Übung 1.1 (Elementare Algebra). Man löse die folgenden Gleichungen nach der Variable a auf, und vereinfache.

1 Übungszettel

Es bezeichne R die reellen Zahlen und Z die ganzen Zahlen.

Übung 1.1 (Elementare Algebra). Man löse die folgenden Gleichungen nach der Variable a auf, und vereinfache.

(i)

b

d

ab + ac + cd b + c = d.

(ii)

1

1 + 1

1 + 1 1 + a

= 2011b + 2012c.

Übung 1.2 (Gleichungen). Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in x über R .

(i) 3x + 5 = 7,

(ii) 11x

+ 10x = 2011, (iii) x

+ 1 = 0,

(iv) x

+ 1 = 2x,

(v) x

+ 6x

+ 11x + 6 = 0, (vi) x

+ 4x

+ 6x

+ 4x = − 1.

Übung 1.3 (Betragsfunktion). Untersuche die Betragsfunktion |·| : R → R , definiert durch

| x | =

( x falls x ≥ 0,

− x falls x < 0.

(i) Skizziere die Funktion.

(ii) Verifiziere die Dreiecksungleichung

| a + b | ≤ | a | + | b | , für alle a,b ∈ R .

Übung 1.4 (Ungleichungen). Man bestimme für jede der folgenden Ungleichungen die Menge aller x ∈ R die diese erfüllen:

(i) x + 3 ≤ 0, (ii) | x + 3 | ≤ 0, (iii) ¯

¯

1−x

¯

¯ ≤ 2,

(iv) x(2 − x) ≤ 1,

(v) x(4 − x) > 4,

(vi) x

≤ 1.

Übung 1.5 (Ein paar Funktionen). Man skizziere die folgenden Funktionen f : R → R , und bestimme deren Nullstellen:

(i) (Lineare Funktion) f (x) = 3x + 4,

(ii) (Quadratische Funktion) f (x) = x

− 2x + 1,

(iii) (Größte-ganze-Zahl Funktion) f (x) = b x c : = max{m ∈ Z : m ≤ x}, (iv) (Sägezahnfunktion) f (x) = x − b x c .

Übung 1.6 ( B Elementare Ungleichungen). Man zeige die Richtigkeit folgender Un- gleichungen:

(i) Die arithmetische-geometrische Mittelungleichung p ab ≤ a + b

2 , für alle a,b ≥ 0.

(ii) Man zeige, dass für alle x > 0 gilt x + 1

x ≥ 2.

Übung 1.7 (Mengenoperationen). Man bilde jeweils die Vereinigung A ∪ B, den Durchschnitt A ∩ B und die Differenz A\B folgender Mengen:

(i) A = {3, 4, 5, 2, 1}, B = {5, 3, 4, 6}, (ii) A = {1, 2, . . . , 2011}, B = ; ,

(iii) A = [0, 1], B = [1, 2], (iv) A = [0, 1], B = (1, 2].

Übung 1.8 (Gleichheit von Mengen). Sind folgende Mengen A und B gleich?

(i) A = {x

: x ∈ R }, B = [0, ∞ ), (ii) A = {1, 2, 3}, B = {{1, 2, 3}}.

Begründe warum.

2 Übungszettel

Übung 2.1. Welche der skizzierten Kurven stellen einen Funktionsgraphen dar (genauer:

wenn die y -Koordinate jedes Kurvenpunkts als Funktion der x-Koordinate aufge- fasst wird)?. Geben Sie passende Definitionsmengen und die dazugehörigen Bild- mengen an! Bei welchen Kurven kann man "‘Stücke"’ finden, die für eine geeignete Wahl des Definitionsbereiches oder Wertevorrates einen Funktionsgraphen darstellen?

Übung 2.2 (Verknüpfen von Funktionen). Gib sinnvolle Definitionsbereiche für die explizit gegebenen Funktionen f und g an und bilde die Verknüpfung f ◦ g, die definiert ist durch x 7→ f (g (x)), und bestimme auch deren Definitionsbereiche.

