Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zur Analysis I Blatt I vom 16.10.2009 Aufgabe I.1 (Aussagenlogik und logisches Schließen)
a) In einem Raum befinden sich die drei Personen A, B und C, die über sich die folgenden Aussagen treffen:
• A sagt, dassB lügt.
• B sagt, dass C lügt.
• C sagt, dass Aund B lügen.
Wer lügt und wer sagt die Wahrheit? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Finden Sie eine zur folgenden Aussage äquivalente Aussage, die neben den Varia- blen A, B, C, D nur noch Klammern und einige der fünf Junktoren ¬,∧,∨,⇒,⇔ enthält:
„Dafür, dass mindestens eine der beiden Aussagen AundB zutrifft, ist es notwen- dig, dass wederC noch Dgilt.“
c) Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle, dass die folgende Aussage eine Tauto- logie (d.h. bei beliebiger Wahl der Wahrheitswerte für A und B eine stets wahre Aussage) ist:
(A⇒B)∧ ¬B
⇒ ¬A
Aufgabe I.2 (Vollständige Induktion)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:
a) ∀x∈R\ {1} ∀n∈N:
n
X
j=0
xj = 1 +x+x2+. . .+xn= 1−xn+1 1−x
b) ∀x∈R\{1} ∀n∈N:
n
Y
j=0
(1+x2j) = (1+x)(1+x2)(1+x4)· · ·(1+x2n) = 1−x2n+1 1−x
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