Analysis einer Veränderlichen — Übungsblatt 5

Prof. Dr. Lars Diening Dr. Sebastian Schwarzacher

Maximilian Wank 19.11.2013

Analysis einer Veränderlichen — Übungsblatt 5

Aufgabe 1: (2+2+2) Punkte

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

∞

X

k=1

1

2k k

,

∞

X

k=1

(−1)^k2^2k (2k)! ,

∞

X

k=1

1−1 k

^(k2) .

Lösung zu Aufgabe 1:

Für die erste Summe verwenden wir das Quotientenkriterium seia_k= ¹

(^2kk). Mit der Definition des Binomialkoefizienten folgt:

a_k+1 ak

=

(2k)!

(k!)² (2k+2)!

((k+1)!)²

= (k+ 1)²

(2k+ 2)(2k+ 1) = 1 2

k+ 1 2k+ 1 ≤ 1

2

Daraus folgt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Für die zweite Summe verwenden wir nochmals das Quotientenkriterium sei a_k =

(−1)^k2^2k (2k)! .

ak+1

a_k =

2²2^2k (2k+2)(2k+1)(2k)!

2^2k (2k)!

= 4

(2k+ 2)(2k+ 1)

−→k 0.

Daraus folgt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Für die dritte Summe verwenden wir das Wurzelkriterium. Wir betrachten daher die Folge

1−1

k (k²)¹_k

= 1−1

k k

=:ak. Wir Zeigen nun, dass

1−¹_k^k

→ ¹_e<1. Wir formen um:

1

1−¹_k^k = k k−1

^k

= 1 + 1

k−1 ^k

= 1 + 1

k−1

1 + 1 k−1

^k−1 _k

−→e.

Hierbei haben wir verwendet, dass das Produkt von konvergenten Folgen konver- giert. Da die folge _a¹

k →efolgt, dassak

−→k ¹_e. Daraus folgt, dass|ak|<1−^e−1_2e <1 für fast allek. Damit folgt nach dem Wurzelkriterium die absolute Konvergenz.

Aufgabe 2: (2+2+1) Punkte

Sei`¹(R) :={x= (xk)k reelle Folge : P∞

k=1|xk|<∞}.

(a) Zeigen Sie,`¹(R)ist reeller Vektorraum überR. (b) Wir definieren die 1-Norm k(xk)kk₁:=P∞

k=1|xk| ≥0. Zeigen Sie, dass (a) kxk₁= 0genau dann, wennx= (0)k.

(b) kαxk₁=|α| kxk₁,für alleα∈Rundx∈`¹(R).

(c) kx+yk₁≤ kxk₁+kyk₁ für allx, y∈`¹(R).

(c) Folgern Sie aus den obigen Eigenschafften, dassd(x, y) :=kx−yk₁ eine Me- trik auf`¹(R)ist.

Aufgabe 3: (3+2) Punkte

(a) Seix∈[0,1). Zeigen Sie, dass dann eine Folgeak, mitak∈ {0, ..,9}existiert, so dass

∞

X

k=1

1

10^kak =x.

(b) Folgern Sie, dass jede reelle Zahl als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Aufgabe 4: 4 Punkte

Wir betrachten die Leibnizreihe: P∞ k=1

(−1)^k

k . Zeigen Sie, dass es für jedes c ∈ R eine Umordnung der Reihe gibt, die gegenc konvergiert.

Abgabe bis Dienstag, den 26.11.2013 um 16:00 Uhr