In der Vorlesung wurden die Fermi-Beschleunigung, sowie der nicht-thermische Strahlungspro- zess der Synchrotronstrahlung behandelt. Diese Prozesse soll auf diesem Aufgabenblatt vertieft werden.

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Hausaufgabenblatt IV Abgabe bis 13.12., 14:00 Uhr

In der Vorlesung wurden die Fermi-Beschleunigung, sowie der nicht-thermische Strahlungspro- zess der Synchrotronstrahlung behandelt. Diese Prozesse soll auf diesem Aufgabenblatt vertieft werden.

Aufgabe 10:

Die Beschleunigung von Kosmischer Strahlung an einer ebenen Schockfront ist gegeben durch dE

dt = ξ E τ

(1) wobei ξ den anteiligen Energiegewinn pro Beschleunigungszyklus angibt. Die zugeh¨ orige Zeits- kala τ

f¨ ur einen Beschleunigungszyklus ist dabei die Summe aus der mittleren Aufenthalts- zeitskala τ

in der upstream Region und der mittleren Aufenthaltszeitskala τ

in der downstream Region. Unter Verwendung der Diffusions-und Konvektionsgleichung im station¨ aren Zustand konnte in der Vorlesung bereits gezeigt werden, dass die mittlere Aufenthaltszeit in der ups- tream Region gegeben ist durch

τ

= 4 c

D

u

. (2)

Dabei bezeichnet u

die Geschwindigkeit des upstream Plasmas relativ zur Schockfront und D

ist der zugeh¨ orige Diffusionskoeffizient.

Zur Bestimmung von τ

soll von der allgemeinen Kontinuit¨ atsgleichung

∂n

∂t + ∇ · ~ ~j = Q(~ x) (3)

ausgegangen werden. Dabei l¨ asst die Flussdichte sich beschreiben durch ~j = j

+ j

, wobei der diffusive Fluss j

= −D

∇ ~ n, gem¨ aß dem Fick’schen Gesetz, und der konvektive Fluss j

= ~ u

n, mit der Geschwindigkeit u

f¨ ur das downstream Plasma (relativ zur Schockfront).

(a) Stellen Sie f¨ ur den Fall einer konstanten Quellrate Q am Ort x

die zugeh¨ orige station¨ are Transportgleichung f¨ ur die Teilchendichte n(x) in der downstream Region auf. Diffusions- koeffizient D

.

(b) Nehmen Sie an, die Schockfront befindet sich bei x = 0 und l¨ osen Sie die zuvor aufgestellte Differentialgleichung mit den Randbedingungen n(0) = 0 und n(∞) < ∞, um zu zeigen, dass

n(x) =







Q u2

h exp

u2x D2

− 1 i exp

−

2

f¨ ur 0 ≤ x ≤ x

Q u2

h

1 − exp

u2x0

D2

i

f¨ ur x

< x ≤ ∞ (4) Hinweis: Die inhomogene Differentialgleichung l¨ asst sich gut mit der Methode der “Va- riation der Konstanten” l¨ osen.

(c) Berechnen Sie damit anschließend die Wahrscheinlichkeit P

, dass ein Teilchen die Schockfront von der downstream Region in die upstream Region ¨ uberquert.

(d) Zeigen Sie zun¨ achst, dass die Projektion der mittlere Geschwindigkeit der Teilchen auf

die Schockfront v = c/4 betr¨ agt und bestimmen Sie damit anschließend τ

.

Aufgabe 11:

Die Energieverteilung von Elektronen, welche gem¨ aß dem Fermi-Mechanismus beschleunigt wurden lassen sich (in einem bestimmten Energiebereich) beschreiben durch

n

(γ) dγ = n

γ

dγ f¨ ur γ

< γ < γ

. (5) mit dem spektralen Index p und dem Lorentzfaktor γ. Wie in der Vorlesung motiviert wurde, l¨ asst sich die emittierte Synchrotronleistung von Teilchen mit einer isotropen Geschwindigkeits- verteilung hinreichend beschreiben durch

P

(ν) ' P

ν ν

exp

− ν ν

, (6)

wobei P

= 2.647 · 10

(B/1 G) eV s

Hz

und ν

= 4.2 · 10

(B/1 G) γ

Hz.

Um eine analytische Berechnung zu erm¨ oglichen, wird der exponentielle ’Cut-off’ h¨ aufig durch die Heaviside Funktion H[ν

− ν] ersetzt, so dass

P

(ν) ' P

ν

ν

H[ν

− ν] . (7)

(a) Zeigen Sie zun¨ achst, dass P

=

Γ(

)P

' 1.19 P

.

(b) Bestimmen Sie anschließend den spontanen Emissionskoeffizienten j

= 1

4π Z

1

dγ P

(ν, γ) n

(γ) ,

um zu zeigen, dass das resultierende Spektrum den spektralen Index (p − 1)/2 besitzt.

Unter der Ber¨ ucksichtigung von spontaner Emission, sowie der Synchtrotron-Selbst-Absorption durch die Teilchen, welche durch den Synchtrotron-Selbst-Absorptionkoeffizienten

α

= − 1 8π m ν

Z

dγ γ

P

(ν, γ) d

dγ (γ

n

(γ)) . (8) beschrieben wird, l¨ asst sich die Synchrotronintensit¨ at I

entlang des Sichtstrahls l aus der Strahlungs-Transportgleichung bestimmen:

dI

dl = −α

I

+ j

(9)

(c) Bestimmen Sie die Quellfunktion S

≡ j

/α

und l¨ osen Sie die Strahlungs-Transportgleichung dI

dτ

= −I

+ S

, wobei τ

= R

α

dl die sogenannte optische Tiefe entlang des Sichtstrahls ist.

(d) Welches Spektralverhalen weist die Intensit¨ at im Fall einer ’optisch dicken’ Umgebung (τ

1) und welches im Fall einer ’optisch d¨ unnen’ Umgebung (τ 1) auf?

Die beobachtet Strahlung einer optisch dicken Quelle wird ¨ ublicherweise in den ¨ außersten Schichten (nahe der Oberfl¨ ache) der Quelle produziert.

(e) Wie h¨ angt die Dicke D dieser Strahlung emittierenden, homogenen Schichten vom Beob-

achtungwinkel θ ab? (Hinweis: Erkl¨ aren Sie mithilfe einer Skizze!)