Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch, Jianjie Lu Wintersemester 2014/2015
Ausgabe: Donnerstag, 18.12.2014
Abgabe: Donnerstag, 15.01.2015, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis III 9. Übungsblatt
Aufgabe 33(Urbild-σ-Algebra) (5 Punkte)
SeienX eine nichtleere Menge,(Y,Y)ein Messraum undf :X →Y. Zeigen Sie, dassX ={f−1(Y)|Y ∈ Y}
eineσ-Algebra aufX ist.
Aufgabe 34(Maße und Monotonie) (5 Punkte)
Seien(X,X)ein Messraum und µ:X →[0,∞]mit µ(∅) = 0undµ(A∪B) =µ(A) +µ(B)für alle disjunkten MengenA, B∈ X. Für jede monoton wachsende Folge(An)n∈N⊆ X sei zudemlimn→∞µ(An) =µ(S∞
n=1An).
Zeigen Sie, dassµein Maß aufX definiert.
Aufgabe 35(Dirac-Maß) (5 Punkte)
Es seienΩ =NundS={A⊆Ω| ∀a∈A:aist gerade}.
1. Charakterisieren Sie die Elemente vonΣ =σ(S).
2. Es sei N ∈Nungerade und µ=δN bezeichne das zugehörige Dirac-Maß, d.h. µ(N) = 1undµ(n) = 0für alle anderenn∈N. Zeigen oder widerlegen Sie: Der Maßraum(Ω,Σ, µ)enthält nichtmessbare Nullmengen.
Hinweis: A⊆Ωheißt eine Nullmenge, falls einB∈Σexistiert mitA⊆Bundµ(B) = 0.
3. Wiederholen Sie Aufgabenteil (2) für den Fall, dassN gerade ist.
Aufgabe 36(Eigenschaft äußerer Maße) (5 Punkte)
Seien X eine Menge und µ ein äußeres Maß auf X. Für eine Folge von Teilmengen (An)n∈N von X gelte P∞
n=1µ(An)<∞. Zeigen Sie, dass fürA={x∈X |x∈An für unendlich vielen∈N}giltµ(A) = 0.