(i) f (x) =

, g(x) = sin(x), (ii) f (z) = z

, g(x) = p x,

(iii) f (x) = 3x + 4, g (x) = x

, (iv) f (x) = x

+ 2x + 1, g (x) = x − 1.

Übung 2.3 (Implizit gegebene Funktionen). Bestimme jeweils eine reellwertige Funk- tion Y in Abhängigkeit von x, die implizit gegeben seien durch die folgenden Rela- tionen in x und y und gib sinnvolle Definitionsmengen und Wertebereiche an.

(i) y

= x

,

(ii) x = y

+ p y + q, für p, q ∈ R ,

(iii) x =

,

(iv) ax

+ b y

= R

für a,b,R > 0.

Übung 2.4 (Modellierung von Heizkurven). Eine Heizkurve beschreibt den Zusam- menhang zwischen der Temperatur im Heizkreislaufsystem (Vorlauftemperatur) und der Außentemperatur des Hauses. Die Steilheit der Heizkurve gibt an, um wie viel Grad sich die Vorlauftemperatur erhöhen soll, wenn die Außentemperatur um 1 Grad Celsius sinkt. Weiters gibt die Parallelverschiebung die Vorlauftemperatur an, die die Heizung im Normalbetrieb (20 Grad Außentemperatur) hat.

(i) Gib eine Funktion f an, die die Vorlauftemperatur in Abhängigkeit von der Außentemperatur beschreibt. Wir nehmen an, die Steilheit der Heizkurve bei Absinken der Außentemperatur sei konstant, und die Steilheit s sowie die Par- allelverschiebung t seien gegeben.

(ii) Gegeben seien die Messpunkte f (20) = 36 und f (0) = 60. Bestimme daraus die

Parameter s und t.

(iii) Aufgrund einer “besseren” Heizung verdoppelt sich die Steilheit der Heizkurve.

Gebe eine neue Funktion g an die durch Anwenden einer elementaren Manip- ulation auf die Funktion f entstanden ist, die die neue Heizkurve beschreibt.

(iv) Da die Heizung jetzt stärker ist, müssen Anpassungen an der Parallelverschiebung vorgenommen werden, damit die Vorlauftemperatur bei 0 Grad immer noch 60 Grad beträgt. Bestimme durch elementare Manipulationen an g eine Funktion h, für die dies gilt.

Übung 2.5 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität). Zur Wiederholung: Wir sagen eine Funktion f : X → Y sei injektiv, wenn für alle x

,x

∈ X gilt, dass aus f (x

) = f (x

) immer x

= x

folgt. Weiters nennen wir f surjektiv, wenn f (X ) : = {f (x) ∈ Y | x ∈ X} = Y gilt. (Vergleiche diese Definition mit der Definition in der Vorlesung) Wir sagen f sei bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Sind die folgenden Funk- tionen injektiv, surjektiv oder bijektiv?

(i) f : R → R , f (x) = x

, (ii) f : R → [ − 1, 1], f (x) = sin(x),

(iii) f : Z → Z , f (x) = 3x, (iv) f : R → R , f (x) = x − b x c .

Falls die Funktion nicht bijektiv ist: Kann man durch Veränderung des Definitions- und Wertebereichs Bijektivität erreichen? Gib in diesem Fall die Umkehrfunktion an.

Übung 2.6 ( B Anzahl von Funktionen). Seien X ,Y endliche Mengen. Wie viele

Funktionen f : X → Y gibt es?

3 Übungsblatt

Übung 3.1 (Ungleichungen zum Üben). Welche x ∈ R erfüllen die folgenden Un- gleichungen?

(i) ¯

¯

3x+2

¯

¯ ≥ 1, (ii)

≥

.

Übung 3.2 (Eigenschaften der Betragsfunktion). Es bezeichne erneut |·| : R → R die Betragsfunktion definiert durch

| x | =

( x falls x ≥ 0,

− x falls x < 0.

