So k•nnen Fl‚chen, Winkel, Seitenl‚ngen im F€nfeck aus den Dreiecken bestimmt werden.

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Dreiecke (in der Ebene) 1) EinfÄhrung

Trigonometrie bedeutet: die Lehre von den Dreiecken.

Ein Dreieck entsteht aus drei geraden, nicht parallelen Seiten, die sich jeweils unter einem Winkel treffen. Dies gilt in der Ebene, nicht auf einer Kugel z.B.

Jedes Vieleck kann aus Dreiecken zusammengesetzt werden, z.B. ein F€nfeck nach Bild 1-1:

So k•nnen Fl‚chen, Winkel, Seitenl‚ngen im F€nfeck aus den Dreiecken bestimmt werden.

Bild 1-1: F€nfeck, in Dreiecke aufgeteilt.

Eine besondere Rolle spielt das rechtwinklige Dreieck bei der Angabe von Punkten in der Ebene mit Koordinaten, siehe Bild 1-2:

Bild 1-2: Koordinaten-Dreieck

Aus dem rechtwinkligen Dreieck werden die Winkelfunktionen sin(), cos(), tan() usw.

abgeleitet.

Landvermessung, Ortung

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Seiten- und Winkelangaben

Die Seiten und Winkel eines Dreiecks werden allgemein folgendermaƒen bezeichnet:

Bild 2-1: Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck

Einteilung der Winkel:

Winkel im Gradmaƒ und im Bogenmaƒ:

Das in der Geometrie verwendete Gradmaƒ (Alt-Grad) zur Messung von Winkeln beruht auf der Einteilung des ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder 360„ (gespr. „Grad“). Die feinere Unterteilung der Einheit 1„ erfolgt entweder dezimal (Dezimalbruchangabe in Grad) oder sexagesimal: 1„ = 60‘ (Minuten), 1‘ = 60‘‘ (Sekunden).

Beispiel: 1,125„ = 1„ 7‘ 30‘‘

Neben dem Gradmaƒ wird auch das Bogenmaƒ zur Angabe von Winkeln

verwendet. Die Angabe im Bogenmaƒ erh‚lt man aus folgender Darstellung:

Der Winkel  im Bogenmaƒ ist die L‚nge b des Bogenst€cks, das von dem Winkel auf einem Kreis abgeteilt wird, bezogen auf den Kreisradius r:  = b/r. Die Einheit f€r das Bogenmaƒ ist damit eine Pseudoeinheit, der Radiant (Abk€rzung: rad). W‚hlt man f€r den Radius r =1Einheit, so ist die Bogenl‚nge b

(in Einheiten gemessen) direkt gleich dem Winkel .

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Beispiele f€r spezielle Winkel:

Vollwinkel Rechter Winkel

Gradmaƒ 360„ 90„ 45„

Bogenmaƒ 2rad = 6,283rad /2rad = 1,571rad /4rad = 0,785rad

1 rad 1„ 1‘ 1‘‘

57„ 17‘ 44,8‘‘ 0,017453rad 0,000291rad 0,000 005rad

Ist  der Winkel im Gradmaƒ und  der Winkel im Bogenmaƒ, dann gilt die Beziehung:



Man erh‚lt damit den Umrechnungsfaktor C=180„/. Somit gilt:

=ˆC oder =C

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2) Aussagen zu ebenen Dreiecken

Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Bild 2-1.

1. Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets gr•ƒer als die dritte Seite, z.B.

b+c>a.

2. Die Summe der Winkel betr‚gt im ebenen Dreieck =180„ oder .

3. VollstÅndige Bestimmung des Dreiecks, d.h.

ein Dreieck ist vollst‚ndig bestimmt, wenn folgende Bestimmungsst€cke bekannt sind:

■ drei Seiten

■ zwei Seiten und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel

■ eine Seite und die beiden anliegenden Winkel

♦ Wenn zwei Seiten gegeben sind und ein Winkel, der einer der Seiten gegen€ber liegt, dann k•nnen entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden.

4. Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegen€berliegenden Seite verbindet, siehe Bild 3-1. Die drei Seitenhalbierenden schneiden

sich in dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden, vom Scheitel des Winkels aus gerechnet, im Verh‚ltnis 2:1.

Bild 3-1: Seitenhalbierende, Schwerpunkt 5. Winkelhalbierende wird die Gerade genannt, die

einen der drei Winkel in zwei gleiche Teile teilt.

6. Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Bild 3-2: Inkreis und Winkelhalbierende 7. Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis

genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame

Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks.

Bild 3-3: Umkreis mit Radius R und Mittelsenkrechten

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8. HÇhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom Scheitelpunkt eines der drei Winkel auf die gegen€ber liegende Seite gef‚llt wird. Die drei H•hen des Dreiecks schneiden sich im sog. Orthozentrum. Die H•he bildet mit je zwei Seiten des Dreiecks zwei rechtwinklige Teildreiecke.

Bild 3-4: Die H•he h auf der Seite a 9. Gleichschenkliges Dreieck Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.

Welche der drei Seiten gleich lang sind, spielt keine Rolle. H•he, Seiten- und Winkelhalbierende der dritten Seite sind identisch.

