1.April2015 Name:Vorname: GEOMETRIE Kapitel1WRProfil-MittelstufeKZNRonaldBalestraCH-8046Z¨urichwww.ronaldbalestra.ch ¨Ahnlichkeit

Ahnlichkeit ¨

GEOMETRIE Kapitel 1 WRProfil - Mittelstufe KZN

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

1. April 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Aehnlichkeit 1

1.1 Definition & Eigenschaften . . . 1

1.2 Die Kongruenzabbildungen . . . 2

1.3 Zentrische Streckungen und deren Eigenschaften . . . 3

1.4 Ahnlichkeit im Dreieck¨ . . . 5

1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras . . . 9

1.5.1 EinBeweis f¨ur den Satz des Pythagoras . . . 10

1.5.2 Die Verallgemeinerungen f¨ur¨ahnliche Figuren: . . . 13

1.5.3 Die Verallgemeinerungen aufnicht-rechtwinklige Dreiecke: 14 1.6 Ahnlichkeit im und am Kreis¨ . . . 16

1.6.1 Der Sehnensatz . . . 18

1.6.2 Der H¨ohenabschnittsatz . . . 20

1.6.3 Der Sekantensatz . . . 22

1.6.4 Der Sekanten-Tangentensatz. . . 24

1.6.5 Der Satz des Ptolemaios . . . 26

1.6.6 Die Sehweite . . . 27

1.7 GeoGebra- in der Geometrie . . . 28

1.8 Die Strahlens¨atze . . . 30

1.8.1 Die Umkehrung der Strahlens¨atze . . . 37

1.8.2 Die Linsengleichung . . . 38

I

1 Aehnlichkeit

Beginnen werden wir mit der Einf¨uhrung des Begriffs derAhnlichkeit. Wir wer-¨ den definieren, was zueinander ¨ahnliche Figuren sind und interessante Eigen- schaften von ¨ahnlichen Figuren kennenlernen. Eigenschaften, auf die wir u.a.

bei der Einf¨uhrung der Trigonometrie angewiesen sein werden. Kurz werden wir uns auch mit derAhnlichkeit im und am Kreis¨ besch¨aftigen, bevor wir uns mit denStrahlens¨atzenund deren Anwendungen auseinandersetzen.

1.1 Definition & Eigenschaften

Aus dem Alltag wissen wir, was zueinander ¨ahnliche Figuren auszeichnen: . . .

Mathematisch wird der Begriff wie folgt definiert:

Def.: Zwei geometrische FigurenAundB heissen¨ahnlich :⇔

es existiert eineAhnlichkeitsabbildung, welche¨ AaufB abbildet.

Bem. : • Schreibweise: A∼B

• Eine Ahnlichkeitsabbildung¨ ist eine Ver- kn¨upfung von zentrischen Streckungen mit Kongruenzabbildungen.

Kongruenzabbildungen kennen wir schon, es sind dies

– – – –

und diese zeichnen sich durch die Eigenschaf- ten aus, dass . . .

w¨ahrend bei einer zentrischen Streckung nur die Form erhalten bleibt.

1

1.2 Die Kongruenzabbildungen

Def.: Eine Abbildungf ist eine Vorschrift, die jedem Urbildpunkt P einer geometrischen Figur genau einen BildpunktP⁰ einer geome- trischen Figur zuordnet.

Def.: Zwei geometrische Figuren heissen kongruentgenau dann wenn sie deckungsgleich sind.

Def.: Eine Abbildung heisst eine Kongruenzabbildung genau dann wenn sie jedes Urbild auf ein dazu kongruentes Bild abbildet.

Mit den Ausf¨uhrung der Kongruenzabbildungen werden wir uns sp¨ater in einer weiteren Anwendung vonGeoGebrabesch¨aftigen...

2

1.3 Zentrische Streckungen und deren Eigenschaften

Beispiel 1.1 Strecke das Dreieck∆ABC mit demStreckungsfaktork= 2 bez¨uglich demZentrumZ.

Wir k¨onnen feststellen, dass durch die zentrische Streckung Geraden in par- allele Geraden ¨uberf¨uhrt werden und dadurch die Winkel erhalten bleiben.

Somit folgt:

In zueinander ¨ahnlichen Figuren sind die entsprechenden Winkel gleich gross.

Aber beachte, dass die Gleichheit entsprechender Winkel f¨ur die ¨Ahnlichkit zweier Figuren nicht hinreichend ist!