Benutze diese Definition, um folgende Eigenschaften nachzuweisen:

(i) | x | = max ( − x,x) für alle x ∈ R , (ii) | x | = p

x

für alle x ∈ R ,

(iii) | ab | = | a | | b | für alle a, b ∈ R , (iv) | a − b | ≥ || a | − | b || für alle a,b ∈ R . Übung 3.3 (Inneres und äußeres Produkt). Man bilde das innere Produkt a · b und das äußere Produkt a × b folgender Vektoren:

(i) a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), (ii) a = (0, 1, 0), b = (1, 0, 0),

(iii) a = (1, 1, 1), b = (3, 3, 3), (iv) a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 0).

Übung 3.4 (Lineare Gleichungssysteme und Vektoren). Seien a,b,c,d ∈ R . Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

ax + b y = 0 (1)

c x + d y = 0. (2)

Gib alle Lösungen (x, y) ∈ R

in Abhängigkeit von a, b,c,d an. Wann gibt es eine ein- deutige, mehrere oder sogar gar keine Lösung? Man gebe für jeden auftretenden Fall ein konkretes Beispiel an.

Übung 3.5 (Geraden). Sei n ∈ N . Man nennt eine Funktion g : R → R

eine “Gerade”, wenn es Vektoren v,w ∈ R

gibt, sodass g(t) = tv + w für alle t ∈ R gilt, und man nennt x einen Schnittpunkt von zwei Geraden g

,g

falls es s, t ∈ R gibt, sodass g

(s) = g

(t) = x gilt.

Gegeben seiden die Geraden g

(t ) = (2, 1)t + (2, 3) und g

(t) = ( − 1, 1)t + ( − 3, 2).

Bestimme einen Schnittpunkt der beiden Geraden. Gibt es eine Verbindung mit dem vorherigen Beispiel?

Übung 3.6 (Koordinatensysteme). Seien die Vektoren v

= (1, 1, 1), v

= (0, 2, 2) und v

= (0, 0, 3) gegeben. Stelle v = (1, 2, 3) als Linearkombination von v

, v

, und v

dar.

Übung 3.7 (Vektorwertige Abbildungen). Sei ϕ ∈ R fest. Die Abbildung Q

sei defi- niert durch

Q

: R

→ R

, µ v

v

¶ 7→

µ cos( ϕ )v

+ sin( ϕ )v

− sin( ϕ )v

+ cos( ϕ )v

¶

.

(a) Wende die Abbildung Q

auf die Vektoren v

= (1, 0), v

= (0, 1) und v

= (0, 0) für mindestens 3 verschiedene Parameter ϕ ∈ R an und zeichne die Bilder in einem Koordinatensystem ein. Versuche, eine geometrische Deutung der Abbil- dung Q

zu finden.

(b) Zeige die Invarianz des Betrages unter jeder dieser Abbildungen, also dass | x | =

¯ ¯Q

(x) ¯

¯ für alle x ∈ R

und alle ϕ ∈ R gilt.

Übung 3.8 (Lissajous Kurven). Gegeben seien die Abbildungen c

,c

: R → R

, de- finiert durch c

(t) = (2 cos(t), 3 sin(t)) und c

(t) = (3 sin(t), 3 cos(3t)). Skizziere den Graphen von c

, das heißt die Menge

graph(c

) : = {x ∈ R

| x = (t, 2 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ R }

und das Bild von c

, also c

( R ) = {x ∈ R

| x = c

(t), t ∈ R }.

4 Übungszettel

Übung 4.1 (Stetige Funktionen). Zeichne die Intervalle ein, auf denen folgende Funk- tionen stetig sind:

Übung 4.2 (ε-δ Kriterium für Stetigkeit). Für eine gegebene Funktion f : R → R finde für jeden Punkt x

∈ R und für jede positive Zahl ε > 0 eine positive Zahl δ > 0, sodass für alle x ∈ R, die | x − x

| < δ erfüllen, immer � � f (x) − f (x

) � � < ε folgt.

(i) f (x) = x

, (ii) f (x) = | x|.

Übung 4.3 (Grenzwerte von Funktionen). Berechne folgende Grenzwerte, falls diese existieren:

(i) lim

x→−1 x²−1

x+1

, (ii) lim

x→1

x³+x²−x−1 x²−1

,

(iii) lim

x→0 1−�

1−x² x²

, (iv) lim

x→0 x²

|x|

.

