Inhaltsverzeichnis Vektoranalysis

Vektoranalysis ^∗

Martin Brokate

Inhaltsverzeichnis

1 Kurvenintegrale und Potentiale 1

2 Mannigfaltigkeiten 6

3 Volumenintegrale 12

4 Das Oberfl¨ achenintegral 20

5 Der Integralsatz von Gauß 29

6 Der Integralsatz von Stokes 38

7 Harmonische Funktionen 42

∗Vorlesungsskript, WS 2017/18

†Zentrum Mathematik, TU M¨unchen

1 Kurvenintegrale und Potentiale

In der Analysis 2 wurden bereits Kurven behandelt. Dort wurde die L¨ ange L(x) einer Kurve x : [a, b] → R

als Supremum der L¨ angen von approximierenden Polygonz¨ ugen definiert und die Formel

L(x) = Z

a

kx

(t)k dt

bewiesen. Weiter wurde gezeigt, dass L(x) nicht von der Parametrisierung der Kurve abh¨ angt.

In diesem Kapitel geht es darum, Integrale von Funktionen F l¨ angs einer Kurve zu be- trachten; F ist dabei auf einer Teilmenge Ω des R

definiert, innerhalb der die Kurve verl¨ auft.

Zur Motivation betrachten wir eine Situation aus der Physik: Ein konstantes Kraftfeld, repr¨ asentiert durch einen Vektor F ∈ R

, leistet entlang der Strecke, welche einen Punkt x

∈ R

mit einem Punkt x

∈ R

verbindet, die Arbeit

W = hF, x

− x

i = kF k

kx

− x

k

cos ϕ

wobei ϕ der von den Vektoren F und x

− x

eingeschlossene Winkel ist. Betrachten wir den Streckenzug, welcher nacheinander die Punkte x

, x

, . . . x

verbindet, und nehmen wir an, dass l¨ angs der Verbindung von x

nach x

die Kraft F

wirkt, so ergibt sich die Gesamtarbeit zu

W =

N

X

i=1

hF

, x

− x

i . (1.1)

Wenn wir diesen Streckenzug als Kurve x : [a, b] → R

mit x(t

) = x

zu einer geeigneten Zerlegung auffassen und F (x

) = F

setzen, so wird (1.1) zu

W =

N

X

i=1

F (x(t

)), x(t

) − x(t

) t

− t

(t

− t

) , (1.2) Ist F : R

→ R

stetig und x : [a, b] → R

stetig differenzierbar, so ist die l¨ angs x verrichtete Arbeit gleich

Z

hF (x(t)), x

(t)i dt .

Definition 1.1 (Kurvenintegral)

Sei Ω ⊂ R

, seien F : Ω → R

stetig und x : [a, b] → R

stetig differenzierbar, sei C = x([a, b]) ⊂ Ω. Dann heißt

Z

C

F · dx :=

Z

hF (x(t)), x

(t)i dt (1.3)

das Kurvenintegral von F entlang C von x(a) nach x(b). 2

Diese Definition ist sinnvoll, da das Kurvenintegral sich nicht ¨ andert, wenn wir eine andere Parametrisierung von C w¨ ahlen, die die Orientierung erh¨ alt. Ist etwa ϕ : [α, β] → [a, b]

eine C

-Parametertransformation, so gilt Z

α

hF ((x ◦ ϕ)(τ)), (x ◦ ϕ)

(τ )i dτ = Z

α

hF (x(ϕ(τ))), x

(ϕ(τ ))i ϕ

(τ ) dτ

= Z

ϕ(α)

hF (x(t)), x

(t)i dt = ± Z

a

hF (x(t)), x

(t)i dt ,

je nachdem, ob ϕ orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist.

F¨ ur st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurven x : [a, b] → R

setzen wir Z

C

F · dx =

k

X

i=1

Z

Ci

F · dx , (1.4)

falls x|[t

, t

] stetig differenzierbar ist und C

= x([t

, t

]). (Man zeigt, dass diese Defi- nition unabh¨ angig ist von der Wahl der Zerlegung.) Aus der Linearit¨ at des Integrals folgt unmittelbar

Z

C

(F + G) · dx = Z

C

F · dx + Z

C

G · dx , Z

C

λF · dx = λ Z

C

F · dx , (1.5) f¨ ur λ ∈ R .

Satz 1.2 Sei Ω ⊂ R

offen, f ∈ C

(Ω), x : [a, b] → R

st¨ uckweise stetig differenzierbar, sei C = x([a, b]) ⊂ Ω. Dann gilt

Z

C

grad f · dx = f(x(b)) − f (x(a)) . (1.6) Beweis: Sei zun¨ achst x ∈ C

([a, b]). Dann gilt

Z

C

grad f · dx = Z

a

hgrad f(x(t)), x

(t)i dt = Z

a

(f ◦ x)

(t) dt

= f(x(b)) − f (x(a))

nach Kettenregel und Hauptsatz. Ist x st¨ uckweise stetig differenzierbar und (t

) eine ent- sprechende Zerlegung von [a, b], so folgt

Z

C

grad f · dx =

k

X

i=1

Z

Ci

grad f · dx =

k

X

i=1

(f(x(t

)) − f (x(t

))) = f (x(b)) − f (x(a)) . 2 Aus Satz 1.2 folgt: Ist F : Ω → R

ein Gradientenfeld auf Ω (das heißt, es gibt f : Ω → R mit F = grad f), so ist das Kurvenintegral zwischen zwei Punkten P, Q ∈ R

unabh¨ angig davon, wie die Kurve von P nach Q verl¨ auft. Insbesondere ist dann

Z

C

F · dx = 0

f¨ ur jede geschlossene Kurve C.

Lemma 1.3 Sei Ω ⊂ R

offen, F : Ω → R

stetig differenzierbar. Ist F ein Gradienten- feld auf Ω, so gilt

∂

F

(x) = ∂

F

(x) (1.7)

f¨ ur alle x ∈ Ω und alle i, j mit 1 ≤ i, j ≤ n.

Beweis: Ist F = grad f , so gilt

∂

F

(x) = ∂

(∂

f )(x) = ∂

(∂

f)(x) = ∂

F

(x) .

2 Definition 1.4 Sei X Vektorraum, sei Y ⊂ X. Y heißt sternf¨ ormig, falls es ein y ∈ Y

gibt mit [x, y] ⊂ Y f¨ ur alle x ∈ Y . 2

Satz 1.5 Sei Ω ⊂ R

offen und sternf¨ ormig, sei F : Ω → R

stetig differenzierbar. Gilt

∂

F

(x) = ∂

F

(x) (1.8)

f¨ ur alle x ∈ Ω und alle i, j, 1 ≤ i, j ≤ n, so ist F ein Gradientenfeld auf Ω, es gibt f ∈ C

(Ω) mit

F = grad f . (1.9)

Beweis: Sei y ∈ Ω mit [y, x] ⊂ Ω f¨ ur alle x ∈ Ω. Wir definieren f als das Kurvenintegral von F entlang der Strecke von y nach x, wir setzen also

f (x) = Z

0

hF (y + t(x − y)), x − yi dt .

Nach einem Satz ¨ uber das Differenzieren parameterabh¨ angiger Integrale (siehe Analysis 2) existieren alle partiellen Ableitungen ∂

f und sind stetig. F¨ ur

f(x) = ˜ hF (y + t(x − y)), x − yi gilt

∂

f ˜ (x) = ht∂

F (y + t(x − y)), x − yi + hF (y + t(x − y)), e

i , also

∂

f(x) = Z

0

ht∂

F (y + t(x − y)), x − yi + F

(y + t(x − y)) dt . F¨ ur

g

(t) = tF

(y + t(x − y)) gilt

g

(t) = ht(grad F

)(y + t(x − y)), x − yi + F

(y + t(x − y)) , und mit z = y + t(x − y)

h(grad F

)(z), x − yi =

n

X

j=1

∂

F

(z)(x

− y

) =

n

X

j=1

∂

F

(z)(x

− y

)

= h∂

F (z), x − yi .

Es folgt

g

(t) = ht(∂

F )(y + t(x − y)), x − yi + F

(y + t(x − y)) , und damit

∂

f(x) = Z

0

g

(t) dt = g

(1) − g

(0) = F

(x) .

2 Folgerung 1.6 Sei Ω ⊂ R

offen und sternf¨ ormig, sei F : Ω → R

stetig differenzierbar.

Dann ist F ein Gradientenfeld auf Ω genau dann, wenn rot F = 0 in Ω.

Definition 1.7 (Wegzusammenhang)

Ein metrischer Raum (X, d) heißt wegzusammenh¨ angend, wenn es f¨ ur alle x

, x

∈ X eine Kurve r : [0, 1] → X gibt mit r(0) = x

und r(1) = x

. 2 Definition 1.8 (Konservatives Vektorfeld)

Sei Ω ⊂ R

offen. Ein Vektorfeld F : Ω → R

heißt konservativ auf Ω, falls “das Kur- venintegral wegunabh¨ angig ist”, d.h. falls f¨ ur alle Punkte x

, x

∈ Ω und alle st¨ uckweise C

-Kurven C

, C

von x

nach x

, welche in Ω verlaufen, gilt

Z

C1

F · dx = Z

C2

F · dx . (1.10)

2

Satz 1.9 Sei Ω ⊂ R

offen und wegzusammenh¨ angend, sei F : Ω → R

stetig. Dann gilt F ist Gradientenfeld auf Ω ⇔ F ist konservativ auf Ω .

Beweis: “⇒”: Folgt aus Satz 1.2.

“⇐”: Seien x, y ∈ Ω beliebig. Wir beweisen zun¨ achst

Es gibt eine st¨ uckweise C

-Kurve von y nach x. (1.11) Sei r : [0, 1] → Ω stetig mit r(0) = y, r(1) = x. Sei

U

= {z : z ∈ R

, dist (z, r([0, 1])) < ε} .

Wir w¨ ahlen ε > 0 so, dass U

⊂ Ω gilt (das ist m¨ oglich, da dist (∂Ω, r([0, 1]) > 0 falls

∂Ω 6= ∅, was gleichbedeutend ist mit Ω 6= R

). F¨ ur eine hinreichend feine Unterteilung (t

) von [0, 1] gilt, dass der Polygonzug, welcher r(0), r(t

), . . . , r(1) verbindet, ganz in U

und damit auch in Ω liegt. Damit ist (1.11) bewiesen. Wir w¨ ahlen nun x

∈ Ω und definieren f : Ω → R durch

f(x) = Z

C

F · dx , (1.12)

wobei C eine st¨ uckweise C

-Kurve von x

nach x ist (eine solche gibt es nach (1.11), und

nach Voraussetzung h¨ angt das Kurvenintegral nicht von der Wahl von C ab). Zu zeigen

ist noch F = grad f. Sei x ∈ Ω beliebig, sei h > 0 so gew¨ ahlt, dass [x, x + he

] ⊂ Ω gilt.

Sei C

eine st¨ uckweise C

-Kurve von x

nach x, sei C(h) definiert durch r

: [0, h] → Ω , r

(t) = x + te

.

Dann gilt

f (x + he

) = Z

C∗

F · dx + Z

C(h)

F · dx = f (x) + Z

C(h)

F · dx .

F¨ ur

g(h) = f (x + he

) − f(x) gilt also

g(h) = Z

C(h)

F · dx = Z

0

hF (r

(t)), r

(t)i dt = Z

0

F

(x + te

) dt ,

also ist g rechtsseitig differenzierbar in 0 und g

(0) = F

(x). Dasselbe Argument mit −e

statt e

liefert die Existenz von ∂

f (x) und die Formel ∂

f(x) = F

(x). 2 Als Beispiel betrachten wir

Ω = R

\ {0} , F : Ω → R

, F (x, y) =

− y

x

+ y

, x x

+ y

. (1.13)

Es gilt f¨ ur alle (x, y) 6= (0, 0)

∂

F

(x, y) = ∂

F

(x, y) .

Die Menge Ω ist nicht sternf¨ ormig, Satz 1.5 ist also f¨ ur Ω nicht anwendbar. Ist aber ˜ Ω eine sternf¨ ormige Teilmenge von Ω, so gibt es nach Satz 1.5 ein f ∈ C

( ˜ Ω) mit

F (x) = grad f (x) , f¨ ur alle x ∈ Ω ˜ .

