Singularit¨ aten einer komplexen Funktion

Singularit¨ aten einer komplexen Funktion

Ist eine komplexe Funktion f in der Umgebung D\a eines Punktes a analytisch, so l¨ asst sich der Typ der Definitionsl¨ ucke wie folgt klassifizieren.

Schwache Singularit¨ at:

z→a

lim (z − a)f (z ) = 0 ,

aufgrund der Cauchyschen Integralformel immer hebbar Pol n-ter Ordnung:

|(z − a)

f (z)| = O(1), z → a, n ∈ N minimal

wesentliche Singularit¨ at:

(z − a)

f (z) 6= O(1) ∀n ∈ N

Singularit¨aten 1-1

Man beachte, dass die Klassifizierung nicht auf Funktionen wie Ln(z − a) oder √

z − a anwendbar ist, da in keinem Kreisring um a eine konsistente stetige Definition m¨ oglich ist.

Singularit¨aten 1-2

Beispiel:

verschiedene Singularit¨ aten bei z = 0 Schwache Singularit¨ at, z.B.

f (z ) = sin z z , denn |zf (z)| → | sin(0)| = 0 f¨ ur z → 0 Pol zweiter Ordnung, z.B.

f (z) = cos z z

,

denn lim

z

f (z ) = cos 0 = 1 und z f (z ) = cos z / z → ∞ f¨ ur z → 0

Wesentliche Singularit¨ at, z.B.

f (z ) = exp(1/z ) , denn t

exp(1/t) → ∞, t → 0, f¨ ur alle n ∈ N

Singularit¨aten 2-1