Antwort zur Frage 220:
Erkl¨are die Begriffe Vektorraum, Basis und Dimension Jeweils n linear unabh¨angige Vektoren b~1, ~b2, . . . , ~bneinesVektorraumes VheißenBasis vonV, wenn man jeden Vektor vonVals Linearkom- bination dieser Vektoren darstellen kann.
Die Anzahlnder Vektoren einer Basis eines Vektor- raumesVheißtDimensionvonV.
In der Regel w¨ahlt man als Basis-Vektoren die Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensys- tems. Das ist zwar nicht zwingend erforderlich, ver- einfacht aber die Anschaulichkeit.
Der VektorraumRn,n∈ N, hat die Dimensionn.
Seine einfachste Basis ist
~ e1=
1 0 0 ... 0
, e~2=
0 1 0 ... 0
,. . .,e~n=
0 0 0 ... 1
,
denn f¨ur jeden Vektor~c=
c1
c2
c3
... cn
gilt:
~c=c1·e~1+c2·e~2+. . .+cn·e~n.
Die Basise~1, ~e2, . . . , ~en heißtStandardbasis.
Vektorr¨aume der Dimensionen1,2und3k¨onnen wir uns als Lebewesen in einer dreidimensionalen Welt gut vorstellen. Bei Vektorr¨aumen h¨oherer Dimen- sionen h¨ort das auf. Denken wir aber z.B. an ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen mit 5 Unbekan- nten, so unterscheidet sich das prinzipiell nicht von einem solchen mit 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
