλ∈C\F.

Beweis. Die Inklusion (T −λ)X_T(F) ⊆ X_T(F) folgt direkt aus Lemma 4.6, da der Operator T−λlinear und beschr¨ankt ist und mit T kommutiert.

Für die andere Inklusion sei zunächst bemerkt, dass für x ∈ X_T(F) aus σ_T(x) ⊆ F sicher C\F ⊆ρ_T(X) folgt.

Um für λ ∈ C\ F und x ∈ XT(F) zu zeigen, dass x ∈ (T −λ)XT(F), müssen wir eine Darstellung (T−λ)xe=x mit einem ex ∈X finden, wobei σT(x)e ⊆F. WegenC\F ⊆ρT(x) gibt es eine analytische Funktionf ∈H(U, X) mit λ∈U und (T−µ)f(µ) =x für alleµ∈U. Fürxe=f(λ) folgt aus Lemma4.3, dass σT(x) =e σT(x)⊆F. Lemma 4.8. Sei T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X. Dann gilt

(i) X_T(F)⊆X_T(G), falls F ⊆G⊆C,

(ii) x∈XT(F) mitx∈X,λ∈F, falls (T −λ)x∈XT(F), (iii) ker(T−λ)ⁿ⊆X_T({λ}) f¨urλ∈C, n∈N.

Beweis.(i) F¨urx∈X_T(F) gilt laut Definition des lokalen spektralen Teilraumes, dassσ_T(x)⊆ F ⊆G, weshalb auchx∈X_T(G).

(ii) Aus (T −λ)x ∈ X_T(F) mit λ ∈ F, folgt wegen σ_T((T −λ)x) ⊆ F, dass es für jedes ω ∈C\F eine analytische Funktion f :U →X auf einer offenen UmgebungU von ω derart gibt, dass (T −µ)f(µ) = (T −λ)x für alle µ ∈U. Indem wir U kleiner machen, können wir λ /∈U annehmen. Die Funktiong:U →X,g(µ) := (f(µ)−x)/(µ−λ) fürµ∈U ist analytisch und erfüllt die Gleichung (T−µ)g(µ) =x für alleµ∈U, womitω∈ρ_T(x). Daω∈Cbeliebig war, giltσT(x)⊆F und daherx∈XT(F).

(iii) Seix∈ker (T −λ)ⁿ. Wegen (ii) folgt aus

(T−λ)(T−λ)ⁿ⁻¹x= 0∈X_T({λ}), dass (T−λ)ⁿ⁻¹x∈X_T({λ}).

(T −λ)(T −λ)ⁿ⁻²x∈X_T({λ}) ergibt (T −λ)ⁿ⁻²x∈X_T({λ}) usw. bis (T −λ)ⁿ⁻ⁿx=x∈X_T({λ}).

(19)

4 Zusammenhang der Kato Resolventenmenge mit dem lokalen spektralen Teilraum

Definition 4.9. Sei F ⊆Cabgeschlossen und T ∈L_b(X).

X_T(F) :={x∈X:∃f ∈H(C\F, X) mit (T−λ)f(λ) =x f¨ur alle λ∈C\F}.

Diese Menge bildet offenbar einen Unterraum vonX und wir nennen sie den globalen, lokalen spektralen Teilraum. Offenbar giltX_T(F)⊆X_T(F).

Lemma 4.10. SeiT ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Zu λ∈C\σ_su(T) gibt es ein >0 derart, dass

X =X_T(C\U(λ)).

Beweis. Sei λ∈C\σ_su(T) beliebig. Da T −λ surjektiv und damit auch offen ist, gilt wegen Korollar2.10

∃ >0 : ∀u∈X ∃v∈X : (T −λ)v=uundkvk ≤ kuk.

