Handzettel Vektoranalysis

(1)

Handzettel Vektoranalysis

Fl¨ achen- und Volumenintegrale

• Variablensubstitution:

Z

B

f(x) dx = Z

Be

f(g(u))|J(u)| du , wobei J (u) = det g

^′

(u) .

• Polarkoordinaten: u = (r, ϕ) , r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,

x

1

= r cos ϕ , x

2

= r sin ϕ , J(r, ϕ) = r .

• Kugelkoordinaten: u = (r, ϕ, ϑ) , r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − π

2 ≤ ϑ ≤ π 2 ,

x

1

= r cos ϕ cos ϑ , x

2

= r sin ϕ cos ϑ , x

3

= r sin ϑ , J (r, ϕ, ϑ) = r

²

cos ϑ .

• Zylinderkoordinaten: u = (r, ϕ, z) , r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , z ∈ R ,

x

1

= r cos ϕ , x

2

= r sin ϕ , x

3

= z , J (r, ϕ, z) = r .

Wegintegrale

1. Art 2. Art

gegeben γ : [a, b] −→ R

^m

, Γ = Γ

_γ

= {γ (t) : t ∈ [a, b]} , s : [a, b] −→ [0, L] , L = L(γ)

gegeben ϕ : Γ −→ R v = (v

¹

, . . . , v

_m

) : Γ −→ R

^m

Definition Z

γ

ϕ(x) ds = Z

b

a

ϕ(γ(t)) ds(t)

Z

γ

v(x) dx = Z

b

a

v(γ (t)) dγ(t)

Berechnung

Z

b a

ϕ(γ(t))| γ ˙ (t)| dt

Z

b a

hv(γ(t)), γ ˙ (t)i dt =

m

X

j=1

Z

b a

v

_j

(γ (t)) ˙ γ

_j

(t) dt

Notationen

Z

γ

ϕ ds , Z

γ

ϕ(x) |dx|

Z

γ

v

1

(x) dx

1

+ . . . + v

_m

(x) dx

_m

m = 2

Z

γ

ϕ(x, y) ds

Z

γ

f (x, y) dx + g(x, y) dy

m = 3

Z

γ

ϕ(x, y, z) ds

Z

γ

f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz

(2)

• Berechnungsregel:

Ersetze x durch γ (t) und beachte ds(t) = s

^′

(t) dt = | γ(t)| ˙ dt = p

[ ˙ γ

1

(t)]

²

+ . . . + [ ˙ γ

m

(t)]

²

dt bzw. dγ(t) = ˙ γ (t) dt !

• Oder (m = 2 , m = 3):

Ersetze x , y und z entsprechend durch γ

1

(t) , γ

2

(t) und γ

3

(t) sowie dx , dy und dz durch ˙ γ

1

(t) dt , γ ˙

2

(t) dt und ˙ γ

3

(t) dt !

• Im Fall m = 2 oder m = 3 schreibt man oft f¨ ur γ

1

(t) , γ

2

(t) und γ

3

(t) einfach x(t) , y(t) und z(t) .

• Man nennt ϕ : Γ −→ R ein Skalarfeld und (f¨ ur m > 1) v : Γ −→ R

^m

ein Vektorfeld.

Bemerkungen und Hinweise:

• Im Fall einer Jordankurve Γ = Γ

γ

mit einem Jordanweg γ kann man auch von einem Kurvenintegral sprechen und R

Γ

statt R

γ

schreiben, weil diese Integrale dann vom gewählten Jordanweg unabhängig sind: Sind nämlich Γ = Γ

_γ1

= Γ

_γ2

, γ

²

= γ

¹

◦ χ und χ : [a

2

, b

2

] −→

[a

¹

, b

1

] eine stetige Bijektion mit χ(a

²

) = a

1

, so folgt (mit s = s

^j

(t) , t ∈ [a

j

, b

_j

]) Z

γ¹

ϕ(x) ds = Z

b₁

a₁

ϕ(γ

¹

(t)) ds

¹

(t) = Z

b₂

a₂

ϕ(γ

¹

(χ(τ ))) ds

¹

(χ(τ ))

= Z

b₂

a₂

ϕ(γ

²

(τ )) ds

²

(τ ) = Z

γ²

ϕ(x) ds

bzw.

