Ausführliche Erklärungen zur linearen Abhängigkeit resp. Unabhängigkeit von Vektoren

Ausführliche Erklärungen zur linearen Abhängigkeit resp. Unabhängigkeit von Vektoren

Definition: Die Vektoren a aur uur₁, ₂,...,auur_n

heißen linear Unabhängig, wenn die Gleichung

1 1 2 2 ... _{n n}

r aur+r auur+ +r auur r=o in den Variablen r r₁, ,...,₂ r_k nur für

1 2 ... _k 0

r = =r r =

erfüllt ist, andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Alternative Erklärung:

Ist von zwei Vektoren a br r,

der eine ein Vielfaches des anderen (z.B. 3 br= −2ar

), so lässt sich dies in der Form 3ar+2br r=o

schreiben. Erfüllen umgekehrt zwei Vektoren a br r,

die Gleichung r a⋅ + ⋅ =r s br ro

, so folgt r

b a

= − ⋅s

r r

, falls s≠0 und s

a b

= − ⋅r

r r

, falls r ≠0 ist. Man nennt dann die Vektoren a br r,

linear abhängig. Erfüllen dagegen zwei Vektoren a br r,

die Gleichung r a⋅ + ⋅ =r s br ro

nur dann, wenn r = =s 0 ist, so heißen die Vektoren a br r,

linear unabhängig.

Drei Vektoren a b cr r r, ,

heißen linear abhängig, wenn einer der Vektoren als

Linearkombination der beiden anderen darstellbar ist. In diesem Fall ist in der Gleichung r a⋅ + ⋅ + ⋅ =r s br t cr ro

mindestens eine der Zahlen r s t, , von Null verschieden. Lässt sich diese Gleichung aber nur mit r= = =s t 0 erfüllen, dann nennt man die Vektoren a b cr r r, ,

linear unabhängig.

Geometrische Deutung:

Zwei Vektoren a br r,

aus _¡² sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Gerade gibt, zu der die Pfeile beider Vektoren parallel sind.

Drei Vektoren a b cr r r, ,

aus _¡³ sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Ebene gibt, zu der alle Pfeile der Vektoren parallel sind.

In _¡² sind je drei Vektoren linear abhängig, denn hier kann man jeden Vektor als Linearkombination von zwei gegebenen linear unabhängigen Vektoren darstellen.

In _¡³ sind je vier Vektoren linear abhängig, denn hier kann man jeden Vektor als Linearkombination von zwei gegebenen linear unabhängigen Vektoren darstellen.

Eine Ebene wird von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Jeder weitere Vektor in der Ebene ist linear abhängig.

Beachte: Ist einer der k Vektoren der Nullvektor, denn sind die Vektoren linear abhängig.

Ein einziger Vektor ist nach obiger Definition genau dann linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist.