Analysis einer Veränderlichen — Präsenzaufgaben 5

Prof. Dr. Lars Diening Sebastian Schwarzacher

Maximilian Wank 19.10.2013

Analysis einer Veränderlichen — Präsenzaufgaben 5

Aufgabe 1:

Untersuchen Sie die Reihen

∞

X

k=1

k ⁴

3 ^k und

∞

X

k=1

2 ⁽⁽⁻¹⁾

⁻²⁾ⁿ

auf (absolute) Konvergenz.

Aufgabe 2:

Für alle k ∈ N ⁰ gelte a k ≥ 0.

(a) Zeigen Sie, dass aus der Konvergenz von

∞

P

k=0

a k auch die Konvergenz von

∞

P

k=0

a ² _k folgt.

(b) Zeigen Sie, dass auf die Voraussetzung a _k ≥ 0 für alle k ∈ N 0 nicht verzichtet werden kann.

Aufgabe 3:

Es sei

x _jk :=



 

 

1 falls j − k = 1

−1 falls j − k = −1 0 sonst.

Berechnen Sie

∞

X

j=0

∞

X

k=0

x jk

!

und

∞

X

k=0





∞

X

j=0

x jk



 .

Aufgabe 4:

Es sei τ : N 0 → N 0 eine bijektive Abbildung zu der es ein d ∈ N gibt, so dass für alle k ∈ N 0

|τ(k) − k| ≤ d

gilt (man nennt τ dann eine beschränkte Umordnung). Beweisen Sie, dass

∞

P

k=1

a k

genau dann konvergiert, wenn

∞

P

k=1

a _τ(k) konvergiert.