Z

γ¹

f (x) dx = Z

b₁

a₁

v(γ

¹

(t)) dγ

¹

(t) = Z

b₂

a₂

v(γ

¹

(χ(τ ))) dγ

¹

(χ(τ ))

= Z

b₂

a₂

v(γ

²

(τ )) dγ

²

(τ ) = Z

γ²

v(x) dx .

Sind die eingehenden Funktionen s¨amtlich differenzierbar, so schreibt sich dies unter Ver- wendung der Kettenregel z.B. im Fall des Wegintegrals zweiter Art auch wie folgt:

Z

b₁ a₁

v(γ

¹

(t)), γ ˙

¹

(t) dt =

Z

b₂ a₂

v(γ

¹

(χ(τ )), γ ˙

¹

(χ(τ ))

˙ χ(τ ) dτ

= Z

b₂

a₂

v(γ

¹

(χ(τ ))), γ ˙

¹

(χ(τ )) ˙ χ(τ ) dτ =

Z

b₂ a₂

v(γ

²

(τ )), γ ˙

²

(τ ) dτ .

• Beachte: Bei einem Kurvenintegral zweiter Art Z

Γ

v(x) dx ist anzugeben, wie die Kurve

orientiert ist. Die vorangegangenen ¨ Uberlegungen zeigen n¨amlich, dass bei Verwendung

einer Bijektion χ : [a

²

, b

2

] −→ [a

¹

, b

1

] mit χ(a

²

) = b

1

das Wegintegral zweiter Art beim

Ubergang von ¨ γ

¹

zu γ

²

mit −1 multipliziert wird. Dagegen ist das Kurvenintegral erster

Art von der Orientierung der Kurve unabh¨angig.

(3)

• Anwendungen des Wegintegrals erster Art:

– L¨ange eines Weges:

Z

γ

ds = Z

b

a

| γ ˙ (t)| dt

– Gesamtmasse bzw. -ladung einer mit Masse bzw. Ladung belegten Kurve:

Z

γ

ρ(x) ds , ρ – Dichte der Masse- bzw. Ladungsbelegung – Schwerpunkt x

^∗

einer mit Masse belegten Kurve:

x

^∗1

= 1 m

Z

γ

x

1

ρ(x) ds , x

^∗2

= 1 m

Z

γ

x

2

ρ(x) ds , m = Z

γ

ρ(x) dx

• Anwendungen des Wegintegrals zweiter Art:

– Arbeit eines Kraftfeldes F : Γ

γ

−→ R

³

entlang eines Weges, z.B.

Z

γ

F

1

(x, y, z) dx + F

2

(x, y, z) dy + F

3

(x, y, z) dz

– Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes v : Γ −→ R

³

entlang der Kurve Γ , z.B.

Z

Γ

v

_x

(x, y, z) dx + v

_y

(x, y, z) dy + v

_z

(x, y, z) dz

• Wegunabh¨angigkeit:

– Ein stetiges Vektorfeld v : Ω −→ R

^m

ist genau dann ein Vektorfeld mit im Gebiet Ω ⊂ R

^m

wegunabh¨angigem Integral

Z

γ

v(x) dx , wenn es ein Gradientenfeld ist.

– Ein stetig differenzierbares Vektorfeld v : Ω −→ R

^m

auf einem einfach zusam- menh¨angenden Gebiet Ω ⊂ R

^m

ist genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Inte- grabilit¨atsbedingung

∂v

_j

(x)

∂x

_k

= ∂v

_k

(x)

∂x

_j

, ∀ x ∈ Ω , ∀ j, k = 1, . . . , m , erf¨ ullt ist.

– Ist ϕ : Ω −→ R ein Potential zu v : Ω −→ R

^m

, so gilt f¨ ur einen entsprechenden Weg γ : [a, b] −→ Ω die Formel

Z

γ

v(x) dx = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ (a)) .