10. Gleichseitiges Dreieck Im Sonderfall des gleichseitigen Dreiecks fallen die

Mittelpunkte des In- und Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum zusammen.

11. Mittellinie wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreieckseiten verbindet; sie liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese

(Strahlensatz).

12. Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, das sich durch einen Winkel von 90„ in einer der Dreiecksecken auszeichnet, siehe Bild 3-5:

Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck mit den zus‚tzlichen Kenngr•ƒen H•he h und Teilst€cke p und q der Grundseite c.

Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck 13. Kongruente Dreiecke sind durch Verschieben, Drehen, Spiegeln an einer Achse

ineinander zu €berf€hren. Kongruente Dreiecke stimmen in den drei Seiten und den drei Winkeln €berein. Dabei kann der Umlaufsinn entgegengesetzt sein.

14. Éhnliche Dreiecke stimmen in der Gestalt v•llig €berein, ohne dass die Gr•ƒe gleich ist. Die ‰hnlichkeit erkennt man an drei gleichen Winkeln oder am gleichen Verh‚ltnis entsprechender Seiten. Die ‰hnlichkeit ist eine wichtige Eigenschaft bei der

Berechnung von Dreiecken, z.B. f€r Fl‚chen oder Strecken oder Winkel.

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3) Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

Grundlage sind die Darstellung und die Bezeichnungen in Bild 3-5.

Zus‚tzlich werden die Begriffe

 Hypotenuse: Seite c

 Katheten: Seiten a und b

 Hypotenusenabschnitte p, q

 Fl‚cheninhalt des Dreiecks: S verwendet.

Winkelsumme: Da die Winkelsumme im Dreieck allgemein gleich 180„ ist, gilt =90„.

Halbkreis: Der Winkel auf dem Halbkreis €ber c ist immer ein rechter Winkel.

Éhnlichkeit: Das Grunddreieck a,b,c und die Teildreiecke a,p,h und b,h,q sind ‚hnlich.

Definitionen der trigonometrischen Funktionen:

sin()=a/c (Gegenkathete a/Hypotenuse); sin()=b/c (Gegenkathete b/Hypotenuse);

cos()=b/c (Ankathete b/Hypotenuse); cos()=a/c (Ankathete a/Hypotenuse);

tan()=a/b (Gegenkathete a/Ankathete b); tan()=b/a (Gegenkathete b/Ankathete a);

cot()=b/a (Ankathete b/Gegenkathete a); cot()=a/b (Ankathete a/Gegenkathete b);

Im allgemeinen Fall eines Winkels  mit 0„360„ werden die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis mit dem Radius 1 definiert, siehe Bild 4-1. Der Winkel  wird von einem festen Radius 0A der L‚nge 1 bis zu einem beweglichen Radius 0C im

entgegengesetzten Uhrzeigersinn

(mathematisch positiver Drehsinn) gemessen.

Bild 4-1: Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis sin()=BC; cos()=0B; tan()=AD; cot()=EF

Die Strecken sind immer vom ersten zum zweiten Punkt gerichtet. Je nachdem, in welchem

Quadranten des Einheitskreises der bewegliche Radius 0C liegt, haben die Funktionen ein

ganz bestimmtes Vorzeichen, siehe folgende Tabelle.

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1. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant

sin() + + - -

cos() + - - +

tan() + - + -

cot() + - + -

Bild 4-2: Graphen der Winkelfunktionen

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Seitenberechnung: a = cˆsin() = cˆcos() = bˆtan() = bˆcot() Satz des PYTHAGORAS: a

²

+ b

²

= c

²

Verallgemeinert: Legt man an die Seiten a, b, c jeweils Fl‚chen, die eine ‚hnliche Gestalt haben, dann ist die Summe der Fl‚chen €ber den Seiten a und b gleich der Fl‚che €ber der Seite c.

SÅtze des EUKLID: h

²

= p q, a

²

= p c, b

²

= q c FlÅcheninhalt: S = aˆb/2 = Š a

²

tan() = ‹ c

²

sin()

4) Das allgemeine schiefwinklige Dreieck

Bild 5-1: Schiefwinkliges Dreieck

Sinussatz: = 2R; R: Radius des Umkreises

Projektionssatz: c = a cos() + b cos() (aus Bild 5-1 zu erkennen) Kosinussatz oder

Satz des Pythagoras f€r schiefwinklige Dreiecke: c

²

= a

²

+ b

²

– 2ab cos()

Tangensformeln: tan() = HÇhe der Seite a: h

a

= b sin() = c sin()

Seitenhalbierende der Seite a: m

a

= Š

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Aus jeder Formel f€r bestimmte Seiten oder Winkel k•nnen zwei weitere gewonnen werden, wenn man Seiten und Winkel gem‚ƒ Bild 5-2 zyklisch vertauscht:

Bild 5-2: Zum Vertauschen von Seiten und Winkeln

Grundaufgaben zur Berechnung von Seiten oder Winkeln aus gegebenen St€cken:

s = Š (a+b+c): halber Umfang; S: Fl‚che des Dreiecks; r: Radius des Inkreises