3

Wir k¨onnen weiter feststellen, dass durch die zentrische Streckung die Verh¨alt- nisse der entsprechenden Seitenl¨angen erhalten bleiben:

Somit folgt:

In zueinander ¨ahnlichen Figuren sind die entsprechenden Seiten- verh¨altnisse gleich gross.

Aber beachte, dass die Gleichheit der Verh¨altnisse entsprechender Seitenl¨angen nicht hinreichend f¨ur die ¨Ahnlichkeit der Figuren ist:

Jedoch gilt, dass wenn die Gleichheit der entsprechenden Winkel und die Gleichheit der entsprechenden Seitenverh¨altnisse erf¨ullt sind, die Figuren zuein- ander ¨ahnlich sind.

Wir fassen zusammen:

4

1.4 Ahnlichkeit im Dreieck ¨

F¨ur Dreiecke gelten die folgenden Ahnlichkeitss¨¨ atze, die wir hier ohne Beweis zusammenstellen:

1. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in zwei Winkel ¨ubereinstim- men.

2. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in einem Winkel und dem Verh¨altnis der anliegenden Seiten ¨ubereinstimmen.

5

3. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in zwei entsprechenden Sei- tenverh¨altnissen ¨ubereinstimmen.

4. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie im Verh¨altnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨osseren Seite ¨ubereinstimmen.

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Aufgaben : • Repetiere die Kongruenzs¨atze und vergleiche mit den ¨Ahnlichkeitss¨atzen f¨ur Dreiecke:

• Zeige an Beispielen, dass die ¨Ahnlichkeitss¨atze der Dreiecke nicht f¨ur beliebige Vielecke gelten.

7

Beispiel 1.2 Strecke das Dreieck ∆ABC mit den Streckungsfaktoren k1= 0.5 undk2=−1 bez¨uglich demZentrum D.

und diskutiere die folgende Frage:

Wie verhalten sich die Fl¨acheninhalte zweier zueinander ¨ahnlichen Dreiecke?

Uberlege Dir die F¨¨ allek= 3,2,0.5,−1,undk∈Rbeliebig.

8

1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras

Die Satzgruppe besteht aus folgenden S¨atzen:

•

•

•

Voraussetzung f¨ur alle S¨atze ist

9

1.5.1 Ein Beweis f¨ur den Satz des Pythagoras

10

Aufgaben : In allen Aufgaben soll es sich um ein rechtwinkli- ges Dreieck ∆ABC mit den ¨ublichen Bezeichnungen handeln.

Berechne jeweils die fehlende Seite:

Seitea Seiteb Seitec

1 3 5

2 12 13

3 7 24

4 15 17

5 21 20

6 40 41

7 45 53

11

Ein ¨Uberblick ¨uber die Anwendungen:

12

1.5.2 Die Verallgemeinerungen f¨ur¨ahnliche Figuren:

13

1.5.3 Die Verallgemeinerungen auf nicht-rechtwinklige Dreiecke:

im Fallγ= spitz

14

Beweis:

15

1.6 Ahnlichkeit im und am Kreis ¨

Bevor wir uns mit der Ahnlichkeit im und am Kreis¨ besch¨aftigen noch einige Begriffe und Eigenschaften:

• Zentriwinkel, PeripheriewinkelundSehnen-Tangentenwinkel:

Es gilt folgender Satz:

Alle Peripheriewinkel ¨uber er gleichen Sehne sind gleich gross, halb so gross wie der zugeh¨orige Zentriwinkel und gleich gross wie die zugeh¨origen Sehnen-Tangentenwinkel.

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Im folgenden werden f¨unf S¨atze/ Behauptungen aufgestellt und mehr oder weniger ausf¨uhrlich bewiesen.

Die Beweisidee ist jeweils immer dieselbe:

Wir versuchen mit Hilfe der ¨Ahnlichkeitss¨atze zueinander ¨ahnliche Hilfsdreiecke zu bestimmen und nutzen dann die Eigenschaften ¨ahn- licher Figuren ( ”gleiche Winkel” , ”Seitenverh¨altnisse” )aus, um die Aussagen zubeweisen.

Aufgaben : Deine Aufgabe besteht nun darin,

• alle Aussagen zu verstehen und

• die Beweise so aufzuarbeiten, dass Du deine Unklarheiten formulieren kannst.

• In Gruppen sollt ihr anschliessend einen Beweis so aufarbeiten, dass ihr ihn nachvollziehen und euren SchulkollegInnen erkl¨aren kannst.

Abschliessend ist die Aussage geometrisch zu interpretieren und in einer Fl¨achenumwand- lungumzusetzen, welche damit unter Verwen- dung vonGeoGebrakonstruiert werden soll.

