VIII 4 Motivation

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(1)Fourierreihen. VIII 4 Motivation. o. 83. Approximation bzw Darstellung periodischer Funktionen. Hierzu sind. oszillierende Signale. Wellen. Basisfunktionen. Polynome in Taylor Bernstein. nicht periodische. als. besser geeignet. periodische. Schwingungen. Frequenzanalyse. Def. kurz Bsp. f IR. Eine Funktion. o. Cl heißt. p periodisch. Vxc.IR. wenn. Periode. mit. periodisch. flap. p. 0. flx. sin sind beide 2T periodisch. los. Ist. f. f. p periodisch dann ist t. ist. Insbesondere. coslz.int. f. g periodisch. wenn. mit Periode E. periodisch. Frequenz. w. Im Folgenden betrachten wir p 2T. Def. o. Für. neu. in. an EE heißt. n. aue. Riemannint. Trigonometrisches Polynom. Für. f. R. ihr. d. Zu periodisch mit. ER IHN. ff. a. fck. fix. e ü. der lite FourierKoeffizient. II wenn existent. Für. flk ei heißt. f.ge RK ri.IT. fig. ok. Der. liga. KEI Grenzwert. fm ei. Fourierreihe von. f. definiere. fügte oh. Afk. Vitti. heißt. g. 0.

(2) t.gs erfüllt. f g. Rer Ii Iii. Hermitizität. f.gs. Iiii. Positivität. f f. Damit wird II II. und. zu einer. Für. f g ER gilt. 1. fig. Beweis. 1. Wir so. a. O. durch. 11ft tgl. O folgt damit. Hgk. 11ft gI. 0. Skalarprodukt. Cauchy Schwarz Dreiecksangl mit de K. if. dass. fg. Ifk. litt. f g ER. 11ft tztif.gs. si. t.tn. gilt zudem. Norm. B d A annehmen dass. Aus 11g. 2. f. f. O. fll.tl gll. können. KEK he. 0. zu einem. Afk Hgk. Htt gK. 2. h. gf. ff. Exil. f. te. g. l der stetigen Funktionen. Unterraum. Positiv Definitheit. liv. f. f gtchs. Sesquilineaität. Auf dem. Satz. 84. R ist ein Vektorraum über. Rl E ü. Ben. t. 0. Dann ist b TER. t Hgk. Wenn. Tj. ersetzen und. Hgk. 0 dann. gilt. O z. fllitllg.lk t 21 f g 1 für HgII t 2kt Hgk. Af II Hgk D. Ben. o. Wie der Beweis. form i. Iiii. zeigt. gilt dies für. d h jede Abbildung. erfüllt. ihr. jede positiv hermitsche Sesquilinear. auf. einem E Vektorraum die.

(3) Mit. ei. e. KEK. können wir. Koeffizienten einer Funktion. Lemma. die. Fourierreihe. Die. Funktionen. als. er. o. fe. Su. ein e. an. f. k L KIL. den. K ten Fourier. fck. f. und. Orthonormalsystem. Dh. er. 85. er. bilden ein. ez. 0. als. schreiben. f. nun. S. KroneckerDelta. T. Beweis. k L. 1. du. en er r. un. Korollar. Beweis. Ist. fix. i. f. k. ii. f. IR IR. k. n. O. da sin. Du. mit av.EE. dann. n. O tu EI. gilt. KKE 2. an. a. f Lk. i. sin Ill k. an ei. eilt. ii. expfix'll k. eine. L. k. en. KKE 2. an n. f. a. en les. a. n. Sk Iii. Ist. FIRIER. an. Fln. Umgekehrt. dann. gilt i fiel e. gilt. aue. de. also. a. IE au.ci. an. au. one D. 2Refanei. Ben. FourierKoeffizienten sind also die Komponenten des Vektors des. Orthonormalsystems. Frequenz. dar. feu. Elk. f bzgl. stellt den Anteil. von. f. mit.

(4) q 86. G. Analogie Vektor. llt u.li vn. v. f. ü. e. Lx. Eu a 41,0 o. ON S. i. KEI. k'te Stelle. KEI1. Lemma. Für. er.ws. III wir. Norm. Hull. Venus. Pnf. II. Afk. fll.it. flutet. Ii. f klagende. f.gs. V fifi. 11ft new. ev. gilt. EI.ulftr.tl. f auf. ist die Projektion von. f Pnf f Pnf s. Beweis. Ilk. Pnf. und. f Rf Bem. in. Skalarprodukt. f ER. ein. den Unterraum. feu. Pnf Pnf. f Rts. Puffs. i. Iii. Iiii. Ital. n. Suu. Iii kliii. IInlflr.tl. EIN Fln. f Pnf. Flut. Satz Beweis. Riemann Lebesgue Aus dem Lemma. also. Ego. Konvergenz. Bem. Damit. Für. folgt. fc RII. HI. nlilkII auch. fit. cos Int. Iso Hk. gilt. flli EI.nl lkY. der Reihe impliziert dass. gilt. ii.it. D. Puff. II ÄH. O. O. an. Ifk für K soo dt. Ego. fit. Nullfolge ist sinkt. dt. D D.

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