Übung 4.4 (Stetiges Ergänzen). Bestimme die Definitionsbereiche und die Mengen der Stetigkeitspunkte der folgenden Funktionen:

(i) f (x) =

, (ii) f (x) =

.

In welchen Punkten außerhalb ihres Definitionsbereiches kann die jeweilige Funk-

tion stetig ergänzt werden? Gib diese stetigen Erweiterungen an.

Übung 4.5 (�Hintereinanderausführung stetiger Funktionen). Seien f : R → R und g : R → R stetige Funktionen. Zeige, dass die Hintereinanderausführung h = f ◦ g ebenfalls eine stetige Funktion ist.

Übung 4.6 (�Funktionen, die nur in einem Punkt stetig sind). Wir bezeichnen mit Q die Menge der rationalen Zahlen. Zeige: Die Funktion f : [ − 1,1] → [ − 1,1] definiert durch

f (x ) =

� 0 x ∈ [−1,1] \ Q x x ∈ [ − 1,1] ∩ Q

ist stetig an der Stelle 0. Ist f in anderen Punkten stetig? Hinweis: Die Menge Q liegt dicht in R, d.h. für jede reelle Zahl x ∈ R gibt es in jeder Umgebung um x ein q ∈ Q.

Genauer: Für ein beliebiges x ∈ R gibt es für jedes beliebig vorgegebene reelle ε > 0 ein q ∈ Q, sodass � � x − q � � < ε ist.

Übung 4.7 (�Stetigkeit und Definitionsbereiche). Ist die Funktion f : [0,1] ∩ Q → R, die definiert ist durch

f (x) =

� 0 x <

1 x ≥

,

stetig? Hinweis:

ist keine rationale Zahl.

5 Übungszettel (zur Vorbereitung auf die Zwischenklau- sur)

Übung 5.1 (Ungleichungen). Man bestimme für jede der folgenden Ungleichungen die Menge aller x ∈ R, die diese erfüllen:

(i)

≥ x + 2, (ii) � �

x

� � ≥ 1.

Übung 5.2 (Elementare Manipulationen). Man gebe eine Folge von geometrischen Transformationen an, mit denen der Graph der Funktion g : R → R, g(x) = 4x

− 4x − 2 aus der Standardparabel (d.h. dem Graphen der Funktion f : R → R, f (x) = x

) gewonnen werden kann.

Übung 5.3 (Umkehrfunktion). Bestimme für die gegebenen Funktionen f : R → R jeweils die Bildmenge und eine Teilmenge X ⊂ R derart, dass die Funktion f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich X injektiv ist und die selbe Bildmenge besitzt.

Ferner gebe man die Umkehrfunktion von f : X → f (X ) an.

(i) f (x) = |x − 2| + 3, (ii) f (x) = x

− 4x + 3.

Übung 5.4 (Visualisierung). Zeichne die Bildmenge folgender Funktionen f : R → R

:

(i) f (t) =

� 2 3

� + t

� 2 1

�

, (ii) f (t) =

� cos(t) sin

(t)

� .

Übung 5.5 (Grenzwerte). Man beweise die folgenden Aussagen mit dem ε−δ−Kriterium:

(i) lim

x→0

x cos(1/x) = 0, (ii) lim

x→1

2x

− 3x + 1 x −1 = 1.

Übung 5.6 (Stetigkeit). Man gebe alle Stellen x ∈ R, an denen die Funktion f : R → R

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 



� 1 − x falls x ≤ −1

x²−3x+2

x²−1

falls x ∈ ( − 1,1)

x 1−�

5x²+x+3

falls x ≥ 1 und x �= 2

1 falls x = 2

stetig ist, sowie alle Unstetigkeiten von f an. Welche Unstetigkeiten sind behebbar?

6 Übungszettel

Übung 6.1 (Ableitungen berechnen). Berechne die ersten Ableitungen folgender Funktionen f mittels Differenzenquotienten und gib die Bereiche in R an, auf de- nen die Funktionen und ihre Ableitungen definiert sind.

