Dr. Peng Jin M.Sc. Barun Sarkar
Übungen zu Differentialgleichungen (SoSe 13)
Blatt 2 22. April 2013
Gruppenübung
Aufgabe G1.
(i) Es seieinAk,k∈Nabzählbar viele Mengen. Zeigen Sie:
Es gibt eine Folge monoton wachsender Mengen Bk, d.h. Bk ⊂Bk+1 für alle k∈N und eine Folge paarweise disjunkter MengenCk, d.h.Ci∩Cj=/0 für allei6= j, mit
∞
[
k=1
Ak=
∞
[
k=1
Bk=
∞
[
k=1
Ck.
(ii) Sei(Ak)k∈Neine Folge von Mengen. Dann definiert lim inf
k→∞ Ak:={x:x∈Anfür fast allen∈N} der Limes inferior dieser Mengenfolge. Zeigen Sie:
lim inf
k→∞ Ak:=
∞
[
k=1
∞
\
n=k
An.
(”fast alle” bedeutet: alle, bis auf endlich viele.) Aufgabe G2.
Sei(Ω,A) ein messbarer Raum und Seiµ1≤µ2≤ · · · eine Folge von Maßen auf derσ-AlgebraA. d.h.µ1(A)≤µ2(A)≤ · · · für alle messbaren MengenA∈A. Zeigen Sie, dass durchµ(A):=limnµn(A) ein Maß aufA gegeben ist.
Aufgabe G3.
Sei(Ω,A,µ)ein Maßraum, und seiA∗die Familie allerE⊂Ω, für die esA,B∈A gibt mitA⊂E⊂B undµ(B\A) =0. FürE∈A∗definiereµ∗(E):=µ(A). Zeigen Sie:
(i)A∗ist eineσ-Algebra, dieA enthält, (ii)µ∗ist wohldefiniert,
(iii)µ∗ist ein Maß aufA∗,
(iv)µ∗ist eine Fortsetzung vonµ, d.h.µ∗(E):=µ(E)für alleE∈A. Man nennt den Maßraum(Ω,A∗,µ∗)die Vervollständigung von(Ω,A,µ).
Hausübung
Aufgabe H1.(5 Punkte)
SeiΩeine überabzählbare Menge. Setze
A :={E⊂Ω|EoderEcist abzählbar}.
Nach der Aufgabe G2 im Blatt 1 wissen wir, dassA eineσ-Algebra aufΩist. Definiere fürE∈A
µ(E) =
0, fallsE abzählbar ist, 1, sonst.
Zeigen Sie, dassµ ein Maß aufA ist.
Aufgabe H2.(5 Punkte)
Es sei(Ω,A,µ)ein Maßraum undB∈A. FürA∈A setze manµB(A):=µ(A∩B). Zeigen Sie, dass µBein Maß aufA ist.
Abgabetermin: 26. April 2013, 10:00 Uhr, Zimmer G.16.03
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