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Ahnlichkeit ¨

GEOMETRIE Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch

Name:

Vorname:

27. Februar 2017

(2)

Inhaltsverzeichnis

1 Aehnlichkeit 1

1.1 Definition & Eigenschaften . . . 1

1.2 Die Kongruenzabbildungen . . . 2

1.2.1 Achsenspiegelungen . . . 3

1.2.2 Translationen . . . 4

1.2.3 Drehungen . . . 5

1.2.4 Schubspiegelungen . . . 6

1.2.5 Punktspiegelungen . . . 7

1.3 GeoGebra- in der Geometrie . . . 8

1.3.1 Die zehn Apollonischen Probleme (N. Hungerb¨uhler) . . 9

1.4 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften . . . 11

1.5 Ahnlichkeit im Dreieck¨ . . . 13

1.6 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras . . . 16

1.6.1 EinBeweis f¨ur den Satz des Pythagoras . . . 17

1.6.2 Die Verallgemeinerungen aufnicht-rechtwinklige Dreiecke: 22 1.7 Ahnlichkeit im und am Kreis¨ . . . 25

1.7.1 Der Sehnensatz . . . 28

1.7.2 Der H¨ohenabschnittsatz . . . 30

1.7.3 Der Sekantensatz . . . 32

1.7.4 Der Sekanten-Tangentensatz. . . 34

1.7.5 Der Satz des Ptolemaios . . . 36

1.7.6 Die Sehweite . . . 37

1.8 Die Strahlens¨atze . . . 38

1.8.1 Die Umkehrung der Strahlens¨atze . . . 46

1.8.2 Die Linsengleichung . . . 47

(3)

1 Aehnlichkeit

Beginnen werden wir mit der Einf¨uhrung des Begriffs derAhnlichkeit. Wir wer-¨ den definieren, waszueinander ¨ahnliche Figuren sind und deren Eigenschaften kennenlernen. Eigenschaften, auf die wir u.a. bei der Einf¨uhrung der Trigono- metrie angewiesen sein werden. In diesem Zusammenhang werden wir auch die Kongruenzabbildungenund insbesondere auch deren Verkn¨upfungen besprechen.

Mit Hilfe derAhnlichkeit im Dreieck¨ werden wir die Satzgruppe des Pythagoras beweisen und auch verallgemeinern. Intensiv werden wir uns auch mit derAhn-¨ lichkeit im und am Kreis besch¨aftigen, bevor wir uns mit den Strahlens¨atzen und deren Anwendungen auseinandersetzen.

Weiter werden auch wiederGeoGebrazur Anwendung bringen.

1.1 Definition & Eigenschaften

Aus dem Alltag wissen wir, was zueinander ¨ahnliche Figuren auszeichnen: . . .

Mathematisch wird der Begriff wie folgt definiert:

Def.: Zwei geometrische FigurenAundB heissen¨ahnlich :⇔

es existiert eineAhnlichkeitsabbildung, welche¨ AaufB abbildet.

Bem. : • Schreibweise: A∼B

• Eine Ahnlichkeitsabbildung¨ ist eine Ver- kn¨upfung von zentrischen Streckungen mit Kongruenzabbildungen.

Kongruenzabbildungen kennen wir schon, es sind dies

– – – –

und diese zeichnen sich durch die Eigenschaften aus, dass . . . w¨ahrend bei einer zentrischen Streckung . . .

(4)

1.2 Die Kongruenzabbildungen

Def.: Eine Abbildungf ist eine Vorschrift, die jedem Urbildpunkt P einer geometrischen Figur genau einen BildpunktP0 einer geome- trischen Figur zuordnet.

Def.: Zwei geometrische Figuren heissen kongruentgenau dann wenn sie deckungsgleich sind.

Def.: Eine Abbildung heisst eine Kongruenzabbildung genau dann wenn sie jedes Urbild auf ein dazu kongruentes Bild abbildet.

(5)

In den folgenden Abschnitten wollen wir uns mit den Kongruenzabbildungen im Einzelnen auseinandersetzen:

die notwendigen Angaben, die zugeh¨origen Schreibweisen, die Konstruktionen.