Wir bauen f¨ur ein beliebiges x ∈ X induktiv eine Folge mit x0 := x und xn ∈ X, wobei (T−λ)x_n=xn−1 und kx_nk ≤ kx_n−1k f¨ur alle n∈N. Die Reihe

f(µ) :=X∞

n=0x_n+1(µ−λ)ⁿ

konvergiert dann lokal gleichm¨aßig auf der offenen KugelU(λ), dakx_nk ≤ ^kxk_n f¨ur allen∈N und

X∞

n=0kx_n+1(µ−λ)ⁿk=X∞

n=0|µ−λ|ⁿkx_n+1k ≤X∞ n=0

|µ−λ|ⁿ

ⁿ⁺¹ kxk. (4.2) Folglich ist die Funktionf :U(λ)→X auch analytisch. F¨urµ∈U(λ) gilt

(T−µ)f(µ) = (T −λ)f(µ)−(µ−λ)f(µ) =

= (T −λ)X^∞

n=0xn+1(µ−λ)ⁿ−(µ−λ)X^∞

n=0xn+1(µ−λ)ⁿ= (4.3)

=X∞

n=0xn(µ−λ)ⁿ−X∞

n=0xn+1(µ−λ)ⁿ⁺¹ =x0 =x,

womitx∈ X_T(C\U(λ)).

Korollar 4.11. F¨ur einen Operator T ∈Lb(X) mit einem Banachraum X gilt σ_su(T) =[

{σ_T(x) :x∈X}.

Beweis.Wir zeigen, dass f¨urλ∈C

T −λsurjektiv ⇐⇒λ∈ρ_T(x) f¨ur allex∈X.

Aus der G¨ultigkeit der rechten Seite folgt nach Definition4.1f¨ur jedesx∈Xdie Existenz von exmit (T−λ)ex=x, wodurch sichT −λals surjektiv herausstellt.

F¨ur surjektivesT −λ, also λ∈C\σ_su(T), gibt es wegen Lemma4.10 ein >0 mit

X=X_T(C\U(λ)) ={x∈X :∃f ∈H(U(λ), X) mit (T−λ)f(λ) =x f¨ur alleµ∈U(λ)}

Also gibt es f¨ur jedes x ∈ X eine analytische Funktion f auf einer offenen Kugel um λ mit (T−λ)f(λ) =x. Folglich gilt λ∈ρT(x) f¨ur jedes x∈X.

(20)

Aus Korollar 4.7und Korollar4.11 erhalten wir folgendes Resultat.

Proposition 4.12. F¨ur T ∈L_b(X) und λ∈ρ_K(T) gilt (T−λ)^∞X=XT(C\ {λ}).

Beweis.Da wegen Korollar4.7(T−λ)XT(C\ {λ}) =XT(C\ {λ}) gilt, folgt (T −λ)ⁿXT(C\ {λ}) =XT(C\ {λ}) für allen∈N, womitXT(C\ {λ})⊆(T−λ)^∞X. Wegen Korollar3.15ist fürS :=T|_(T_−λ)∞X der OperatorS−λsurjektiv als Operator von dem Banachraum (T−λ)^∞X auf sich selbst, womitλ /∈σ_su(S). Wegen Korollar4.11folgt für ein beliebigesx∈(T−λ)^∞X, dassσS(x)⊆σsu(S)⊆C\ {λ}. Weil sicherlich auchσT(x)⊆σS(x) gilt, mussxinXT(C\ {λ})

liegen.

(21)

5 Abgeschlossenheit mithilfe des lokalen spektralen Teilraumes

Mithilfe der im vorigen Kapitel bewiesenen Resultate und durch die Einf¨uhrung des Minimum Modulus wollen wir in diesem Kapitel zeigen, dass auch das Kato Spektrum abgeschlossen ist.

Definition 5.1 (Minimum Modulus). Sei T ∈L_b(X) mit einem BanachraumX. Wir nennen γ(T) := inf

n kT xk

d(x,kerT) :x∈X\kerT o

den Minimum Modulus von T, wobei γ(T) := +∞ im Fall T = 0. F¨ur injektives T gilt γ(T) =κ(T); siehe Definition 3.3.

Bemerkung 5.2. Man zeigt leicht, dass γ(T) = κ(Te), wobei Te : X/kerT → T X durch T([x]e _ker_T) =T x definiert ist, siehe Beweis von Korollar 2.10. Nach Bemerkung 3.4 gilt dann γ(T) =

Te⁻¹

−1

. Ist T X =Te(X/kerT) abgeschlossen, so folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung

Te⁻¹

<+∞, also γ(T)>0.

Da f¨urλ∈ρ_K(T) definitionsgem¨aß (T−λ)X abgeschlossen ist, gilt insbesondersγ(T−λ)>0.