Aber andererseits gilt, wenn wir den Einheitskreis als eine geschlossene Kurve C auffassen, mit r : [0, 2π] → R

, r(t) = (cos t, sin t)

Z

C

F · dx = Z

0

hF (r(t)), r

(t)i dt = Z

0

sin

t + cos

t dt = 2π ,

also ist F nicht konservativ auf Ω. Aus Satz 1.9 (bzw. schon Satz 1.2) folgt, dass es kein f ∈ C

(Ω) geben kann mit

F (x) = grad f (x) , f¨ ur alle x ∈ Ω .

2 Mannigfaltigkeiten

In diesem Abschnitt betrachten wir Teilmengen des R

, die eine “differenzierbare Struk- tur” haben. Wir gehen aus von der Beschreibung affiner Unterr¨ aume. Ist a ∈ R

ein Vektor und X ⊂ R

ein Unterraum mit dim X = k, so k¨ onnen wir den affinen Unterraum

M = a + X = {a + x : x ∈ X} (2.1)

auf zwei verschiedene Weisen beschreiben:

• mit einer Parameterdarstellung: Sei (v

, . . . , v

) Basis von X, sei Φ : R

→ R

definiert durch

Φ(t

, . . . , t

) = a +

k

X

i=1

t

v

, (2.2)

dann ist

M = Φ( R

) , Φ : R

→ M bijektiv. (2.3)

• als L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems: Sei (w

, . . . , w

) Basis des orthogonalen Komplements

X

= {w : w

x = 0 f¨ ur alle x ∈ X} , (2.4) sei f : R

→ R

definiert durch

f

(x) = w

(x − a) , (2.5)

so ist

M = {x : f(x) = 0} . (2.6)

Affin lineare Unterr¨ aume k¨ onnen also als Urbild der 0 bzw. als Bild eines R

vermittels affin linearer Abbildungen dargestellt werden. Verzichten wir auf die Linearit¨ at, so k¨ onnen wir allgemeinere Teilmengen darstellen, etwa gekr¨ ummte Fl¨ achen. Wir werden verlangen, dass die darstellenden Abbildungen differenzierbar sind.

Nun ist es allerdings so, dass man zur Darstellung einer gekr¨ ummten Fl¨ ache im allge- meinen nicht mit einer einzigen darstellenden Abbildung (Φ bzw. f) auskommt, sondern mehrere ben¨ otigt, die geeignet zusammengesetzt werden m¨ ussen.

Definition 2.1 (Mannigfaltigkeit)

Eine Teilmenge M von R

heißt k-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit im R

(hierbei ist 0 ≤ k ≤ n, α ∈ N ∪ {∞}), falls zu jedem a ∈ M eine offene Menge U ⊂ R

mit a ∈ U und ein f ∈ C

(U ; R

) existieren mit

M ∩ U = {x : f (x) = 0} , rang J

(a) = n − k . (2.7) 2 Die Bedingung (2.7) bedeutet, dass J

(a) maximalen Rang hat. Dazu ist ¨ aquivalent, dass die Ableitung (Fr´ echet-Ableitung, totale Ableitung) Df(a) : R

→ R

surjektiv ist.

In den folgenden Beispielen gen¨ ugt eine einzige Abbildung zur Darstellung (also U = M).

Beispiel 2.2

1. Affine Unterr¨ aume. Wie in (2.4) – (2.6) dargestellt, k¨ onnen wir in Definition 2.1 U = R

und f¨ ur jedes a dasselbe f w¨ ahlen.

2. Niveaumengen. Sei U ⊂ R

offen, f ∈ C

(U ), c ∈ R ,

N

(f ) = {x : f (x) = c} . (2.8) N

(f) ist eine (n − 1)-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit, falls grad f (x) 6= 0 gilt f¨ ur alle x ∈ N

(f ). Ein Spezialfall davon ist die Oberfl¨ ache der n-dimensionalen Einheitskugel in der euklidischen Norm,

S

= {x : kxk

= 1} . (2.9)

S

ist eine (n − 1)-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit.

3. Orthogonale Matrizen. Eine Matrix A ∈ R

ist orthogonal genau dann, wenn A

A = I, die Menge O(n) der orthogonalen Matrizen im R

ist also gegeben durch

O(n) = {X : X ∈ R

, f (X) = 0}

mit

f (X) = X

X − I , f : R

→ R

.

Da R

die Dimension n(n+1)/2 hat, ist hier k = n

−n(n+1)/2 = n(n−1)/2. Wir wollen zeigen, dass Df (A) eine surjektive lineare Abbildung ist f¨ ur jedes A ∈ O(n).

Es gilt 1

t (f(A + tH) − f(A)) = 1 t

(A + tH)

(A + tH) − A

A

= H

A + A

H + tH

H , also

Df (A)H = lim

t→0

1

t (f(A + tH) − f (A)) = H

A + A

H . Eine L¨ osung von

Df(A)H = B f¨ ur beliebiges B ∈ R

ist gegeben durch

H = 1

2 (A

)

B , da Df (A)H = 1

2 (B

+ B) = B .

Also ist Df (A) surjektiv. Die Menge O(n) ist also eine C

-Mannigfaltigkeit der Dimension n(n − 1)/2. Da orthogonale Matrizen die Determinante 1 oder -1 haben, und da die Determinante stetig ist, ist

SO(n) = {X : X ∈ O(n) , det(X) = 1}

ebenfalls eine C

-Mannigfaltigkeit der Dimension n(n − 1)/2.

2

Satz 2.3 (Darstellung von C

-Mannigfaltigkeiten) Sei M ⊂ R

, α ∈ N . Dann sind ¨ aquivalent:

(i) M ist eine k-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit.