(i) f (x) = x

,

(ii) f (x) = x

für n ∈ N

, (iii) f (x) = "

x.

Übung 6.2 (Ableitung des Betrags). Zeige: die Betragsfunktion f : R → R

, f (x) = |x|, besitzt für alle x ∈ R \ {0} eine Ableitung. Was passiert im Punkt x = 0?

Sei ε > 0 eine reelle Zahl. Definiere die Funktion f

durch f

(x) := "

x

+ ε

. Zeige, dass f

auf R wohldefiniert sowie differenzierbar ist und eine Approximation der Betragsfunktion f darstellt, d.h. !

! f (x) − f

(x) !

! ≤ ε für alle ε > 0 und für alle x ∈ R.

Weiters skizziere die Funktionen f , f

in einer Umgebung um den Nullpunkt und vergleiche die Graphen. Betrachte lim

ε→0

f

(x) und lim

ε→0

f

(x) für alle x ∈ R.

Übung 6.3 (Skizzieren einer Ableitung). Versuche anhand der im Graphen gezeich- neten Funktion ihre Ableitung zu skizzieren.

x y

Übung 6.4 (Nicht stetig differenzierbare Funktionen). Man leite die Funktion f : R → R,

f (x) =

"

x

cos(1/x

) x '= 0

0 x = 0

ab und zeige: die Ableitungsfunktion ist nicht stetig.

Übung 6.5 (Kettenregel). Gegeben seien folgende Funktionen f ,g ,h,i : (i) f (x) = sin

(cos(x)),

(ii) g (x) = cos

(1 − x

),

(iii) h(x) = #

1 + tan(x)

$

, (iv) i (x) = #

1 +

$

.

Man bestimme den Definitionsbereich dieser Funktionen, stelle sie jeweils als Hin- tereinanderausführung einfacher Funktionen dar und leite sie dann mit Hilfe der Kettenregel ab.

Übung 6.6 (Quotientenregel). Man leite mit Hilfe von Differenzenquotienten oder

den anderen Ableitungsregeln aus der Vorlesung die Quotientenregel her.

7 Übungszettel

Übung 7.1 (Differenzieren). Man bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen in den Punkten in denen die Funktion definiert ist:

(i) f (x) = sin

!

!

x²+bcos(x)

"

(ii) f (x) = x

cos(a sin(b ! x)

)

(Definitionsbereiche sind nicht anzugeben)

Übung 7.2 (Kurvendiskussion). Finde Definitionsbereich, Extremwerte folgender Funktionen:

(i) f (x) = ! 1 − x

(ii) f (x) = (x

− 1)/(x

+ x + 2)

(iii) f (x) = 1/x.

(iv) f (x) = x − # x $ Erstelle auch eine Skizze und bestimme die Asymptoten ein.

Übung 7.3 (Einfache Optimierungsaufgabe). Gegeben sei ein Kreis mit Radius r > 0.

Gesucht ist ein Rechteck, dessen Ecken auf dem Kreis liegen sollen, mit maximalem Flächeninhalt.

Übung 7.4 (Mittelwertsatz und Ungleichungen). Verifiziere die folgenden Unglei- chungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes:

(i)

≤ x − 1 für x ≥ 3. (ii) sin(x) ≤ x für x ≥ 0.

Bsp: (Skizze) Man will zeigen, dass e

≥ 1 + x für alle x ∈ R ist. Dies ist äquivalent zu e

− 1 − x ≥ 0. Definiere die Funktion f : R → R durch f (x) := e

− 1 − x. Es ist also zu zeigen, dass f (x) ≥ 0 für alle x ∈ R. Man sieht leicht durch Einsetzen, dass f (0) = 0 ist. Also ist die Aussage für x = 0 richtig. Für x > 0 gilt nun e

− x − 1 = f (x) = f (x) − f (0) = f

(ξ)(x −0) für eine Zwischenstelle ξ ∈ (0, x). f

(ξ) = e

− 1 ≥ 0, da ξ > 0 und daher e

≥ 1 ist. Also ist insgesamt auch f

(ξ)x ≥ 0. Der Fall x < 0 kann analog gezeigt werden.