Bis zum Ende dieses Kapitels werden wirδ:=γ(T−λ) f¨ur den Minimum Modulus vonT−λ schreiben.

Lemma 5.3. F¨urT ∈Lb(X) mit einem Banachraum X und λ∈ρK(T) gilt (i) (T−λ)^∞X=X_T(C\ {λ}) =X_T(C\U_δ(λ)),

(ii) (T−λ)^∞X⊆(T −µ)^∞X f¨ur alle µ∈U_δ(λ).

Beweis.W¨ahle 0< < δ. Wir wollen als erstes zeigen, dass

∀v∈(T −λ)^∞X ∃u∈(T−λ)^∞X: (T−λ)u=vundkuk ≤ kvk.

Wir könnenv6= 0 annehmen. Wähle gemäß Korollar3.15(iii)w∈(T−λ)^∞Xmit (T−λ)w=v.

Ausw /∈ker (T−λ) erhalten wir

d(w,ker (T−λ))< δ d(w,ker (T −λ))≤ k(T−λ)wk=kvk.

Wir schließen auf die Existenz einesz∈ker (T−λ)⊆(T−λ)^∞Xmitkw−zk<kvk, wodurch u:=w−z∈(T −λ)^∞X die gew¨unschte Eigenschaft hat.

W¨ahlex∈(T−λ)^∞X beliebig. Wir bauen induktiv eine Folge mitx₀:=xundx_n∈Xderart,

(22)

dass (T −λ)x_n=xn−1 und kx_nk ≤xn−1 f¨ur alle n∈N. Im Beweis von Lemma 4.10 haben wir schon gezeigt, dass dann

f(µ) :=X^∞

n=0x_n+1(µ−λ)ⁿ eine analytische Funktion vonU(λ) nachX bildet, wobei

(T −µ)f(µ) =xf¨ur alleµ∈U(λ).

Wir erhalten U(λ)⊆ρT(x) f¨ur beliebiges 0< < δ, wodurch Uδ(λ)⊆ρT(x), siehe Definition 4.1. Damit istx in der MengeX_T(C\U_δ(λ)) enthalten. Also gilt

(T−λ)^∞X ⊆X_T(C\U_δ(λ))⊆X_T(C\ {λ}). (5.1) In Poposition4.12haben wir schon bewiesen, dass (T−λ)^∞X=X_T(C\ {λ}), weshalb in (5.1) die Mengen alle gleich sind.

F¨urµ∈U_δ(λ) folgt aus Korollar4.7

XT(C\U_δ(λ)) = (T−µ)ⁿXT(C\U_δ(λ)) f¨ur alle n∈N. In Kombination mit (5.1) folgt daraus

(T−λ)^∞X⊆XT(C\U_δ(λ))⊆(T−µ)^∞X.

Satz 5.4. F¨urT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X ist ρ_K(T) offen und daher σ_K(T) abgeschlossen in C.

Beweis. Wir zeigen, dass f¨ur jedes λ∈ρ_K(T) jede KugelU(λ) mit 0< < δ ganz in ρ_K(T) enthalten ist. W¨ahle µ∈U(λ) mit µ6=λ. Mithilfe von Lemma 4.8erhalten wir

ker (T−µ)⊆XT({µ})⊆XT(C\ {λ}) = (T−λ)^∞X⊆(T−µ)^∞X.

Es bleibt zu zeigen, dass (T −µ)X abgeschlossen ist. Wegen λ∈ρK(T) istY := (T −λ)^∞X abgeschlossen; siehe Korollar 3.15. Folglich ist X/Y versehen mit der Faktornorm, ein Bana- chraum. Wegen λ∈ρ_K(T) gilt auch ker (T−λ)⊆Y, weshalb

δkx−Yk_X/Y ≤δ d(x,ker (T −λ))≤ k(T−λ)xk f¨ur alle x∈X.

Wegen Korollar3.15gilt (T−λ)Y =Y. Zuy∈Y gibt es folglich einu∈Y mit (T−λ)u=y.