(ii) F¨ ur alle a ∈ M gibt es offene Mengen U, V ⊂ R

und einen C

-Diffeomorphismus F : U → V mit a ∈ U und

F (M ∩ U ) = V ∩ E

, E

= {(x

, . . . , x

, 0, . . . , 0) : x

∈ R , 1 ≤ i ≤ k} . (2.10) (iii) F¨ ur alle a ∈ M gibt es eine offene Menge U ⊂ R

mit a ∈ U , eine offene Menge T ⊂ R

und ein Φ ∈ C

(T ; R

), so dass Φ : T → M ∩ U bijektiv, Φ

: M ∩ U → T stetig ist und

rang J

(t) = k , f¨ ur alle t ∈ T . (2.11) Beweis: “(i)⇒(ii)”: Sei a ∈ M, sei U

⊂ R

offen mit a ∈ U

, sei f ∈ C

(U

; R

) mit

M ∩ U

= {x : x ∈ R

, f (x) = 0} , rang J

(a) = n − k .

Wir betrachten zun¨ achst den Spezialfall, dass die letzten n − k Spalten von J

(a) linear unabh¨ angig sind. Wir zerlegen x ∈ R

in

x = (ξ, η) , ξ ∈ R

, η ∈ R

.

Die Matrix ∂

f(a) ∈ R

ist invertierbar. Also gibt es (Satz ¨ uber implizite Funk- tionen) offene Mengen U

⊂ R

, U

⊂ R

, mit (a

, . . . , a

) ∈ U

, und ein g : U

→ U

, g ∈ C

(U

; R

), mit

M ∩ (U

× U

) = {(ξ, g(ξ)) : ξ ∈ U

} ⊂ M ∩ U

, also f (ξ, g(ξ)) = 0. Wir setzen

U = U

× U

, F (ξ, η) = (ξ, η − g(ξ)) , V = F (U) . Dann ist F injektiv, also F : U → F (U ) = V bijektiv, und

(ξ, η) ∈ M ∩ U ⇔ ξ ∈ U

, η = g(ξ) ⇔ F (ξ, η) ∈ V ∩ E

. Weiter ist

J

(ξ, η) =

I 0

−J

(ξ) I

,

also J

(ξ, η) invertierbar und daher (Satz ¨ uber inverse Funktionen) F ein C

-Diffeomor- phismus. Der allgemeine Fall wird durch Umnumerieren der Koordinatenachsen darauf zur¨ uckgef¨ uhrt. Seien die Spalten i

, i

, . . . , i

von J

(a) linear unabh¨ angig. Sei P : R

→ R

eine lineare Abbildung, welche die Einheitsvektoren permutiert, und zwar der Form

P (x

, . . . , x

) = (. . . , x

, . . . , x

) .

Dann ist P (M ) eine k-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit mit der lokalen Darstellung (in einer Umgebung von P (a))

P (M ) ∩ P (U

) = P (M ∩ U

) = {y : y ∈ P (U

), (f ◦ P

)(y) = 0}

und die letzten n − k Spalten von J

(P a) sind linear unabh¨ angig. Also existiert F wie behauptet mit

V ∩ E

= F (P (M ) ∩ U ) = (F ◦ P )(M ∩ P

(U)) , das heißt, F ◦ P leistet das Verlangte.

“(ii)⇒(iii)”: Seien F, U, V wie in (ii) gegeben. Wir setzen

T = {ξ : ξ ∈ R

, (ξ, 0) ∈ V } , Φ(ξ) = F

(ξ, 0) . Dann ist Φ : T → M ∩ U bijektiv, Φ

= F |(M ∩ U ) stetig, und

J

(ξ) = J

(ξ, 0) I

0

,

das heißt, J

entsteht aus J

, indem man die Spalten k + 1, . . . , n auf 0 setzt. Da rang (J

(ξ, 0)) = n, ist rang (J

(ξ)) = k.

“(iii)⇒(i)”: Sei a ∈ M , seien U, T, Φ wie in (iii) gegeben. Wir setzen c = Φ

(a) ∈ T und betrachten den Spezialfall, dass die ersten k Zeilen von J

(c) linear unabh¨ angig sind. (Der allgemeine Fall wird wie oben durch eine geeignete Permutation darauf zur¨ uckgef¨ uhrt.) Nach dem Satz ¨ uber inverse Funktionen gibt es offene Mengen ˆ T , V ˆ ⊂ R

mit c ∈ T ˆ ⊂ T , so dass

Φ = (Φ ˆ

, . . . , Φ

) : ˆ T → V ˆ ein C

-Diffeomorphismus ist. Wir definieren

G : ˆ T × R

→ V ˆ × R

, G(ξ, η) = Φ(ξ) + (0, η) . Es ist

J

(ξ, η) =

J

(ξ) 0

∗ I

, ξ ∈ T , ˆ η ∈ R

,

also ist J

invertierbar auf ˆ T × R

. Wir zeigen, dass G bijektiv ist auf ˆ T × R

. Es gilt G

(ξ, η) = Φ

(ξ) = ˆ Φ

(ξ) f¨ ur 1 ≤ j ≤ k, also

G(ξ, η) = G(ξ

, η

) ⇒ Φ(ξ) + (0, η) = Φ(ξ

) + (0, η

) ⇒ Φ(ξ) = ˆ ˆ Φ(ξ

)

⇒ ξ = ξ

⇒ η = η

. Also ist G injektiv. Sei nun (y, z) ∈ V ˆ × R

. Es ist

(y, z) = Φ(ξ) + (0, η) ,

wenn wir ξ = ˆ Φ

(y) setzen und η so definieren, dass die Gleichung erf¨ ullt ist. Also ist G auch surjektiv und damit

G : ˆ T × R

→ V ˆ × R

ein C

-Diffeomorphismus. Wir setzen

U ˆ = ( ˆ V × R

) ∩ U , und zerlegen

G

= ( ˆ f , f ) , f ˆ : ˆ U → T , ˆ f : ˆ U → R

.

Dann gilt f¨ ur alle x ∈ U ˆ

x ∈ M ⇔ ∃ ξ ∈ T , ˆ Φ(ξ) = x ⇔ ∃ ξ ∈ T , G ˆ

(x) = (ξ, 0) ⇔ f (x) = 0 , also ist

M ∩ U ˆ = {x : x ∈ U , f ˆ (x) = 0} .