Gruppeneinteilung:

• Sehnensatz: . . .

• H¨ohenabschnittsatz: . . .

• Sekantensatz: . . .

• Sekanten-Tangentensatz: . . .

• Satz des Ptolemaios: . . .

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1.6.1 Der Sehnensatz

Werden durch einen beliebigen PunktS in einem Kreis verschiedene Sehnen ge- zogen, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte konstant.

uu⁰ =vv⁰=ww⁰ =const

Beweis: Im Sehnenviereck ABCD sind die Winkel ∠ABD und∠ACDals Peripheriewinkel ¨uber derselben Seh- neADgleich gross.

Als Scheitelwinkel sind auch die Winkel∠ASB und

∠DSC gleich gross.

Wir haben somit die zwei zueinander ¨ahnlichen Drei- ecke ∆BAS und ∆DCS.

Aus den Eigenschaften von ¨ahnlichen Figuren folgt:

u:v=v⁰:u⁰

und daraus die Behauptung: uu⁰ =vv⁰.

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Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle mit Hilfe des Sehnensatzes ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a= 7cm undb = 5cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Seitenl¨ange von x= 4cm.

L¨osungsskizze:

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1.6.2 Der H¨ohenabschnittsatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC zerlegt der H¨ohnenschnittpunkt H die H¨ohen so, dass das Produkt der H¨ohen- abschnitte bei allen drei H¨ohen konstant ist.

uu⁰=vv⁰

Beweis: Der Kreis ¨uber derACist ein Thaleskreis und erkl¨art die rechten Winkel.

Mit Hilfe des Sehnensatzes folgt die Behauptung.

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Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle ein Rechteck mit einem Umfang vonu= 24cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Sei- tenl¨ange vonx= 4cm.

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1.6.3 Der Sekantensatz

Werden durch einen Punkt S ausser- halb des Kreises verschiedene Sekanten gezeichnet, so ist das Produkt der jewei- ligen Sekantenabschnitte konstant.

uu⁰=vv⁰ , mitu=SC, u⁰=SD, . . .

Beweis: Die Dreiecke ∆SAC und ∆SBD sind zueinander

¨ahnlich

⇒ u:v=v⁰:u⁰

⇒ uu⁰=vv⁰

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Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a = 7cm und b = 5cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Seitenl¨ange vonx= 4cm.

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1.6.4 Der Sekanten-Tangentensatz

Werden durch einen Punkt S ausser- halb des Kreises eine Tangente und ei- ne Sekante gezeichnet, so ist das Pro- dukt der Sekantenabschnitte gleich dem Quadrat des Tangentenabschnitts.

t²=vv⁰

Beweis: ∆SAT ∼∆SBT

⇒ v:t=t:v⁰

⇒ Beh.

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Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a = 7cmundb= 5cmin ein fl¨achengleiches Quadrat.

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1.6.5 Der Satz des Ptolemaios

In jedem beliebigen Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Gegenseiten:

ef =ac+bd

Beweis: W¨ahleE aufAC so, dass gilt:∠CBD=∠ABE

⇒∆DAB∼∆CEB

⇒d:f = (e−x) :b

⇒bd=^∗ ef −f x

Weiter gilt: ∆DBC∼∆ABE

⇒c:f =x:a

⇒ac^∗∗=f x

∗∗in ∗einsetzen

⇒bd=ef −ac

⇔ Beh.

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1.6.6 Die Sehweite

Mit Hilfe der ¨Ahnlichkeitsbeziehungen am Kreis l¨asst sich die Sehweitebestim- men.

Aufgaben : Eine Auge auf der H¨ohe h sieht den Horizont H in der Entfer- nungs.

1. Zeige, dass f¨ur die Sehweite folgendes gilt:

s=p

h²+ 2hr

2. Bestimme die Sehweite s auf der Erde f¨ur die folgenden H¨ohen:

(a) h= 2m (b) h= 100m

(c) h= 2km (d) h= 10km

3. In einer H¨ohe von h= 100m betr¨agt die Sehweite auf dem Mond 18.645km.

Bestimme den Durchmesser des Mondes.

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1.7 GeoGebra - in der Geometrie

Das folgende Skript soll uns einen Einblick in die M¨oglichkeiten vonGeoGebraim Bereich der Geometrie verschaffen und seine Anwendungen in der Fl¨achenum- formung aufzeigen.

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ICT an der KZN

Einf¨uhrung in GeoGebra Geometrie

Ahnlichkeit¨

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1.8 Die Strahlens¨ atze

Wir beginnen zur Einf¨uhrung der Strahlens¨atze mit einer einfachen praktischen Anwendung:

Wie hoch ist der Baum ?