F¨ur jedes x∈X gilt

δkx−Yk_X/Y =δkx−u−Yk_X/Y ≤ k(T−λ)(x−u)k=k(T −λ)x−yk. Nehmen wir das Infinum ¨uber alle y∈Y, so folgt

δkx−Yk_X/Y ≤ k(T−λ)x−Yk_X/Y ≤ k(T−µ)x−Yk_X/Y +|µ−λ| kx−Yk_X/Y ,

(23)

5 Abgeschlossenheit mithilfe des lokalen spektralen Teilraumes

weshalb

(δ−)kx−Yk_X/Y ≤ k(T −µ)x−Yk_X/Y f¨ur alle x∈X. (5.2) Wegen (T−µ)(Y) = (T−λ+ (λ−µ)I)(T−λ)^∞X⊆(T−λ)^∞X =Y ist ((T−µ)/Y) :X/Y → X/Y definiert und wegen (5.2) nach unten beschr¨ankt; siehe Definition 2.4. Aus Proposition 3.5folgt, dass das Bild ((T−µ)/Y)(X/Y) abgeschlossen inX/Y ist. Wegen Lemma 5.3gilt

Y ⊆(T−µ)^∞X⊆(T −µ)X,

womit (T −µ)X = π⁻¹((T −µ)/Y)(X/Y), wobei π :X → X/Y die kanonische Projektion bezeichnet. Aus der Stetigkeit vonπ folgt schließlich die Abgeschlossenheit von (T −µ)X.

(24)

Um einen besseren Eindruck zu bekommen, wie das Kato Spektrum in der komplexen Zahlen- ebene liegt, wollen wir die sogenannte Sandwich Formel zeigen.

Definition 6.1 (SVEP). Wir definieren f¨urT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X den Ope- rator

T_U :H(U, X)→H(U, X), (T_Uf)(λ) := (T−λ)f(λ).

Wir sagen, der OperatorT hat die single-valued-extension-property oder kurz SVEP, wennT_U f¨ur jedes offeneU ⊆Cinjektiv ist.

Definition 6.2 (Analytisches Residuum). Wir definieren folgende Teilmenge der komplexen Zahlenebene f¨urT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X.

S(T) :={λ∈C:∃U ⊆CGebiet, f ∈H(U, X), f 6= 0, λ∈U mit (T −µ)f(µ) = 0∀µ∈U} Bemerkung 6.3. Offenbar gilt

T hat die SVEP Eigenschaft genau dann, wennS(T) =∅.

Lemma 6.4. Sei T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X. Dann ist das analytische Residuum S(T) im Inneren σ_p(T)^◦ des Punktspektrums enthalten.

Beweis. Sei λ∈ S(T) 6=∅. Also gibt es ein Gebiet U und eine nicht verschwindende analytische Funktion f :U → X mitλ∈ U. Da f nicht identisch verschwindet, hat λeine endliche NullstellenvielfachheitN ≥0. Es gibt also eine analytische Funktion g:G→ X mitg(λ) 6= 0 undf(µ) = (µ−λ)^Ng(µ) fürµ∈G. Da (T−µ)g(µ) = 0 fürµ6=λgilt, folgt aus Stetigkeits- gründen auch (T −λ)g(λ) = 0, womit λ ∈ σ_p(T). Da S(T) selbst schon offen ist, gilt sogar

S(T)⊆σp(T)^◦.

Proposition 6.5. Sei T ∈L_b(X) mit einem Banachraum X. Dann gilt

ρ_K(T) =ρ_K(T⁰) und ρ_K(T)∩σ(T)⊆ S(T)∪ S(T⁰). (6.1) Außerdem gilt die sogenannte Sandwich Formel

∂σ(T)⊆(σap(T)∩σsu(T))\(S(T)∩ S(T⁰))⊆σK(T)⊆σap(T)∩σsu(T) (6.2) und die Gleichheit

(σ_ap(T)∩σ_su(T))\(S(T)∩ S(T⁰)) = (σ_ap(T)\ S(T))∪(σ_su(T)\ S(T⁰)). (6.3)

(25)

6 Die Sandwich Formel

Beweis.(i) F¨urλ∈ρ_K(T) ist (T −λ)X abgeschlossen und ker (T −λ)⊆(T−λ)^∞X. Wegen Lemma 3.14 und Korollar 3.15 ist auch (T −λ)ⁿX abgeschlossen und ker (T −λ)ⁿ ⊆ (T − λ)^∞X⊆(T−λ)Xf¨ur jedesn∈N. Wegen des Satzes vom abgeschlossenen Bild2.12ist damit auch (T⁰−λ)ⁿX⁰ abgeschlossen und wegen Proposition2.15

ker (T⁰−λ) = [(T −λ)X]^⊥ ⊆[ker (T −λ)ⁿ]^⊥= (T⁰−λ)ⁿX⁰ f¨ur alle n∈N, womit λ∈ρ_K(T⁰) und ρ_K(T)⊆ρ_K(T⁰).