1.2.1 Achsenspiegelungen

(6)

1.2.2 Translationen

(7)

1.2.3 Drehungen

(8)

1.2.4 Schubspiegelungen

(9)

1.2.5 Punktspiegelungen

Aufgaben : F¨uhre die Abbildungen 1.2.1 - 1.2.5 aus.

(10)

1.3 GeoGebra - in der Geometrie

Das folgende Skript soll uns einen Einblick in die M¨oglichkeiten vonGeoGebraim Bereich der Geometrie verschaffen und seine Anwendungen in der Fl¨achenum- formung aufzeigen.

ICT an der KZN

Einf¨uhrung in GeoGebra Geometrie

Ahnlichkeit¨

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch

Name:

Vorname:

8. April 2015

(11)

1.3.1 Die zehn Apollonischen Probleme (N. Hungerb¨uhler)

Als weitere selbst¨andige Arbeit unter Verwendung vonGeoGebrawollen wir uns noch mit den zehn Apollonischen Problemen besch¨aftigen.

Wir verwenden als Grundlage das folgende Skript:

Norbert Hungerb¨uhler, Zrich Die zehn Apollonischen Probleme oder zu finden unter

http://www.math.ch/norbert.hungerbuehler/publications/Apollonius/Apollonius.pdf

Eine ausf¨uhrlichere Version zum Thema gibt es von Johannes R¨ottgen-Burdtscheidt Das Apollonische Ber¨uhrungsproblem

(12)

Aufgaben : Konstruiere D(z,−1000)◦T~v◦Sg(ABC)

(13)

1.4 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften

Beispiel 1.1 Strecke das Dreieck∆ABC mit demStreckungsfaktork= 2 bez¨uglich demZentrumZ.

Wir k¨onnen feststellen, dass durch die zentrische Streckung Geraden in par- allele Geraden ¨uberf¨uhrt werden und dadurch die Winkel erhalten bleiben.

Somit folgt:

In zueinander ¨ahnlichen Figuren sind die entsprechenden Winkel gleich gross.

Aber beachte, dass die Gleichheit entsprechender Winkel f¨ur die ¨Ahnlichkit zweier Figuren nicht hinreichend ist!

(14)

Wir k¨onnen weiter feststellen, dass durch die zentrische Streckung die Verh¨alt- nisse der entsprechenden Seitenl¨angen erhalten bleiben:

Somit folgt:

In zueinander ¨ahnlichen Figuren sind die entsprechenden Seiten- verh¨altnisse gleich gross.

Aber beachte, dass die Gleichheit der Verh¨altnisse entsprechender Seitenl¨angen nicht hinreichend f¨ur die ¨Ahnlichkeit der Figuren ist:

Jedoch gilt, dass wenn die Gleichheit der entsprechenden Winkel und die Gleichheit der entsprechenden Seitenverh¨altnisse erf¨ullt sind, die Figuren zuein- ander ¨ahnlich sind.

Wir fassen zusammen:

(15)

1.5 Ahnlichkeit im Dreieck ¨

F¨ur Dreiecke gelten die folgenden Ahnlichkeitss¨¨ atze, die wir hier ohne Beweis zusammenstellen:

1. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in zwei Winkel ¨ubereinstim- men.

2. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in einem Winkel und dem Verh¨altnis der anliegenden Seiten ¨ubereinstimmen.

3. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie in zwei entsprechenden Sei- tenverh¨altnissen ¨ubereinstimmen.

4. ¨Ahnlichkeitssatz:

Dreiecke sind zueinander ¨ahnlich, wenn sie im Verh¨altnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨osseren Seite ¨ubereinstimmen.

(16)

Aufgaben : • Repetiere die Kongruenzs¨atze und vergleiche mit den ¨Ahnlichkeitss¨atzen f¨ur Dreiecke:

• Zeige mit einem Beispiel zu jedem der ¨Ahnlich- keitss¨atze, dass diese nicht f¨ur beliebige Viel- ecke gelten.

(17)

Beispiel 1.2 Strecke das Dreieck ∆ABC mit den Streckungsfaktoren k1= 0.5 undk2=−1 bez¨uglich demZentrum D.

und diskutiere die folgende Frage:

Wie verhalten sich die Fl¨acheninhalte zweier zueinander ¨ahnlichen Dreiecke?

Uberlege Dir die F¨¨ allek= 3,2,0.5,−1,undk∈Rbeliebig.

