Der Greensche Satz in der Ebene
Wir betrachten nun einen ebenen Bereich B , dessen Randkurve C = ∂B geschlossen und st¨ uckweise glatt ist. Wir nehmen vorerst an, dass B ein Normalbereich bzgl. der x
1-Achse ist.
B : a ≤ x
1≤ b , f
1(x
1) ≤ x
2≤ f
2(x
1)
(Kompliziertere Bereiche kann man sich aus Normalbereichen zusammenge- setzten Bereichen vorstellen)
Auf C und im Bereich B seien stetig partiell differenzierbare Funktionen V
1(x
1, x
2) , V
2(x
1, x
2) erkl¨ art.
Zuerst halten wir fest, dass f¨ ur eine in B stetig differenzierbare Funktion V (x
1, x
2) gilt
∫∫
B
∂V
∂x2
dx
2dx
1=
∫
b a[
f2
∫
(x1) f1(x1)∂V
∂x2
dx
2] dx
1=
∫
b a[V |
ff21(x(x11))] dx
1=
=
∫
b a[V (x
1, f
2(x
1)) − V (x
1, f
1(x
1))]dx
1=
=
∫
b aV (x
1, f
2(x
1))dx
1− ∫
ba
V (x
1, f
1(x
1))dx
1=
= − ∫
ba
V (x
1, f
1(x
1))dx
1− ∫
ab
V (x
1, f
2(x
1))dx
1= − H
C
V (x
1, x
2)dx
11
Man kann also das Fl¨ achenintegral in ein Kurvenintegral umschreiben.
Ist B dar¨ uberhinaus auch ein Normalbereich bzgl. der x
2-Achse, dann kann man analog zeigen, dass
∫∫
B
∂V
∂x1
dx
1dx
2= H
C
V (x
1, x
2)dx
2.
Ubertragen auf das Funktionenpaar ¨ V
1(x
1, x
2) , V
2(x
1, x
2) ergibt sich Satz. (Satz von Green in der Ebene)
∫∫
B
[
∂V2∂x1
−
∂V∂x21]
dx
1dx
2= H
C
[V
1(x
1, x
2)dx
1+ V
2(x
1, x
2)dx
2]
Bemerkungen.
• Gilt V
i(x
1, x
2) =
∂x∂Φi
f¨ ur eine zweimal stetig differenzierbare Skalarfunk- tion Φ(x
1, x
2) , dann kann die rechte Seite als Arbeitsintegral einer kon- servativen Kraft interpretiert werden, und die linke Seite ist (erwartungs- gem¨ aß) gleich Null.
• Der Greensche Satz kann auch zur Fl¨ achenberechnung herangezogen werden.
Setzt man V
1(x
1, x
2) = − x
2und V
2(x
1, x
2) = x
1, dann ergibt sich H
C
[ − x
2dx
1+ x
1dx
2] = ∫∫
B
[
∂x1∂x1
−
∂(∂x−x22)]
dx
1dx
2= 2 ∫∫
B
dx
1dx
2= 2A
Balso die doppelte Fl¨ ache A
Bdes Bereiches B .
Beispiel.
Die Ellipse
xa212+
xb222= 1 hat die Parameterdarstellung
⃗
r(t) = (a cos t, b sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π .
Daraus folgt dx
1= − a sin tdt und dx
2= b cos tdt . Folglich ist A =
12H
C
[ − x
2dx
1+ x
1dx
2] =
2
=
12∫
2π 0[( − b sin t)( − a sin t) + (a cos t)(b cos t)]dt =
ab2∫
2π 0dt = abπ .
Beispiel.
Manchmal ist die Berechnung des Fl¨ achenintegrals einfacher als die des entsprechenden Linienintegrals.
Die Kurve C habe Dreiecksform, sie verl¨ auft zuerst entlang der Geraden von (0, 0) bis (π/2, 0) , danach entlang der Geraden von (π/2, 0) bis (π/2, 1) und dann von dort zur¨ uck nach (0, 0) .
Seien V
1(x
1, x
2) = x
2− sin x
1, V
2(x
1, x
2) = − x
1. Dann ist H
C
(V
1dx
1+ V
2dx
2) = H
C
[(x
2− sin x
1)dx
1− x
1dx
2] =
=
π/2
∫
0
( − sin x
1)dx
1− ∫
10 π
2
dx
2+
∫
0 π/2(
2x1π
− sin x
1)
dx
1−
π2∫
0π/2
x
1dx
1=
= − 1 −
π2−
π4+ 1 +
π4= −
π2(Dabei wurde entlang der Kurve von (π/2, 1) nach (0, 0) die Parametrisierung x
2=
2xπ1verwendet.)
Die Fl¨ achenberechnung liefert sofort
∫∫
B
