Prof. Dr. Lars Diening Dr. Sebastian Schwarzacher
Maximilian Wank 21.01.2014
Analysis einer Veränderlichen — Übungsblatt 11
Aufgabe 1: 4 Punkte
Für eine Funktion f :R→Rdefinieren wir den Epigraph durch epif :={(x, y)∈R2 : y≥f(x)}.
Beweisen Sie, dassf genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn der Epigraph eine konvexe Teilmenge des R2 ist.
Aufgabe 2: (2+2) Punkte
Für ein Intervall I ⊆ R seien f, g : I → R konvexe Funktionen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die Funktion h1:I→R,x7→max{f(x), g(x)}ist konvex.
(b) Die Funktion h2:I→R,x7→min{f(x), g(x)} ist konvex.
Aufgabe 3: 4 Punkte
Für n ∈ N0 und ein Intervall I ⊆ R seien f, g : I → R n-fach differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie, dass dannf gebenfallsn-fach differenzierbar ist und der Gleichung
(f g)(n)=
n
X
k=0
n k
f(k)g(n−k)
genügt.
Hinweis:Sie dürfen die Formel nk
= n−1k−1
+ n−1k
sowie die Konventionen nk := 0 fürk <0 oderk > n und 00
:= 1 verwenden.
Aufgabe 4: (2+2) Punkte
SeiI⊆Rein Intervall undf :I→Rdifferenzierbar. Zeigen Sie:
(a) Istf0(a)>0so existiert einε >0so, dassf(x)> f(a)für allex∈(a, a+ε).
(b) Für allex∈Igeltef0(x)6= 0. Dann ist entwederf0(x)>0für allex∈Ioder f0(x)<0für alle x∈I.
Aufgabe 5: (2+2) Punkte
(a) Untersuchen Sie die Funktion f : (0,∞)→R,x7→ln(x)x auf Monotonie.
(b) Folgern Sie2π< π2.
Abgabe bis Dienstag, den 28.01.2014 um 16:00 Uhr