Geometrie-Aufgaben:Ahnlichkeit & Strahlens¨¨ atze 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

(18)

1.6 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras

Die Satzgruppe besteht aus folgenden S¨atzen:

Voraussetzung f¨ur alle S¨atze ist

(19)

1.6.1 Ein Beweis f¨ur den Satz des Pythagoras

(20)

Aufgaben : Pr¨asentiere eine alternative Beweisf¨uhrung.

(21)

Aufgaben : In allen Aufgaben soll es sich um ein rechtwinkli- ges Dreieck ∆ABCmit den ¨ublichen Bezeichnungen handeln.

Berechne jeweils die fehlende Seite:

Seitea Seiteb Seitec

1 3 5

2 12 13

3 7 24

4 15 17

5 21 20

6 40 41

7 45 53

Geometrie-Aufgaben:Ahnlichkeit & Strahlens¨¨ atze 2 (Zugeh¨orige L¨osungen)

(22)

Ein ¨Uberblick ¨uber die Anwendungen:

(23)

Zur Verallgemeinerung auf zueinander ¨ahnliche Figuren:

(24)

1.6.2 Die Verallgemeinerungen auf nicht-rechtwinklige Dreiecke:

im Fallγ= spitz

(25)

Beweis:

(26)

Aufgaben : Arbeite den Fallγ = stumpf selbst¨andig durch und beweise

c2=a2+b2+aab+bba

(27)

1.7 Ahnlichkeit im und am Kreis ¨

Bevor wir uns mit der Ahnlichkeit im und am Kreis¨ besch¨aftigen noch einige Begriffe und Eigenschaften:

• Zentriwinkel, PeripheriewinkelundSehnen-Tangentenwinkel:

Es gilt folgender Satz:

Alle Peripheriewinkel ¨uber er gleichen Sehne sind gleich gross, halb so gross wie der zugeh¨orige Zentriwinkel und gleich gross wie die zugeh¨origen Sehnen-Tangentenwinkel.

Aufgaben : Arbeite den Beweise zum Peripheriewinkelsatz durch:

Link zum Beweis

und zum selber beweisen noch die folgende Aussage:

Alle Kreise sind zueinander ¨ahnlich

(28)

Formuliere & Beweise:

• denPeripherie-Zentriwinkelsatz:

• denSehnen-Tangentenwinkesatz:

(29)

Im folgenden werden f¨unf S¨atze/ Behauptungen aufgestellt und mehr oder weniger ausf¨uhrlich bewiesen.

Die Beweisidee ist jeweils immer dieselbe:

Wir versuchen mit Hilfe der ¨Ahnlichkeitss¨atze zueinander ¨ahnliche Hilfsdreiecke zu bestimmen und nutzen dann die Eigenschaften ¨ahn- licher Figuren ( ”gleiche Winkel” , ”Seitenverh¨altnisse” )aus, um die Aussagen zubeweisen.

Aufgaben : Deine Aufgabe besteht nun darin,

• alle Aussagen zu verstehen und

• die Beweise so aufzuarbeiten, dass Du deine Unklarheiten formulieren kannst.

• In Gruppen sollt ihr anschliessend einen Beweis so aufarbeiten, dass ihr ihn nachvollziehen und euren SchulkollegInnen erkl¨aren kannst.

Abschliessend ist die Aussage geometrisch zu interpretieren und in einer Fl¨achenumwand- lung umzusetzen, welche dann unter Verwen- dung vonGeoGebragemacht werden soll.

Gruppeneinteilung:

• Sehnensatz: . . .

• H¨ohenabschnittsatz: . . .

• Sekantensatz: . . .

• Sekanten-Tangentensatz: . . .

• Satz des Ptolemaios: . . .

(30)

1.7.1 Der Sehnensatz

Werden durch einen beliebigen PunktS in einem Kreis verschiedene Sehnen ge- zogen, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte konstant.

uu0 =vv0=ww0 =const

Beweis: Im Sehnenviereck ABCD sind die Winkel ∠ABD und∠ACDals Peripheriewinkel ¨uber derselben Seh- neADgleich gross.

Als Scheitelwinkel sind auch die Winkel∠ASB und

∠DSC gleich gross.