F¨urλ∈ρK(T⁰) ist (T⁰−λ)X⁰ abgeschlossen und ker (T⁰−λ)⊆(T⁰−λ)^∞X⁰. Wegen Lemma 3.14und Korollar3.15ist auch (T⁰−λ)ⁿX⁰ abgeschlossen und ker (T⁰−λ)ⁿ⊆(T⁰−λ)^∞X⁰ ⊆ (T⁰−λ)X⁰ f¨ur jedesn ∈N. Wegen des Satzes vom abgeschlossenen Bild 2.12 ist damit auch (T−λ)ⁿX abgeschlossen und wegen Proposition2.15

ker (T−λ) =^⊥[(T⁰−λ)X⁰]⊆^⊥[ker (T⁰−λ)ⁿ] = (T −λ)ⁿX f¨ur alle n∈N, womit λ∈ρK(T⁰) und die Gleichheit in (6.1) gezeigt ist.

(ii) Wir wollen eingangs zeigen, dass

ρ_K(T)∩σ_ap(T)⊆ S(T). (6.4) F¨ur λ∈ρ_K(T)∩σap(T) ist (T −λ)X abgeschlossen und λ∈σap(T). Wegen Proposition3.5 gilt ker (T −λ) 6={0}, also λ∈σ_p(T). F¨ur einen Eigenvektor x 6= 0 zu λgilt wegen Lemma 5.3

x∈ker (T−λ)⊆(T−λ)^∞X=X_T(C\ {λ}).

Also liegt λ in ρT(x), weshalb es eine analytische Funktion f : U → X auf einer offenen Umgebung U von λ derart gibt, dass (T −µ)f(µ) = x f¨ur alle µ ∈ U. F¨ur die analytische Funktion

g(µ) := (T−λ)f(µ), µ∈U.

gilt

g(λ) = (T −λ)f(λ) =x6= 0.

Aufgrund der Stetigkeit verschwindet g sicherlich nicht auf einer offenen Umgebung von λ.

Wegen (T−µ)g(µ) = (T−λ)(T−µ)f(µ) = (T−λ)x= 0 liegtλinS(T), womit (6.4) bewiesen ist.

Wegen der Gleichheit in (6.1), (6.4) und σ_su(T) =σ_ap(T⁰) folgt

ρ_K(T)∩σ_su(T) =ρ_K(T⁰)∩σ_ap(T⁰)⊆ S(T⁰). (6.5) Vereinigung von (6.5) und (6.4) ergibt nach Bemerkung3.2die Mengeninklusion in (6.1).

(iii) In Korollar 3.12 haben wir schon bewiesen, dass σ_K(T) ⊆ σ_ap(T). F¨ur λ ∈ C\σ_su(T) gilt (T −λ)X = X und somit λ ∈ ρK(T). Also haben wir σK(T) ⊆ σap(T)∩σsu(T). Nach Proposition3.5und Korollar3.8 gilt

∂σ(T)⊆σ_ap(T)∩σ_su(T).

(26)

Außerdem wissen wir wegen Lemma6.4, dass

S(T)∩ S(T⁰)⊆σp(T)^◦∩σp(T⁰)^◦ und damit auch

∂σ(T)⊆σ_ap(T)∩σ_su(T)\(S(T)∩ S(T⁰)).

Durch Schneiden von (6.4) und (6.5) erhalten wir

ρ_K(T)∩σ_ap(T)∩σ_su(T)⊆ S(T)∩ S(T⁰), was nichts anderes bedeutet als

(σap(T)∩σsu(T))\(S(T)∩ S(T⁰))⊆σK(T).

Damit ist die Sandwich Formel (6.2) gezeigt.