Da J

(x) invertierbar ist f¨ ur alle x ∈ U ˆ , hat J

(x) maximalen Rang, also rang (J

(x)) =

n − k f¨ ur alle x ∈ U. ˆ 2

Definition 2.4 (Karte, Atlas)

Sei M ⊂ R

eine k-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung Φ : T → M ∩ U mit den in Satz 2.3(iii) genannten Eigenschaften heißt C

-Karte (oder einfach Karte) von M . Eine Familie (Φ

)

von Karten Φ

: T

→ M ∩ U

heißt Atlas von M , falls

M ⊂ [

j∈J

(M ∩ U

) .

2 Aus Satz 2.3 folgt unmittelbar, dass jede Mannigfaltigkeit einen Atlas besitzt. Ist M kom- pakt, so besitzt M einen endlichen Atlas (d.h. einen Atlas mit einer endlichen Indexmenge J).

Satz 2.5 Sei M ⊂ R

eine k-dimensionale C

-Mannigfaltigkeit, seien Φ

: T

→ M ∩ U

, j = 1, 2, C

-Karten von M , sei M ∩ U

∩ U

6= ∅. Dann sind

W

= Φ

(M ∩ U

∩ U

) (2.12) offene Teilmengen von R

mit W

⊂ T

, und

Φ

◦ Φ

: W

→ W

(2.13)

ist ein C

-Diffeomorphismus. Die Abbildung Φ

◦ Φ

heißt Kartenwechsel.

Beweis: Nach Konstruktion gilt W

⊂ T

f¨ ur j = 1, 2, und Φ

◦Φ

: W

→ W

ist bijektiv.

Wir zeigen, dass W

offen ist. Wir fassen M ∩U

als metrischen Raum auf (mit der Metrik aus dem R

). Die Menge M ∩ U

∩ U

ist offen relativ zu M ∩ U

, Φ

: T

→ M ∩ U

ist stetig, also ist W

als Urbild einer offenen Menge offen. Wir zeigen nun, dass Φ

◦ Φ

ein C

-Diffeomorphismus ist. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass Φ

◦ Φ

∈ C

(W

; R

). Sei c

∈ W

beliebig. Wir setzen a = Φ

(c

). Gem¨ aß Satz 2.3(ii) w¨ ahlen wir eine offene Menge U ⊂ U

∩U

mit a ∈ U, eine offene Menge V ⊂ R

und einen C

-Diffeomorphismus F : U → V mit F (M ∩ U) = V ∩ E

. Wir setzen

W ˆ

= Φ

(M ∩ U) .

Dass ˆ W

offen ist, zeigt man genauso wie oben f¨ ur W

. Es ist

F ◦ Φ

: ˆ W

→ R

, F ◦ Φ

= (g

, . . . , g

, 0, . . . , 0) ,

F ◦ Φ

: ˆ W

→ R

, F ◦ Φ

= (h

, . . . , h

, 0, . . . , 0) .

Sei g = (g

, . . . , g

), h = (h

, . . . , h

). Es ist g : ˆ W

→ R

, h : ˆ W

→ R

und rang J

= n , rang J

= k ,

also

rang J

= k , also

rang J

= rang J

= k .

Hieraus folgt mit dem Satz ¨ uber inverse Funktionen, dass es Umgebungen ˜ W

⊂ W ˆ

von c

= Φ

(a) gibt, so dass

g : ˜ W

→ g( ˜ W

) , h : ˜ W

→ h( ˜ W

) , C

-Diffeomorphismen sind, und dass

Φ

◦ Φ

= h

◦ g , auf ˜ W

.

Da c

∈ W

beliebig war, folgt Φ

◦ Φ

∈ C

(W

; R

). 2 Satz 2.5 besagt, dass alle Kartenwechsel C

-Diffeomorphismen sind. Hieraus l¨ aßt sich eine allgemeinere Definition einer Mannigfaltigkeit M gewinnen, die nicht mehr von vornehe- rein als Teilmenge des R

gegeben ist. Solche differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden in der Differentialtopologie untersucht. (Dort wird ¨ ublicherweise die Bezeichnung “Karte”

f¨ ur die Inverse Φ

, nicht f¨ ur Φ wie in Definition 2.4, verwendet.)

3 Volumenintegrale

In der Vektoranalysis spielen “Volumenintegrale” und “Oberfl¨ achenintegrale” eine große Rolle. In diesem Abschnitt befassen wir uns mit Volumenintegralen.

Volumen. Sei Q ein Quader im R

. Sein Volumen ist definiert als vol (Q) =

n

Y

i=1

(b

− a

) , falls Q =

n

Y

i=1

(a

, b

) . (3.1) Die Maßtheorie befasst sich mit der Frage, welche Teilmengen des R

man messen kann, und welches Maß man ihnen zuordnen kann. Will man Quadern das Volumen aus (3.1) zuordnen, so gelangt man zum Lebesgue-Maß; diejenigen Ω ⊂ R

, f¨ ur die das Volumen definiert ist, heißen messbar. F¨ ur n¨ ahere Einzelheiten sei auf die Vorlesung ¨ uber Maß- und Integrationstheorie verwiesen. Dort wird auch gezeigt, dass f¨ ur messbare Mengen gilt vol (a + Ω) = vol (Ω) , a ∈ R

, (3.2) vol (Ω

∪ Ω

) = vol (Ω

) + vol (Ω

) − vol (Ω

∩ Ω

) . (3.3) Wir ben¨ otigen auch das folgende Ergebnis aus der Maßtheorie.

Satz 3.1 Sei T : R

→ R

linear. Dann gilt

vol (T (Ω)) = | det(T )|vol (Ω) (3.4)

f¨ ur alle messbaren Ω ⊂ R

. 2

Beispielsweise ergibt sich f¨ ur T = αI , I die Identit¨ at und α > 0, dass vol (αΩ) = α

vol (Ω) .