Übung 7.5 (!Mittelwertsatz und Ungleichungen II). Zeige für x, y ≥ 0 und 0 < α < 1

gilt (x + y)

≤ x

+ y

. Hinweis: Betrachte y als feste Konstante, und betrachte die

Funktion x *→ (x + y )

.

8 Übungszettel

Übung 8.1 (Monotonie und Injektivität). Sei f : [a,b] → R streng monoton wach- send. Zeige f ist injektiv.

Übung 8.2 (Noch einmal Umkehrfunktionen). Finde mit Hilfe der Differentialrech- nung die Monotoniebereiche folgender Funktionen:

(i) f (x) = x

(ii) f (x) = x

+ 6x + 3

(iii) f (x) = sin(x) (iv) f (x) = tan(x)

Man gebe auch die Definitionsbereiche an und jeweils ein Intervall, auf dem eine Umkehrfunktion existiert.

Übung 8.3 (BSandwich Theorem). Sei x

∈ R, und weiters gebe es ein M > 0 und Funktionen f ,g ,h : (x

− M,x

+ M) → R mit f (x ) ≤ g(x) ≤ h(x) für alle x ∈ (x

− M, x

+ M). Zeige: Wenn lim

x→x0

f (x) und lim

x→x0

h(x) existieren, und lim

x→x0

f (x) = lim

x→x0

h(x) ist, dann existiert auch lim

x→x0

g(x ), und es gilt

x

lim

g(x) = lim

x→x₀

f (x) = lim

x→x₀

h(x).

Übung 8.4 (Grenzwerte und der Mittelwertsatz). Berechne folgende Grenzwerte mit Hilfe des Mittelwertsatzes:

(i) lim

x→0 sin(x)

x

(ii) lim

x→0 1−cos(x)

x

Übung 8.5 (Ableitungen von Umkehrfunktionen). Man zeige die Umkehrregel: Sei f : (a,b) → (c, d) streng monoton und stetig, so dass die Umkehrfunktion f

ex- istiert. Weiters sei f differenzierbar auf (a,b), und f

sei differenzierbar auf (c ,d).

Ist in x ∈ (a,b) die Ableitung f

(x) 6= 0, so gilt ( f

)

(y ) = 1

f

(x) = 1 f

(f

(y )) . In Leibniz’scher Notation heißt das

d y d x = 1

d x d y

. Hinweis: Man verwende die Kettenregel.

Übung 8.6 (Ableitungen von Umkehrfunktionen II). Mit Hilfe der Umkehrregel bilde man die Ableitungen folgender Funktionen:

(i) x 7→ p x (ii) arcsin

(iii) arccos (iv) arctan

Man gebe dabei an, wie die Umkehrfunktion definiert wurde.

Übung 8.7 (Konvexität und Minima). Sei f : [a,b] → R stetig und strikt konvex. Zeige

dass f auf [a,b] genau ein Minimum besitzt. Hinweis: Man nehme an es gäbe zwei

Minima.

9 Übungszettel

Übung 9.1 (Extremwertaufgaben).

(i) Gegeben seien n reelle Zahlen x

,...,x

. Man bestimme eine reelle Zahl x so, dass die Summe der quadrierten Differenzen von x zu den gegebenen Zahlen (d.h. der Ausdruck �

i=1

(x − x

)

) minimal wird.

(ii) Gegeben seien n Punkte (x

; y

),...,(x

; y

) im R

. Man bestimme eine reelle Zahl a so, dass die Summe der quadrierten Abstände in y -Richtung der gege- benen Punkte von der Geraden y = ax minimal wird. Man veranschauliche den Sachverhalt auch anhand einer Skizze.

Übung 9.2 (Newtons Methode). Man begründe, warum die Gleichung x

+ x

− 2x − 1 = 0 genau eine positive Lösung besitzt, und bestimme diese mit Hilfe des Newton- verfahrens. Als Startwert verwende man x

= 2, und rechne bis auf ein Tausendstel genau. Es dürfen elektronische Hilfsmittel verwendet werden.