D

lLll

~

Mit einem alten, einfachen Verfahren hat ein F¨orster die Frage schnell be- antwortet. Er braucht nur die Sonne, einen Stab und ein wenig Geometrie.

Ein Baum der L¨angeLwirft eine Schatten der L¨angeD. In den Schatten wird ein Stab der L¨angelso gestellt, dass beide Schattenspitzen zusammenfallen; der Schatten des Stabes hat die L¨anged.

Der F¨orster berechnet die Bauml¨ange nun nach der folgenden Formel:

L D = l

d Beweis: (¨uber die Fl¨acheninhalte)

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Auch im Fall von nicht-senkrecht ste- henden B¨aumen l¨asst sich die H¨ohe mit der gleichen Formel berechnen.

F¨ur den Beweis setzen wir voraus, dass der Stab parallel zum Baum steht.

D

Beweis: (mit Hilfe der ¨Ahnlichkeit)

Die Erhaltung der Seitenverh¨altnis durch die ¨Ahnlichkeit liefert noch viele weitere Verh¨altnisse:

31

Die so erhaltenen Proportionen werden in den sog. Strahlens¨atzen zusam- mengefasst:

1. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paral- lelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Ab- schnitte auf dem einen Schenkel wie die entsprechen- den Abschnitte auf dem andern Schenkel.

2. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paral- lelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Ab- schnitte auf den Parallelen wie die Abschnitte auf den Schenkeln bis zum Scheitel.

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Aufgaben : Die Strahlens¨atze lassen sich auch auf die folgenden Situationen anwenden:

Formuliere in allen Situationen einige weitere g¨ulti- gen Streckenverh¨altnisse.

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Aufgaben : Bestimme jeweils die gesuchten Streckenl¨angen:

1. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a= 3, c= 2, g= 5; f = ? (b) a= 3, b= 5, e= 4; d, g= ?

(c) a= 5, b= 4, c= 3, d= 10; f, h= ? (d) d= 5, e= 4, h= 6; a= ?

in der folgenden Situation:

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Aufgaben : 2. Mit folgenden Vorgaben:

(a) c= 4, d= 6, e= 4.5, f = 10; a, b= ? (b) b= 4, c= 2, d= 3, f = 3; g, h= ?

(c) a= 2, g= 6, h= 8; b= ? (d) a= 7, b= 2, g= 10; e= ? in der folgenden Situation:

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Aufgaben : 3. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a= 4.5, b= 7.5, e= 5, f= 4; c, d= ? (b) b= 3.5, c= 2, f= 4.8; e= ?

(c) a= 4.5, d= 3, b+e= 12.5; e= ?

(d) a= 4.5, d= 6, b+e= 10, c+f = 7; b, c, e, f = ? (e) a= 3, b= 4, c= 5, e+f+d= 18; d, e, f = ? in der folgenden Situation:

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1.8.1 Die Umkehrung der Strahlens¨atze

Bei beiden Strahlens¨atzen haben wir immer vorausgesetzt, dass die schneiden- den Geraden zueinander parallel sind und deshalb die Verh¨altnisse gelten.

g||h ⇒ a:b=c:d g||h ⇒ e:f =a: (a+b)

Bei der Umkehrung der Strahlens¨atze geht es um die Frage, ob die schnei- denden Geraden zueinander parallel sind, wenn die Verh¨altnisse gelten.

a:b=c:d ⇒^? g||h e:f =a: (a+b) ⇒^? g||h

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1.8.2 Die Linsengleichung

Wir schliessen mit einer Anwendung der Strahlens¨atze zur Herleitung der Lin- sengleichung

Wir haben die folgende Situation:

Die Linse L bildet einen Gegenstand der L¨ange G auf ein Bild der L¨ange B ab, wobei

• b der Abstand von B zur Linse,

• g der Abstand von G zur Linse und

• f die Brennweite der Linse ist.

L

Dann gilt die folgendeLinsengleichung: 1 f =1

g +1 b Herleitung:

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Vor einer Sammellinse mit f = 25cm steht ein 60cm hoher Gegenstand im Abstand von g = 150cm.

• Bestimme die H¨ohe des Bildes:

• Welche Brennweite m¨usste die Linse haben, damit ein gleich grosses Bild erzeugt wird?

• F¨uhrt die Verdoppelung der Brennweite zu einer Verdoppelung der Bild- gr¨osse? (bei gleichbleibendem Abstand zur Linse.)

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