Wir haben somit die zwei zueinander ¨ahnlichen Drei- ecke ∆BAS und ∆DCS.

Aus den Eigenschaften von ¨ahnlichen Figuren folgt:

u:v=v0:u0

und daraus die Behauptung: uu0 =vv0.

(31)

Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle mit Hilfe des Sehnensatzes ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a= 7cm undb = 5cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Seitenl¨ange von x= 4cm.

(32)

1.7.2 Der H¨ohenabschnittsatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC zerlegt der H¨ohnenschnittpunkt H die H¨ohen so, dass das Produkt der H¨ohen- abschnitte bei allen drei H¨ohen konstant ist.

uu0=vv0

Beweis: Der Kreis ¨uber derACist ein Thaleskreis und erkl¨art die rechten Winkel.

Mit Hilfe des Sehnensatzes folgt die Behauptung.

(33)

Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle mit Hilfe des H¨ohenabschnittsatzes ein Rechteck mit einem Umfang von u = 24cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Seitenl¨ange von x= 4cm.

(34)

1.7.3 Der Sekantensatz

Werden durch einen Punkt S ausser- halb des Kreises verschiedene Sekanten gezeichnet, so ist das Produkt der jewei- ligen Sekantenabschnitte konstant.

uu0=vv0 , mitu=SC, u0=SD, . . .

Beweis: Die Dreiecke ∆SAC und ∆SBD sind zueinander

¨ahnlich

⇒ u:v=v0:u0

⇒ uu0=vv0

(35)

Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle mit Hilfe des Sekantensatzes ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a= 7cm undb = 5cm in ein fl¨achengleiches Rechteck mit einer Seitenl¨ange von x= 4cm.

(36)

1.7.4 Der Sekanten-Tangentensatz

Werden durch einen Punkt S ausser- halb des Kreises eine Tangente und ei- ne Sekante gezeichnet, so ist das Pro- dukt der Sekantenabschnitte gleich dem Quadrat des Tangentenabschnitts.

t2=vv0

Beweis: ∆SAT ∼∆SBT

⇒ v:t=t:v0

⇒ Beh.

(37)

Geometrische Interpretation:

Aufgaben : Verwandle mit Hilfe des Sekanten-Tangentensatzes ein Rechteck mit den Seitenl¨angena= 7cmundb= 5cmin ein fl¨achengleiches Quadrat.

(38)

1.7.5 Der Satz des Ptolemaios

In jedem beliebigen Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Gegenseiten:

ef =ac+bd

Beweis: W¨ahleE aufAC so, dass gilt:∠CBD=∠ABE

⇒∆DAB∼∆CEB

⇒d:f = (e−x) :b

⇒bd= ef −f x

Weiter gilt: ∆DBC∼∆ABE

⇒c:f =x:a

⇒ac∗∗=f x

∗∗in ∗einsetzen

(39)

1.7.6 Die Sehweite

Mit Hilfe der ¨Ahnlichkeitsbeziehungen am Kreis l¨asst sich die Sehweitebestim- men.

Aufgaben : Eine Auge auf der H¨ohe h sieht den Horizont H in der Entfer- nungs.

1. Zeige, dass f¨ur die Sehweite folgendes gilt:

s=p

h2+ 2hr

2. Bestimme die Sehweite s auf der Erde f¨ur die folgenden H¨ohen:

(a) h= 2m (b) h= 100m

(c) h= 2km (d) h= 10km

3. In einer H¨ohe von h= 100m betr¨agt die Sehweite auf dem Mond 18.645km.

Bestimme den Durchmesser des Mondes.

(40)

1.8 Die Strahlens¨ atze

Wir beginnen zur Einf¨uhrung der Strahlens¨atze mit einer einfachen praktischen Anwendung:

Wie hoch ist der Baum ?

D

lLll

~

Mit einem alten, einfachen Verfahren hat ein F¨orster die Frage schnell be- antwortet. Er braucht nur die Sonne, einen Stab und ein wenig Geometrie.

Ein Baum der L¨angeLwirft eine Schatten der L¨angeD. In den Schatten wird ein Stab der L¨angelso gestellt, dass beide Schattenspitzen zusammenfallen; der Schatten des Stabes hat die L¨anged.

