1. Bestimmen Sie die rationalen Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen Dezimalbr¨ uche dargestellt werden:

Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis

Ubungsblatt 8 ¨

Abgabetermin Mittwoch, den 09.01.2019 vor der Vorlesung.

1. Bestimmen Sie die rationalen Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen Dezimalbr¨ uche dargestellt werden:

r ₁ = 0.55... r ₂ = 0.3636...

r ₃ = 0.0483483... r ₄ = 0.692307692307...

2. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz, und berechnen Sie im Falle von Kon- vergenz den Grenzwert:

∞

X

n=1

(3 ⁻ⁿ + 5 ⁻ⁿ )

∞

X

n=1 2

3

∞

X

n=0

(−1) ^{n n!} ₂

∞

X

n=3 2 n

−2n

3. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

∞

X

n=1

( ¹⁺⁽⁻¹⁾

^·

)

n

∞

X

n=0 n

5

4. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz, und berechnen Sie im Falle von Kon- vergenz den Grenzwert:

∞

X

n=0 n

X

k=0

n k

3 5

n+k ∞

X

n=3

n + 4 (n − 1)(n − 2) 5. (4 Zusatzpunkte)

(a) Zeigen Sie: Sind (a _n ) _n∈

N und (b _n ) _n∈

N Folgen positiver reeller Zahlen mit

n→∞ lim a _n

b _n = c > 0 dann gilt

∞

X

n=1

a n konvergiert ⇐⇒

∞

X

n=1

b n konvergiert Welche Implikation gilt f¨ ur c = 0?

(b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

∞

X

n=1

( √

n − 2) ² n ² + √

n ⁴ + 1

∞

X

n=1

( √

n − 2) ² n ³ + √

n ⁴ + 1