Volumenintegral. In der Analysis 2 wurde das Integral Z

Q

f(x) dx

definiert f¨ ur den Fall, dass Q ⊂ R

ein Quader und f gleichm¨ aßiger Grenzwert von Treppenfunktionen ist, also unter anderem f¨ ur stetige Funktionen f : Q → R . Legt man das Lebesgue-Integral zugrunde, so ist

Z

Ω

f(x) dx (3.5)

zun¨ achst definiert f¨ ur messbare Ω ⊂ R

und messbare Funktionen f : Ω → [0, +∞] mit f ≥ 0; es kann auch den Wert +∞ annehmen. Falls das Integral endlich ist, heißt f integrierbar. Messbare Funktionen f : Ω → [−∞, +∞] werden zerlegt in Positiv- und Negativteil

f = f

− f

, f

= max{f, 0} , f

= max −f, 0 . Ist |f| integrierbar, so auch f

und f

, und man definiert

Z

Ω

f(x) dx = Z

Ω

f

(x) dx − Z

Ω

f

(x) dx .

F¨ ur n¨ ahere Einzelheiten verweisen wir wieder auf die Maß- und Integrationstheorie, Es gelten die bekannten Rechenregeln zur Linearit¨ at

Z

Ω

(αf + βg)(x) dx = α Z

Ω

f (x) dx + β Z

Ω

g(x) dx , (3.6)

Monotonie

f ≤ g ⇒

Z

Ω

f (x) dx ≤ Z

g(x) dx , (3.7)

Absch¨ atzung

Z

Ω

f (x) dx

≤ Z

Ω

|f (x)| dx , (3.8)

und Zerlegung Z

Ω1∪Ω₂

f (x) dx = Z

Ω1

f (x) dx + Z

Ω2

f (x) dx − Z

Ω1∩Ω₂

f (x) dx . (3.9) Iterierte Integrale, Satz von Fubini. Mit dem Satz von Fubini wird die Berechnung von mehrdimensionalen Integralen auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zur¨ uck- gef¨ uhrt. In der Analysis 2 wird behandelt:

Satz 3.2 Sei Q = Q

i=1

[a

, b

], f : Q → R stetig. Dann gilt Z

Q

f (x) dx = Z

a1

· · · Z

an

f(x

, . . . , x

) dx

· · · dx

, (3.10) und die Integrationsreihenfolge kann beliebig vertauscht werden.

F¨ ur eine allgemeine Formulierung zerlegen wir den R

in zwei Komponenten R

= R

× R

= {(x, y) : x ∈ R

, y ∈ R

}

und betrachten messbare Mengen U ⊂ R

, V ⊂ R

. Satz 3.3 (Fubini)

Sei f : U × V → [−∞, +∞] messbar, sei |f| integrierbar. Dann ist die Funktion x 7→

Z

V

f(x, y) dy (3.11)

integrierbar auf U , und es gilt Z

U×V

f(x, y) d(x, y) = Z

U

Z

V

f (x, y ) dy

dx . (3.12)

2 Vertauscht man die Rollen von U und V , so erh¨ alt man

Z

U×V

f(x, y) d(x, y) = Z

V

Z

U

f (x, y ) dx

dy . (3.13)

Als Anwendung betrachten wir folgende Situation. Sei n = 2, p = q = 1, und Ω habe die Form

Ω = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} . (3.14) Wir setzen U = [a, b], V = R . Dann ist

Z

Ω

f(x, y) d(x, y) = Z

U×V

1

(x, y)f (x, y) d(x, y) = Z

a

Z

f(x, y) dy dx . (3.15) Im Falle f = 1 ergibt sich das Prinzip von Cavalieri

vol (Ω) = Z

a

vol (Ω

) dx , Ω

= {y : ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} . (3.16) Als Beispiel betrachten wir die Fl¨ ache ( = zweidimensionales Volumen) der oberen H¨ alfte des Einheitskreises,

Ω = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ √

1 − x

} . Es ist

vol (Ω) = Z

Ω

1 d(x, y) = Z

−1

Z

√1−x²

0

1 dy dx = Z

−1

√

1 − x

dx = π 2 .

Substitution, Transformationsformel. Im Eindimensionalen haben wir die Substitu- tionsregel

Z

f (y) dy = Z

a

f(T (x))T

(x) dx . (3.17) Die sogenannte Transformationsformel verallgemeinert (3.17) ins Mehrdimensionale, sie lautet

Z

T(U)

f(y) dy = Z

U

f(T (x))| det DT (x)| dx . (3.18) Der Betrag taucht in (3.17) nicht auf, weil die linke Seite dort durch die Unterscheidung von unterer und oberer Grenze eine Orientierungsinformation enth¨ alt,

Z

f (y) dy = − Z

T(b)

f (y) dy .

F¨ ur den Spezialfall f = 1, T lineare Abbildung, ist (3.18) bereits in Satz 3.1 enthalten, da dann DT (x) = T gilt f¨ ur alle x ∈ U . Der Fall einer nichtlinearen Abbildung T wird durch Approximation darauf zur¨ uckgef¨ uhrt, und zwar folgendermaßen.

Sei P = [a−d, a+d] ein achsenparalleler Quader mit Mittelpunkt a ∈ R

und Seitenl¨ angen 2d

, d ∈ R

. Wir wollen das Bild T (P ) unter einer differenzierbaren Abbildung T durch das Bild unter der Linearisierung DT (a) approximieren. F¨ ur ε ∈ [0, 1] betrachten wir die Quader

Y

= T (a) + (1 − ε)DT (a)(P − a) ,

Y

= T (a) + (1 + ε)DT (a)(P − a) . (3.19)

Satz 3.4 Seien U, V ⊂ R

offen, T : U → V ein C

-Diffeomorphismus, sei Q ⊂ U ein achsenparalleler Quader. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f¨ ur alle Quader P = [a − d, a + d] ⊂ Q mit kdk ≤ δ gilt

Y

⊂ T (P ) ⊂ Y

. (3.20)

Beweis: Sei ε > 0. Wir definieren das Restglied

r(x, a) = T (x) − T (a) − DT (a)(x − a) ,

ρ(x, a) = DT (a)

r(x, a) , x, a ∈ Q . (3.21) Rechte Inklusion: Sei P = [a − d, a + d], es gelte

ρ(x, a) ∈ ε(P − a) , f¨ ur alle x ∈ P . (3.22) Dann gilt f¨ ur alle x ∈ P

T (x) = T (a) + DT (a)[x − a + ρ(x, a)] ∈ T (a) + DT (a)[(1 + ε)(P − a)] , also T (P ) ⊂ Y

.