(v) Wegen

(σ_ap(T)∩σ_su(T))\(S(T)∩ S(T⁰)) = (σ_ap(T)∩σ_su(T))\ S(T)∪(σ_ap(T)∩σ_su(T))\ S(T⁰)

⊆(σ_ap(T)\ S(T))∪(σ_su(T)\ S(T⁰)) folgt schon die eine Inklusion f¨ur (6.3). Gem¨aß (6.4) und (6.5) gilt auch

σap(T)\ S(T)⊆σK(T) undσsu(T)\ S(T⁰)⊆σK(T), woraus wir

(σ_ap(T)\ S(T))∪(σ_su(T)\ S(T⁰))⊆σ_K(T)⊆σ_ap(T)∩σ_su(T) erhalten. Andererseits ist

(σap(T)∩ S(T)^c)∪(σsu(T)∩ S(T⁰)^c)⊆ S(T)^c∪ S(T⁰)^c= (S(T)∩ S(T⁰))^c. Wir kommen auf

(σ_ap(T)\ S(T))∪(σ_su(T)\ S(T⁰))⊆(σ_ap(T)∩σ_su(T))∩(S(T)∩ S(T⁰))^c

und die andere Inklusion von (6.3) ist gezeigt.

Bemerkung 6.6. Wegen ∂σ(T) ⊆ σ_K(T) ist das Kato Spektrum sicherlich nichtleer f¨ur jeden nichttrivialen Banachraum X und T ∈ L_b(X), da das Sektrum bekannterweise nichtleer und kompakt ist.

Mithilfe der Sandwich Formel bekommen wir eine konkrete Darstellung des Kato Spektrums von isometrischen und nicht invertierbaren Operatoren.

Korollar 6.7. Sei T ∈ L_b(X) ein nicht invertierbarer, isometrischer Operator mit einem Banachraum X. Dann ist das Kato Spektrum gleich der Einheitskreislinie.

(27)

6 Die Sandwich Formel

Beweis.Klarerweise ist Tⁿ f¨ur jedesn∈Nisometrisch, womit auch kTⁿk=κ(Tⁿ) = 1.

Folglich giltr(T) =i(T) = 1. Aus Korollar 3.12und Proposition 3.10 (i) folgt σ_K(T)⊆σap(T)⊆ {λ∈C:|λ|= 1}=T.

F¨ur nicht invertierbaresT ist 0 im Spektrum enthalten. Damit gilt wegen Proposition3.10(iii) σ(T) =K1(0). Nach (6.2) haben wir infolge T=∂σ(T)⊆σK(T).

Lemma 6.8. Falls T die SVEP Eigenschat hat und λ∈σp(T), so gilt σT(x) ={λ} f¨ur jeden Eigenvektorx von T zu dem Eigenwertλ.

Beweis.Sei x∈X\ {0}mitT x=λx. Die analytische Funktion f :C\ {λ} →X, f(µ) := (λ−µ)⁻¹x

erfüllt (T−µ)f(µ) =x für alleµ∈C\ {λ}. Die MengeC\ {λ} ist damit inρT(x) enthalten, weswegen auch σ_T(x) ⊆ {λ}. Aus σ_T(x) = ∅, also λ∈ ρ_T(x) folgt die Existenz einer analytischen Funktionf :U →X auf einer offenen UmgebungU ⊆Cvonλmit (T−µ)f(µ) =x für alleµ∈U. Daraus folgt

(T−µ)(T −λ)f(µ) = (T −λ)x= 0

für alle µ ∈ U. Da wir vorausgesetzt haben, dass T die SVEP Eigenschaft hat, erhalten wir (T −λ)f(µ) = 0 für alle µ ∈U, was fürµ =λ die Gleichheit x = 0 impliziert. Wir erhalten einen Widerspruch zu unserer am Anfang gemachten Voraussetzungx6= 0.

Lemma 6.9. F¨ur einen OperatorT ∈L_b(X) mit einem Banachraum X gilt (i) σ(T) =σ_su(T), fallsT die SVEP Eigenschaft hat

(ii) σ(T) =σ_ap(T), fallsT⁰ die SVEP Eigenschaft hat.

