à Übungen und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Funktionentheorie

Funktionentheorie

ClearRealteil, Imaginärteil Realteilf_:Simplify

ComplexExpandRef. zx y, TargetFunctionsConjugate

Imaginärteilf_:Simplify

ComplexExpandImf. zx y, TargetFunctionsConjugate

à Übungen und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Realteilz³

x³-3x y²

Imaginärteilz³

3x² y-y³

uRealteil1z 1z

- x²+y²-1 x²-2x+y²+1

vImaginärteil1z 1z 2y

x²-2x+y²+1

Du, x, Dv, y

2x-2 x²+y²-1

x²-2x+y²+1² - 2x

x²-2x+y²+1, 2 x²-2x+y²+1

- 4y²

x²-2x+y²+1²

Du, x, Dv, y Together

2x²-2x-y²+1

x²-2x+y²+1²,-2-x²+2x+y²-1

x²-2x+y²+1² 

Du, xDv, y Together 0

Du, yDv, x Together 0

ableitungDu v, x

- 2x

x²-2x+y²+1

- 2Â2x-2y

x²-2x+y²+1² +2x-2 x²+y²-1

x²-2x+y²+1²

Togetherableitung 2

x+ Ây-1²

D1z 1z

, z Together

2

z-1²

uRealteilCosz

cosxcoshy

vImaginärteilCosz

-sinxsinhy

Du, x, Dv, y

sinx -coshy, sinx -coshy

Du, y, Dv, x

cosxsinhy,-cosxsinhy

ableitungDu v, x sinx -coshy- Âcosxsinhy

TrigReduceableitung -sinx+ Ây

ü Beispiel 2.5

uRealteilLogz

1

2logx²+y²

vImaginärteilLogz

1

2Âlogx²+y²- Âlogx+ Ây

vArcTany x

tan^-1y x

v22 ArcTan y x x²y²



2 tan^-1 y x²+y² +x

Du, x, Dv, y, Dv2, y FullSimplify

 x

x²+y²

, x

x²+y²

, x

x²+y²

Du, y, Dv, x, Dv2, x FullSimplify

 y

x²+y² ,- y

x²+y² ,- y

x²+y²

ableitungDu v, x x

x²+y²

- Ây x²^y2

x² +1

Togetherableitung 1

x+ Ây

ü Beispiel 2.6

ComplexExpandConjugatexI y

x- Ây

uRealteilConjugatez ^z2

‰^x2-y2ysin2x y+xcos2x y

vImaginärteilConjugatez ^z2

‰^x2-y2xsin2x y-ycos2x y

Du, x

2x‰^x2-y2ysin2x y+xcos2x y+ ‰^x2-y22y²cos2x y-2x ysin2x y+cos2x y

Dv, y Together

‰^x2-y22x²+2y²-1cos2x y

Du, xDv, y Together

2‰^x2-y2cos2x y

Du, y

‰^x2-y2-2x²sin2x y+sin2x y+2x ycos2x y-2y‰^x2-y2ysin2x y+xcos2x y

Dv, x Together

‰^x2-y22x²+2y²+1sin2x y

Du, yDv, x Together

2‰^x2-y2sin2x y

ü Beispiel 2.7

uRealteil^z2

‰^x2-y2cos2x y

vImaginärteil^z2

‰^x2-y2sin2x y

Du, x Factor

2‰^x2-y2xcos2x y-ysin2x y

Dv, y Factor

2‰^x2-y2xcos2x y-ysin2x y

Du, xDv, y Together 0

Du, y

-2x‰^x2-y2sin2x y-2y‰^x2-y2cos2x y

Dv, x

2x‰^x2-y2sin2x y+2y‰^x2-y2cos2x y

Du, yDv, x Together 0

ableitungDu v, x

2Âx‰^x2-y2sin2x y-2y‰^x2-y2sin2x y+2x‰^x2-y2cos2x y+2Ây‰^x2-y2cos2x y

Togetherableitung

2‰^x2-y2x+ Ây cos2x y+ Âsin2x y

u,v sind harmonisch:

Deltau_, x_, y_:TogetherDu, x, 2Du, y, 2

u

‰^x2-y2cos2x y

Deltau, x, y

0

v

‰^x2-y2sin2x y

Deltav, x, y

0