Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch, Jianjie Lu Wintersemester 2014/2015
Ausgabe: Donnerstag, 29.01.2015
Abgabe: Donnerstag, 05.02.2015, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis III 12. Übungsblatt
Aufgabe 45(Integration mittels Dichten) (5 Punkte)
Seien(X,A, µ)ein Maßraum,f, g:X→Rzwei Dichten, d.h. nichtnegative, messbare Abbildungen, undνf, νg
die zugehörigen induzierten Maße. Zeigen Sie, dass für alleA∈ Agilt Z
A
gdνf = Z
A
f gdµ= Z
A
fdνg.
Aufgabe 46(Satz von Fubini) (5 Punkte)
Seif :R2→Rgegeben durchf(x, y) =xy für|xy|<1und0 sonst. Berechnen Sie die beiden Integrale Z
R
Z
R
f(x, y) dλ(y) dλ(x) und Z
R
Z
R
f(x, y) dλ(x) dλ(y)
Überprüfen Sie, obf bzgl. des Produktmaßes λ⊗λauf der Produkt-σ-AlgebraB(R)⊗ B(R)integrierbar ist.
Aufgabe 47(Transformationssatz) (5 Punkte)
Wir betrachten den SchnittkörperV =K∩Z der KugelK mit dem ZylinderZ,
K={(x, y, z)∈R3 |x2+y2+z2≤1}, Z ={(x, y, z)∈R3 |(x−12)2+y2≤(12)2}.
1. Skizzieren Sie die GrundflächeGdes Zylinders imR2.
2. Zeigen Sie, dassGin Polarkoordinaten gegeben ist alsU ={(r, ϕ)| |ϕ| ≤ π2 & 0≤r≤cosϕ}, d.h. dass für die PolarkoordinatentransformationΦ(r, ϕ) = (rcosϕ, rsinϕ)giltΦ(U) =G.
Hinweis: Satz von Thales.
3. Berechnen Sie das Volumen vonV.
Aufgabe 48(Volumen und Trägheitsmoment eines Ellipsoids) (5 Punkte) Betrachten Sie das EllipsoidE={(x, y, z)∈R3 |(xa)2+ (xb)2+ (xc)2≤1}mit positiven Parameterna, b, c.
Berechnen Sie das VolumenV von E sowie das TrägheitsmomentJz, das bei Rotation vonE um diez-Achse entsteht:
V = Z
E
1 d(x, y, z), Jz= Z
E
x2+y2d(x, y, z).
Bemerkung: Dies ist das letzte Übungsblatt der Analysis III, das korrigiert und bewertet wird. Das freiwillige dreizehnte Übungsblatt dient der Wiederholung des Vorlesungsstoffes zur Klausurvorbereitung.
