Ein Integral einer stetigen Funktion ¨ uber einem Elementarbereich V : a
j(x
1, . . . , x
j−1) ≤ x
j≤ b
j(x
1, . . . , x
j−1)
l¨ asst sich durch Hintereinanderausf¨ uhrung eindimensionaler Integrationen berechnen:
Z
V
f dV =
b1
Z
a1
b2(x1)
Z
a2(x1)
· · ·
bn(x1,...,xn−1)
Z
an(x1,...,xn−1)
f (x
1, . . . , x
n) dx
n· · · dx
2dx
1.
Dabei spielt die Reihenfolge der Variablen bei der Beschreibung des Elementarbereichs keine Rolle. Insbesondere gilt f¨ ur Doppelintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen
Z
ba
Z
dc
f (x, y) dydx = Z
dc
Z
ba
f (x , y) dxdy .
1 / 10
Beispiel
Integration von
f (x, y ) = y cos x
2¨
uber dem Bereich
V : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ √ x
x y
1 1
0
y=√x
Integrationen:
Z
V
f =
1
Z
0
√x
Z
0
y cos x
2dy
dx =
1
Z
0
y
22 cos x
2y=√
x
y=0
dx
=
1
Z
0
1
2 x cos x
2dx =
1
4 sin x
21
0
= 1 4 sin(1)
Vertauschung der Integrationsreihenfolge nicht (explizit) berechenbares Integral
Z
V
f =
1
Z
0
1
Z
y2
y cos x
2dx
dy
3 / 10
Beispiel Integration von
f (x, y, z ) = x uber den Tetraeder ¨
T : x, y , z ≥ 0, x + y + z 2 ≤ 1
Darstellung von T als Elementarbereich mit Hilfe der Ungleichungen
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 − x
0 ≤ z ≤ 2 (1 − x − y )
z
1 2
Z
T
f =
1
Z
0
1−x
Z
0
2(1−x−y)
Z
0
x dz
dy
dx
=
1
Z
0
1−x
Z
0
2x (1 − x − y ) dy
dx
=
1
Z
0
2x(1 − x)
2− 2x(1 − x)
2/2
| {z }
x−2x2+x3
dx = 1 12
5 / 10
Beispiel
Volumen des Durchschnitts der beiden Zylinder
Z
1: x
2+ y
2≤ r
2, Z
2: x
2+ z
2≤ r
2Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z
1K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤ p
r
2− x
2Z
2H¨ ohe h(x, y) = √
r
2− x
2des Schnittk¨ orpers ¨ uber K Teilvolumen
Z
K
h =
r
Z
0
√ r2−x2
Z
0
p r
2− x
2dy
dx =
r
Z
0
(r
2− x
2) dx = r
3− 1
3 r
3= 2r
3/3
16r
3/3 als Volumen f¨ ur den gesamten K¨ orper
7 / 10
Beispiel
Das Volumen V
nder n-dimensionalen Einheitskugel B
n= { x ∈ R
n: | x | ≤ 1 } ist
V
n= 2 √ π
nn Γ(
n2) , mit der Gamma-Funktion Γ.
F¨ ur n ≤ 6 sind die Werte in der folgenden Tabelle angegeben:
n 1 2 3 4 5 6
V
n2 π 4π/3 π
2/2 8π
2/15 π
3/6
Definition der Gamma-Funktion = ⇒ 2 √
π
Schnitt von B
nmit der Hyperebene x
n= ξ, ( − 1 ≤ ξ ≤ 1) (n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius p
1 − ξ
2Satz von Fubini = ⇒
vol B
n=
1
Z
−1
(1 − ξ
2)
n−12vol B
n−1dξ
(Skalierung des Volumes von B
n−1mit der (n − 1)-ten Potenz des Radius’) Substitution ξ = sin t, dξ = cos t dt
Z
1−1
1 − ξ
2n−12dξ =
Z
π/2−π/2
1 − sin
2t
n−12cos t dt
= 2 Z
π/20
(cos t)
n−1cos t dt
= √
π Γ
n+12Γ
n2+ 1
9 / 10