Beweis.Falls T die SVEP Eigenschaft hat, folgt aus Lemma 6.8, dassσ_p(T)⊆S{σ_T(x) :x∈ X} =σsu(T); siehe Korollar 4.11. Wegen σ(T) = σp(T)∪σsu(T) folgt σ(T) = σsu(T). Falls T⁰ die SVEP Eigenschaft hat, gilt σ(T) = σ(T⁰) = σ_su(T⁰) = σ_ap(T), wie aus dem gerade

Bewiesenen und Lemma3.7folgt.

Korollar 6.10. SeiT ∈Lb(X) mit einem BanachraumX. FallsT die SVEP Eigenschaft hat, gilt σK(T) =σap(T). Wenn T⁰ die SVEP Eigenschaft hat, gilt σK(T) =σsu(T). Insbesonders erhalten wir σ_K(T) =σ(T), wenn T und T⁰ die SVEP Eigenschaft haben.

Beweis.Betrachte die Mengeninklusion (6.2) aus Proposition6.5, genauer

(σap(T)∩σsu(T))\(S(T)∩ S(T⁰))⊆σK(T)⊆σap(T)∩σsu(T). (6.6) Wenn T die SVEP Eigenschaft hat, gilt wegen Bemerkung 6.3 S(T)∩ S(T⁰) = ∅ und wegen Lemma 6.9 auch σ_ap(T) ⊆ σ(T) = σ_su(T). Aus (6.6) folgt dann, dass σ_K(T) = σ_ap(T).

Falls T⁰ die SVEP Eigenschaft hat, ist wieder S(T)∩ S(T⁰) = ∅ und aus Lemma 6.9 folgt σsu(T) ⊆ σ(T) = σap(T), womit wiederum in Kombination mit (6.6) gezeigt wurde, dass σ_K(T) =σ_su(T). WennTundT⁰die SVEP Eigenschaft haben folgt aus dem gerade Bewiesenen und Lemma6.9, dassσ_K(T) =σ_ap(T) =σ_su(T) =σ(T).

(28)

In diesem Kapitel wollen wir zeigen, dass normale Operatoren die SVEP haben. Damit folgt aus der Sandwich Formel die Gleichheit des Kato Spektrums und des Spektrums.

Definition 7.1. Sei T ∈ Lb(X, Y) für Banachräume X und Y. Die Räume H(U, X) und H(U, Y) sind jeweils mit der Topologie T_ρ versehen; siehe Definition2.18. Wir definieren den Operator

T^#:H(U, X)→H(U, Y) durch (T^#f)(λ) :=T f(λ) f¨ur alle λ∈U undf ∈H(U, X).

Bemerkung 7.2. Der OperatorT^# ist linear und bez¨uglich der Topologien T_ρstetig.

Proposition 7.3. SeiT ∈Lb(X, Y)eine surjektive Abbildung mit zwei Banachr¨aumenX und Y. F¨ur jede offene Kreisscheibe U ⊆Cist der Operator T^#:H(U, X)→H(U, Y) surjektiv.

Beweis.SeiU =Ur(λ0), wobeiλ0 ∈Cundr >0. Wir erhalten f¨ur jede Funktiong∈H(U, Y) und alleλ∈U die Potenzreihenentwicklung

g(λ) =

∞

X

n=0

b_n(λ−λ₀)ⁿ

mit Konvergenzradius gr¨oßer oder gleichr. DaT surjektiv ist, folgt aus Korollar 2.10

∃c >0 : ∀y ∈Y ∃x∈X :T x=yund kxk ≤ckyk.

Insbesonders können wir fürn∈N∪ {0} ein Element an ∈X so wählen, dass T an =bn und ka_nk ≤ckb_nk. Wegen

lim sup

n→∞

ka_nk^1/n ≤lim sup

n→∞

c^1/nkb_nk^1/n = lim sup

n→∞

kb_nk^1/n ≤ 1 r konvergiert die Potenzreihe

f(λ) :=

∞

X

n=0

an(λ−λ0)ⁿ

f¨ur alle λ∈U und definiert somit eine Funktion inH(U, X). Weil f¨ur alle λ∈U (T^#f)(λ) =

∞

X

n=0

T(an)(λ−λ0)ⁿ=

∞

X

n=0

bn(λ−λ0)ⁿ=g(λ)

gilt, istT^# surjektiv.