(4)

Oberfl¨ achenintegrale

1. Art 2. Art

gegeben f : K −→ R

³

, F = f (K)

gegeben ϕ : F −→ R v = (v

1

, v

2

, v

3

) : F −→ R

³

Definition

Z Z

F

ϕ dF

Z Z

F

−

→ v d − → F =

Z Z

F

( − → v , − → n

_e

) dF

−

→ n

_e

- normierte Fl¨achennormale

Berechnung Z Z

K

ϕ(f (u)) |− → n (u)| du Z Z

K

( − → v (f (u)), − → n (u)) du = Z Z

K

hv(f (u)), n(u)i du

−

→ n (u) = ∂ − → f (u)

∂u

1

× ∂ − → f (u)

∂u

2

, − n →

e

=

−

→ n

|− → n |

• Zur Berechnung der Oberfl¨achenintegrale hat man also nur die folgenden Formeln zu be- achten:

dF = |− → n (u)| du und d − →

F = − → n (u) du

• Anwendungen des Oberfl¨achenintegrals erster Art:

– Fl¨acheninhalt:

Z Z

F

dF

– Gesamtmasse einer mit Masse belegten Fl¨ache:

m = Z Z

F

ρ dF , ρ - Dichte der Massebelegung – Schwerpunkt x

^∗

einer mit Masse belegten Fl¨ache:

x

^∗_j

= 1 m

Z Z

F

x

_j

ρ dF , j = 1, 2, 3

• Anwendung des Oberfl¨achenintegrals zweiter Art:

Fluss eines Geschwindigkeitsfeldes − → v durch die Fl¨ache F : Z Z

F

−

→ v d − → F

• Kugelfl¨ache vom Radius r > 0: − →

f (ϕ, ϑ) = r (cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,

− π

2 ≤ ϑ ≤ π 2 ,

−

→ n (ϕ, ϑ) = r cos ϑ − → f (ϕ, ϑ)

• Zylinderfl¨ache vom Radius r > 0: − →

f (ϕ, z) = r (cos ϕ, sin ϕ, z) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , z ∈ R ,

−

→ n (ϕ, z) = r (cos ϕ, sin ϕ, 0)

(5)

Integrals¨ atze

Gauß’scher Integralsatz gegeben v = (v

¹

, v

2

, v

3

) : B −→ R

³

,

B - Bereich mit st¨ uckweise glattem Rand, F := ∂B

Formel

Z Z

F

−

→ v d − → F =

Z Z Z

B

div − → v (x) dx

div − → v (x) = ∂v

1

(x)

∂x

1

+ ∂v

2

(x)

∂x

2

+ ∂v

3

(x)

∂x

3

Stokes’scher Integralsatz gegeben v = (v

¹

, v

2

, v

3

) : Ω −→ R

³

,

F ⊂ Ω - einfaches Fl¨achenst¨ uck, Γ := ∂F

Formel

Z

Γ

v(x) dx = Z Z

F

rot − → v d − → F

rot − → v (x) =







∂v

3

(x)

∂x

2

− ∂v

2

(x)

∂x

3

∂v

1

(x)

∂x

3

− ∂v

3

(x)

∂x

1

∂v

2

(x)

∂x

1

− ∂v

1

(x)

∂x

2







= ∂

∂x

_k

³

k=1

× − → v (x) = ∇ × − → v (x)

Bemerkung: In der Ebene fallen Gauß’scher und Stokes’scher Integralsatz zusammen, Z

∂D

(v

1

dx

1

+ v

2

dx

2

) = Z Z

D

∂v

2

∂x

1

− ∂v

1

∂x

2

d(x

1

, x

2

) .

(6)

Folgerungen aus den Integrals¨ atzen

• Erste Green’sche Formel:

Z Z Z

B

ϕ ∆ψ dx = Z Z

F

ϕ ∂ψ

∂ − → n

e

dF − Z Z Z

B

h∇ϕ, ∇ψi dx

• Zweite Green’sche Formel:

Z Z

F

ϕ ∂ψ

∂ − → n

_e

− ψ ∂ϕ

∂ − n →

_e

dF = Z Z Z

B

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dx

• Darstellungsformel f¨ ur harmonische Funktionen:

ψ(y) = 1 4π

Z Z

F

1 |x − y|

∂ψ(x)

∂ − → n

_e

dF

_x

+ 1 4π

Z Z

F

ψ(x) x − y

|x − y|

³

·− → n

_e

(x) dF

_x

, y ∈ Ω Beachte: In den letzten drei Formeln bezeichnet − → n

e

= − → n

e

(x) die normierte ¨ außere Normale an F = ∂B im Punkt x ∈ F . Ist also F gegeben durch die Fl¨ache f (u) , so gilt − → n