Übung 9.3 (Verallgemeinerung des Heronschen Algorithmus). Analog zum Heron- schen Algorithmus entwickle man aus dem Newtonverfahren einen Iterationsalgo- rithmus zum Berechnen der n-ten Wurzel einer positiven rellen Zahl b.

Für den Spezialfall n = 3 gebe man auch eine geometrische Interpretation des Verfahrens analog zur geometrischen Idee des Heronschen Algorithmus an.

Übung 9.4 (Fixpunktiteration für den goldenen Schnitt).

(i) Eine Strecke werde so in 2 Teilstücke unterteilt, dass das Verhältnis der größe- ren zur kleineren Teilstrecke gleich dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur grö- ßeren Teilstrecke ist. Sei x das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilstrecke.

Man zeige, dass

x

− x − 1 = 0 (3)

gilt.

(ii) Um die positive Lösung der Gleichung (3) zu bestimmen, kann man z.B. ein ge- eignetes Fixpunktproblem lösen. Man zeige, dass die Fixpunkte der Funktion f : R → R, f (x) = x

− 1 genau den Lösungen von (3) entsprechen und dass die Fixpunkte von g : [0,∞) → [0, ∞), g (x) = �

x + 1 genau den positiven Lösungen von (3) entsprechen.

(iii) Man führe jeweils 4 Schritte der Fixpunktiteration x

= f (x

) mit den Start- werten x

= �

2 und x

= �

3 aus und visualisiere den Verlauf in einem Cobweb- Diagramm.

(iv) Man zeige, dass die Funktion g im Intervall I = [0,3] die Voraussetzungen des

Fixpunktsatzes erfüllt. Ferner führe man jeweils 4 Schritte der Fixpunktiterati-

on x

= g (x

) mit den Startwerten x

= 0 und x

= 3 aus und veranschauliche

auch den Verlauf dieser Iterationen.

10 Übungszettel

Übung 10.1 (Elementare Integrale). Es sei n ∈ N, f : R → R stetig und F : R → R eine Stammfunktion von F. Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(i)

�

3sin(x) − 2cos(2x) dx, (ii)

�

x

− 6x

+ 4x −1 dx,

(iii)

�

2xe

dx, (iv)

�

nx

f (x

) dx.

Übung 10.2 (Bestimmen eines Flächeninhalts).

M f

g

Man berechne den Flächeninhalt der in der Skizze an- gedeuteten Menge M. Dabei seien die Funktionen f , g : R → R gegeben durch:

f (x) = 2x

− 7x + 7, g(x) = −

x

+ 3x −

.

Übung 10.3 (Bestimmte Integrale). Man bestimme die Funktionen f : R → R und g : R → R gegeben durch:

(i) f (x) =

�

−x

| y | dy , (ii) g(x) =

�

0

| sin(y ) | dy .

Übung 10.4 (Partialbruchzerlegung). Man führe eine Partialbruchzerlegung der fol- genden rationalen Funktionen f durch:

(i) f (x) = 1 x

+ 5x + 6 , (ii) f (x) = 5x

+ 6

x

+ 2x ,

(iii) f (x) = − x

− 3 x

− 1 .

Zur Erinnerung: Eine Partialbruchzerlegung ist das Finden einer äquivalenten Dar- stellung der rationalen Funktion f in der Form

f (x) = a

x + b

c

x

+ d

x + e

+ ... + a

x + b

c

x

+ d

x + e

wobei n ∈ N ist und für alle i = 1,..., n gilt: c

ist entweder 0 oder 1 und a

= 0 falls c

= 0 sowie x �→ x

+ d

x + e

besitzt keine reellen Nullstellen falls c

= 1. Zum Bei- spiel:

f (x) = 4x

+ 2x + 12

2x

+ 2x

− 24 ⇒ f (x ) = x

x

+ 3x + 6 + 1

x − 2 .

11 Übungszettel

Übung 11.1 (Rechenregel für den Logarithmus). Zeigen Sie anhand der Definition ln x = R

1 1

t

dt die Identität

ln a

b = ln a − lnb für alle a,b > 0.

Übung 11.2 (Youngsche-Ungleichung).