Der F¨orster berechnet die Bauml¨ange nun nach der folgenden Formel:

L D = l

d Beweis: (¨uber die Fl¨acheninhalte)

(41)

Auch im Fall von nicht-senkrecht ste- henden B¨aumen l¨asst sich die H¨ohe mit der gleichen Formel berechnen.

F¨ur den Beweis setzen wir voraus, dass der Stab parallel zum Baum steht.

D

Beweis: (mit Hilfe der ¨Ahnlichkeit)

Die Erhaltung der Seitenverh¨altnis durch die ¨Ahnlichkeit liefert noch viele weitere Verh¨altnisse:

(42)

Die so erhaltenen Proportionen werden in den sog. Strahlens¨atzen zusam- mengefasst:

1. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paral- lelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Ab- schnitte auf dem einen Schenkel wie die entsprechen- den Abschnitte auf dem andern Schenkel.

2. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paral- lelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Ab- schnitte auf den Parallelen wie die Abschnitte auf den Schenkeln bis zum Scheitel.

(43)

Aufgaben : Die Strahlens¨atze lassen sich auch auf die folgenden Situationen anwenden:

Formuliere in allen Situationen einige weitere g¨ultige Streckenverh¨altnisse.

(44)

Aufgaben : Bestimme jeweils die gesuchten Streckenl¨angen:

1. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a= 3, c= 2, g= 5; f = ? (b) a= 3, b= 5, e= 4; d, g= ?

(c) a= 5, b= 4, c= 3, d= 10; f, h= ? (d) d= 5, e= 4, h= 6; a= ?

in der folgenden Situation:

(45)

Aufgaben : 2. Mit folgenden Vorgaben:

(a) c= 4, d= 6, e= 4.5, f = 10; a, b= ? (b) b= 4, c= 2, d= 3, f = 3; g, h= ?

(c) a= 2, g= 6, h= 8; b= ? (d) a= 7, b= 2, g= 10; e= ? in der folgenden Situation:

(46)

Aufgaben : 3. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a= 4.5, b= 7.5, e= 5, f= 4; c, d= ? (b) b= 3.5, c= 2, f= 4.8; e= ?

(c) a= 4.5, d= 3, b+e= 12.5; e= ?

(d) a= 4.5, d= 6, b+e= 10, c+f = 7; b, c, e, f = ? (e) a= 3, b= 4, c= 5, e+f+d= 18; d, e, f = ? in der folgenden Situation:

(47)

Aufgaben : 4. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a= 4.5, d= 6, b+e= 10, c+f = 7; b, c, e, f = ? (b) a= 3, b= 4, c= 5, e+f+d= 18; d, e, f = ? in der folgenden Situation:

(48)

1.8.1 Die Umkehrung der Strahlens¨atze

Bei beiden Strahlens¨atzen haben wir immer vorausgesetzt, dass die schneiden- den Geraden zueinander parallel sind und deshalb die Verh¨altnisse gelten.

g||h ⇒ a:b=c:d g||h ⇒ e:f =a: (a+b)

Bei der Umkehrung der Strahlens¨atze geht es um die Frage, ob die schnei- denden Geraden zueinander parallel sind, wenn die Verh¨altnisse gelten.

a:b=c:d ⇒? g||h e:f =a: (a+b) ⇒? g||h

(49)

1.8.2 Die Linsengleichung

Wir schliessen mit einer Anwendung der Strahlens¨atze zur Herleitung der Lin- sengleichung

Wir haben die folgende Situation:

Die Linse L bildet einen Gegenstand der L¨ange G auf ein Bild der L¨ange B ab, wobei

• b der Abstand von B zur Linse,

• g der Abstand von G zur Linse und

• f die Brennweite der Linse ist.

L

Dann gilt die folgendeLinsengleichung: 1 f =1

g +1 b Herleitung:

(50)

Vor einer Sammellinse mit f = 25cm steht ein 60cm hoher Gegenstand im Abstand von g = 150cm.

• Bestimme die H¨ohe des Bildes:

• Welche Brennweite m¨usste die Linse haben, damit ein gleich grosses Bild erzeugt wird?

• F¨uhrt die Verdoppelung der Brennweite zu einer Verdoppelung der Bild- gr¨osse? (bei gleichbleibendem Abstand zur Linse.)

Referenzen

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