Linke Inklusion: Zu y ∈ Y

konstruieren wir ein x ∈ P mit y = T (x) durch eine geeignete Fixpunktiteration. Es gilt

y = T (x) ⇔ y = T (a) + DT (a)[x − a + ρ(x, a)]

⇔ x = a − ρ(x, a) + DT (a)

(y − T (a)) =: S(x) .

Wir wollen zeigen, dass S : P → P eine Kontraktion ist. Da y ∈ Y

, gilt f¨ ur jedes x ∈ P DT (a)

(y − T (a)) ∈ (1 − ε)(P − a) ,

also unter Verwendung von (3.22), da −(P − a) = P − a,

S(x) ∈ a + ε(P − a) + (1 − ε)(P − a) ⊂ P . Weiterhin gilt

DS(x) = −DT (a)

◦ ∂

r(x, a) = −DT (a)

◦ [DT (x) − DT (a)] , also

kDS(x)k ≤ kDT (a)

k · kDT (x) − DT (a)k . (3.23) Aus dem Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen folgt, dass S eine Kontraktion ist, falls

kDS(x)k ≤ 1

2 , f¨ ur alle x ∈ P . (3.24)

Aus der Kompaktheit von Q, der Stetigkeit von DT

sowie der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von DT und r folgt nun, dass es ein δ > 0 gibt, so dass (3.22) und (3.24) gelten f¨ ur alle

P wie verlangt, und damit die Behauptung. 2

Satz 3.5 Seien U, V ⊂ R

offen, T : U → V ein C

-Diffeomorphismus, sei Q ⊂ U ein achsenparalleler Quader. Dann gilt

vol (T (Q)) = Z

Q

| det DT (x)| dx . (3.25)

Beweis: Sei ε > 0, sei Z

eine Zerlegung von Q in hinreichend kleine Quader P , so dass alle P ∈ Z

die Bedingung

Y

⊂ T (P ) ⊂ Y

in Satz 3.4 erf¨ ullen. Aus Satz 3.1 folgt, dass f¨ ur das Volumen der Parallelotope Y

und Y

gilt

vol (Y

) = (1 − ε)

| det DT (a

)|vol (P ) ,

vol (Y

) = (1 + ε)

| det DT (a

)|vol (P ) , (3.26) wobei a

den Mittelpunkt von P bezeichnet. Es folgt

(1 − ε)

| det DT (a

)|vol (P ) ≤ vol (T (P )) ≤ (1 + ε)

| det DT (a

)|vol (P ) . (3.27) Wir definieren die Funktionen g

: Q → R durch

g

(x) = X

P∈Zε

1

(x) · (1 ± ε)

| det DT (a

)|

Es gilt dann wegen (3.27) Z

Q

g

(x) dx = X

P∈Zε

Z

P

g

(x) dx ≤ X

P∈Zε

vol (T (P )) ≤ X

P∈Zε

Z

P

g

(x) dx

= Z

Q

g

(x) dx .

(3.28)

Da x 7→ | det DT (x)| auf dem Kompaktum Q gleichm¨ aßig stetig ist, konvergieren g

(x) und g

(x) gegen | det DT (x)| f¨ ur ε → 0. Da g

(x) und g

(x) außerdem gleichm¨ aßig in ε beschr¨ ankt sind, folgt mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue

lim

Z

Q

g

(x) dx = Z

Q

| det DT (x)| dx . Zusammen mit (3.28) folgt die Behauptung, da P

P

vol (T (P )) = vol (T (Q)). 2 Satz 3.5 und seinen Beweis kann man als den Beitrag der Analysis zum Beweis der Trans- formationsformel auffassen.

Satz 3.6 (Transformationsformel)

Seien U, V ⊂ R

offen, T : U → V ein C

-Diffeomorphismus, sei f : T (U ) → [−∞, ∞]

und |f| integrierbar. Dann ist die Funktion x 7→ f (T (x))| det DT (x)| integrierbar auf U , und es gilt

Z

T(U)

f(y) dy = Z

U

f(T (x))| det DT (x)| dx . (3.29)

Beweis: Dieser wird mit Argumenten der Maßtheorie gef¨ uhrt. Siehe etwa M. Brokate, G.

Kersting, Maß und Integral, Seite 106 und 107. 2

Die Substitutionsregel (= Transformationsformel) wird oft dann angewendet, wenn T die Rolle einer Koordinatentransformation spielt. Wir betrachten Polarkoordinaten in der Ebene. Sie sind gegeben durch

T (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) , T : [0, ∞) × [0, 2π] → R

. (3.30) Wir wenden Satz 3.6 an mit U = (0, M ) × (0, 2π) und f : T (U ) → R . Wir erhalten

Z

T(U)

f(x, y) d(x, y) = Z

0

Z

f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dϕ dr . (3.31) Die Situation des ”uneigentlichen Integrals” (unbeschr¨ anktes Integrationsgebiet bzw. Pol- stellen von f ) wird in Satz 3.6 gleich miterfasst, etwa U = (0, ∞) × (0, 2π), T (U ) = R

\ {(x, 0) : x ≥ 0},

Z

−∞

Z

−∞

f(x, y) dx dy = Z

0

Z

f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dϕ dr . (3.32)

Beispiel 3.7

1. Sei f : R

→ R rotationssymmetrisch, das heißt, f (x, y) = g( p

x

+ y

) , g : R

→ R . Wegen (f ◦ T )(r, ϕ) = g(r) wird die Formel (3.32) zu

Z

R²

f (x, y) dx dy = Z

0

Z

g(r)r dϕ dr = 2π Z

0

g(r)r dr .

2. Fl¨ ache des Kreises K

um 0 mit Radius M : Es ist g = 1

, vol (K

) =

Z

KM

1 d(x, y) = 2π Z

0

r dr = πM

. 3. F¨ ur

f (x, y) = e

erhalten wir

g(r) = e

, also

Z

−∞

Z

−∞

e

dx dy = 2π Z

0

re

dr = −πe

r=∞

r=0

= π . Da andererseits

Z

−∞

Z

−∞

e

dx dy = Z

−∞

e

dx

, folgt außerdem

Z

−∞

e

dx = √

π .