(i) Untersuchen Sie die Konvexität und Konkavität der Funktionen ln und exp.

(ii) Zeigen Sie die Ungleichung

ab ≤ 1 p a

+ 1

q b

für alle a,b ≥ 0 und p, q > 1 mit

+

= 1.

Übung 11.3 (Modellierung von Zerfallsprozessen). Der Zerfall von radioaktiven Sub- stanzen lässt sich in Näherung durch eine Exponentialfunktion beschreiben: Für ei- ne gegebene Anzahl von Atomen a

einer radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt 0 ist die Anzahl der vebleibenden Atome zum Zeitpunkt t ≥ 0 gegeben durch

a(t ) = a

exp( −λ t)

für ein λ > 0. Man leite her, dass sich die Anzahl der Atome jeweils in einem festen Zeitraum t

, der Halbwertszeit, halbiert und bestimme λ aus einem gegebenen t

. Übung 11.4 (Eine Differentialgleichung). Es sei u : R → (0, ∞ ) eine Funktion mit den Eigenschaften

( u

(t) = au(t) für alle t ∈ R , u(0) = b

mit b > 0. Zeigen Sie: u genügt der Gleichung u(t) = b exp(at ) für alle t ∈ R . Übung 11.5 (Rechnen mit Logarithmen).

(i) Vereinfachen Sie den Ausdruck ln p

x(x

+ 1) − 1 2 ln x − 1

2 ln(x

+ 1).

(ii) Berechnen Sie die Ableitung von f : (1, ∞ ) → R gegeben durch

f (x) = ln x(x

+ 1)

p 2x

− 1

. Hinweis: Zuerst die Funktion mit den Eigenschaften des Logarith- mus umschreiben.

(iii) Berechnen Sie Z x + 1

x

+ 2x dx.

auf dem Intervall (0, ∞ ).

(iv) Zeigen Sie die Ungleichung

x − 1 ≥ ln x

für x > 0.

12 Übungszettel zur Vorbereitung auf die Abschlussklau- sur

Übung 12.1. (i) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R → R , f (x) = ¯

¯x

¯

¯ differenzier- bar ist und die Ableitung an der Stelle x = 0 stetig ist.

(ii) Untersuchen Sie, ob die Funktion f : R → R , gegeben durch

f (x ) =

( x

cos ¡

x

¢ falls x 6= 0

0 falls x = 0,

an der Stelle x = 0 differenzierbar ist.

Übung 12.2. Es sei f : R \ {1} → R , f (x) =

. (i) Berechnen Sie die Ableitung von f .

(ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f

von f und berechnen Sie die Ablei- tung von f

sowohl direkt als auch mit Hilfe des Umkehrsatzes.

Übung 12.3. (i) Es sei f : R → R , f (x) = 3x

+ 4x

− 12x

+ 5. Begründen Sie, warum f auf dem Intervall [ − 3, 2] sowohl ein globales Minimum als auch ein globales Maximum besitzt, und bestimmen Sie beides.

(ii) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f : R → R , f (x) = ¯

¯x

− 1 ¯

¯ .

Übung 12.4. Eine zylindrische Dose soll eine Fassungsvermögen von 1 Liter (1000cm

) besitzen. Bestimmen Sie Radius und Höhe so, dass der Materialverbrauch (d.h. die Oberfläche) minimal wird. Wie groß ist diese minimale Oberfläche?

Übung 12.5. (i) Berechnen Sie

Z 2

x

− 1 d x.

(ii) Bestimmen Sie eine Funktion f : (0, ∞ ) → (0, ∞ ) so, dass

=

und f (1) = 1 gilt.

Übung 12.6. (i) Skizzieren Sie eine auf einem Intervall [a,b] streng monoton stei- gende Funktion, deren Ableitung in (a,b) genau ein Maximum hat.

(ii) Skizzieren Sie eine streng monoton fallende Funktion, deren Ableitung genau ein Minimum hat und deren Stammfunktionen streng monoton steigend sind.

(iii) Skizzieren Sie eine monotone Funktion, deren Ableitung zwei Nullstellen hat.