Funktionentheorie 1 - ¨Ubung M. Marohn
Klausur zur Funktionentheorie 1 Sommersemester 2015
Vorname Nachname Matrikelnr. Studiengang Mo/Di
1 2 3 4 5 6 P
1 Kreuzelfragen (20 Punkte)
Entscheiden Sie (ohne Begr¨undung), ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Kreuzen Sie dazu in jeder unten stehendenTabelledie ihrer Meinung nach zutreffende Antwort an. F¨ur eine richtige Antwort gibt es + 2 Punkte und f¨ur eine falsche Antwort - 2 Punkte. Pro Tabelle gibt es maximal 10 Punkte, minimal 0 Punkte.
a) Ist f in einem Gebiet holomorph, dann hat f dort auch eine Stammfunktion.
b) Erf¨ullt f in z0 ∈C die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen, so ist f dort auch holomorph.
c) Ist f eine ganze Funktion mit f(z)∈R f¨ur allez ∈C, dann ist f konstant.
d) Es gibt eine auf ganz Cholomorphe Funktion f mit f(C) =R.
e) Ist f eine auf der ganzen reellen Achse beschr¨ankte Funktion, dann istf konstant.
a) b) c) d) e)
richtig falsch
f) Es gibt eine auf ganz Cholomorphe Funktion f mit f(z) = 1 f¨ur alle z mit |z|= 1 sowie f(2) = 2 gilt.
g) Istf eine ganze Funktion mit fn1= ni f¨ur alle n∈N, dann ist f(z) = iz f¨ur alle z ∈C. h) Ist f eine nichtkonstante Polynomfunktion, so gibt es eine st¨uckweise stetig differenzier-
bare Kurve C: [0,1]→Cmit RCf(z)dz = 2πi.
i) Ist f eine ganze Funktion, so hat f1 in 0 keinen Pol.
j) F¨ur eine ganze Funktion f ist die Funktion r7→R|z|=rf(z)dz konstant auf (0,∞).
f) g) h) i) j)
richtig falsch
E-Mail: marcelmarohn-iq-tube@live.de Seite 1 von 3
Funktionentheorie 1 - ¨Ubung M. Marohn
2 Holomorphie (10 Punkte)
a) Sei f : G → C und G ⊆ C ein Gebiet. Nennen Sie vier ¨aquivalente Bedingungen dazu, dass f inG holomorph ist. (4 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms p(z) = 2z5 −6z2 +z + 1 im Ringgebiet 1≤ |z| ≤2. Sind darunter auch reelle Nullstellen? (6 Punkte)
3 Kurvenintegrale (3 + 7* Punkte)
a) Bestimmen Sie
Z
|z|=r
sin(x)
(z−1)2(z−3) dz f¨ur r= 2. (3 Punkte)
b*) (7 Zusatzpunkte) Zeigen Sie, dass f¨ur die Fresnel-Integrale
Z ∞ 0
cos(x2) dx=
Z ∞ 0
sin (x2)dx=
rπ 8
gilt, indem Sie die in ganz C holomorphe Funktion f(z) = e−z2 uber den Rand des¨ Kreissektors
{z ∈C||z|< R,0< arg(z)< π 4}
integrieren, den Grenz¨ubergang R→ ∞ vollziehen und dabei benutzen, dass gilt
Z ∞ 0
e−t2 dt= 1 2
Z ∞ 0
e−uu−12 du= Γ12
2 =
√π 2 .
4 Laurentreihen (10 Punkte)
Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung auf {z ∈ C : |z − 1| > 1} von f : C\{1,2} → C mit
f(z) = − 1
z−1 +(z−1)2
(z−2)2 + ez−1 z−1.
5 Residuensatz (10 Punkte)
Berechnen Sie f¨ur C ∈ R, C 6= 0 mit Hilfe des Residuensatzes das uneigentliche reelle Inte- gral
Z ∞ 0
x·sin(x) x2+C2 dx.
Geben Sie insbesondere die Integrationspfade explizit an und weisen Sie nach, dass die Werte der entsprechenden Kurvenintegrale gegen das gesuchte Integral konvergieren. (Hinweis: Was wissen Sie ¨uber die Symmetrie der Funktion? W¨ahlen Sie danach ein geeignetes Rechteck, welches eine Singularit¨at von der Funktion enth¨alt, zur Berechnung des Kurvenintegrals dar¨uber.)
E-Mail: marcelmarohn-iq-tube@live.de Seite 2 von 3
Funktionentheorie 1 - ¨Ubung M. Marohn
6 Satz von Liouville (7 Punkte)
a) Wie lautet der Satz von Liouville? (2 Punkte) b) Beweisen Sie den Satz von Liouville. (3 Punkte)
c) Was folgern Sie daraus, falls eine ganze Funktion f in∞ holomorph ist? (2 Punkte)
E-Mail: marcelmarohn-iq-tube@live.de Seite 3 von 3