Wir betrachten nun Kugelkoordinaten im Raum. Sie sind gegeben durch

T (r, θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) . (3.33) Der Nordpol (0, 0, r) entspricht dem Winkel θ = 0, der S¨ udpol (0, 0, −r) dem Winkel θ = π, der ¨ Aquator mit den Vektoren (r cos ϕ, r sin ϕ, 0) dem Winkel θ = π/2. Falls wir als Definitionsbereich f¨ ur die Integration

T : U = (0, ∞) × (0, π) × (0, 2π) → R

. (3.34) setzen, so ist

R

\ T (U ) = {(x, 0, z) : x ≥ 0, z ∈ R } eine (Lebesgue-) Nullmenge im R

, und es gilt

det DT (r, θ, ϕ) = r

sin θ . (3.35) Die Substitutionsregel, auf dem gesamten R

formuliert, wird zu

Z

−∞

Z

−∞

Z

−∞

f (x, y, z) dx dy dz = Z

0

Z

Z

f (T (r, θ, ϕ))r

sin θ dθ dϕ dr . (3.36)

Beispiel 3.8

1. Sei f : R

→ R rotationssymmetrisch, das heißt, f (x, y, z) = g( p

x

+ y

+ z

) , g : R

→ R . Dann ist (f ◦ T )(r, θ, ϕ) = g(r), also

Z

R³

f (x, y, z) d(x, y, z) = Z

0

Z

Z

g(r)r

sin θ dθ dϕ dr = 2π Z

0

sin θ dθ Z

0

g(r)r

dr

= 4π Z

0

g(r)r

dr . (3.37)

2. Volumen der Kugel K

um 0 mit Radius R: Hier ist g = 1

, vol (K

) = 4π

Z

r

1

(r) dr = 4π Z

0

r

dr = 4 3 πR

.

3. Gravitationspotential der Kugel K

mit rotationssymmetrischer Dichte ρ: Das Po- tential im Punkt P = (0, 0, a) oberhalb der Kugel (a > R) ist gegeben durch

u(P ) = γ Z

KR

ρ(kxk

) kx − P k

dx ,

wobei γ die Gravitationskonstante ist. Wir substituieren x = T (r, θ, ϕ) und erhalten

ρ(T (r, θ, ϕ)) = ρ(r) ,

sowie

kT (r, θ, ϕ) − P k

= r

sin

θ cos

ϕ + r

sin

θ sin

ϕ + (a − r cos θ)

= r

sin

θ + a

− 2ar cos θ + r

cos

θ

= a

+ r

− 2ar cos θ . Es folgt also

u(P ) = γ Z

KR

ρ(kxk

)

kx − P k

dx = γ Z

0

Z

Z

ρ(r)r

sin θ

√ a

+ r

− 2ar cos θ dθ dϕ dr

= 2πγ Z

0

ρ(r)r

Z

0

sin θ

√ a

+ r

− 2ar cos θ dθ dr . Substitution t = − cos θ, dt = sin θ dθ ergibt

Z

sin θ

√ a

+ r

− 2ar cos θ dθ = Z

−1

√ 1

a

+ r

+ 2art dt = 1 ar

√

a

+ r

+ 2art

t=1

t=−1

= 1 ar

p (a + r)

− p

(a − r)

= 2 a , also

u(P ) = 4πγ a

Z

ρ(r)r

dr . Andererseits gilt f¨ ur die Gesamtmasse der Kugel

M = Z

KR

ρ(x) dx = 4π Z

0

1

(r)ρ(r)r

dr = 4π Z

0

ρ(r)r

dr ,

also

u(P ) = γM a .

Als Ergebnis erhalten wir: Das von der Kugel herr¨ uhrende Gravitationsfeld ist au-

ßerhalb der Kugel dasselbe wie das von einer Punktmasse M im Nullpunkt erzeugte

Feld.

4 Das Oberfl¨ achenintegral

Thema dieses Kapitels ist das Integral Z

M

f (ξ) dS(ξ)

einer Funktion f, die auf einer Mannigfaltigkeit M ⊂ R

definiert ist. Dabei soll dim(M ) = k < n und das Integral ein k-dimensionales Integral sein. Im Spezialfall f = 1 soll sich der k-dimensionale Inhalt

vol

(M ) = Z

M

1 dS(ξ)

von M ergeben. Eine typische Situation ist M = ∂Ω, wobei Ω ⊂ R

offen ist, mit k = n−1, M ist die “Oberfl¨ ache” von Ω, daher die Bezeichnung “Oberfl¨ achenintegral”. Im Falle n = 3 ist k = 2 und ∂Ω zweidimensional, vol

(M ) ist dann der Fl¨ acheninhalt von M . Andere in Anwendungen h¨ aufig auftretende F¨ alle sind k = 1 mit n = 3 oder n = 2.

Inhalt eines niederdimensionalen Parallelotops. Wir wollen den k-dimensionalen In- halt eines von k Vektoren aufgespannten Parallelotops im R

betrachten. F¨ ur w

, . . . , w

∈ R

setzen wir

P [w

, . . . , w

] = n X

i=1

λ

w

, 0 ≤ λ

≤ 1 o

. (4.1)

Im Falle k = n ist das Parallelotop “volldimensional”. Sei T : R

→ R

die lineare Abbildung mit T e

= w

f¨ ur alle i. Dann ist

P [w

, . . . , w

] = T (P [e

, . . . , e

]) = T ([0, 1]

) , und es gilt nach Satz 3.1

vol (P [w

, . . . , w

]) = | det T | = | det B | , (4.2) wobei B ∈ R

die Matrix mit den Spalten w

, . . . , w

ist. Sei nun k < n, seien v

, . . . , v

∈ R

und A ∈ R

die Matrix mit den Spalten v

, . . . , v

. Wir betrachten zun¨ achst den Spezialfall

v

= w

0

, w

∈ R

. (4.3)

Sinnvollerweise soll gelten

vol

(P [v

, . . . , v

]) = vol (P [w

, . . . , w

]) . (4.4) Nun ist A

A ∈ R

und

A = B

0

, A

A = B

0 B

0

= B

B , und weiter

det(A

A) = det(B

B) = det(B

) det(B) = (det B)

, also

p det(A

A) = | det B| = volP [w

, . . . , w

] .