Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch, Jianjie Lu Wintersemester 2014/2015
Ausgabe: Donnerstag, 11.12.2014
Abgabe: Donnerstag, 18.12.2014, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis III 8. Übungsblatt
Aufgabe 29(σ-Algebren) (4 Punkte)
Bestimmen Sie alleσ-Algebren auf der GrundmengeΩ ={♣,♠,}.
Aufgabe 30(Eigenschaften vonσ-Algebren) (4 Punkte)
Es seienΣundΣ0 σ-Algebren auf einer GrundmengeΩsowieS,S0⊆ P(Ω), wobeiP(Ω) diePotenzmenge von Ωbezeichnet. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Σ∪Σ0 ist eineσ-Algebra aufΩ.
b) Σ∩Σ0 ist eineσ-Algebra aufΩ.
c) Es seienσ(S) = ΣundS ⊆Σ0. Dann istΣ⊆Σ0.
d) Es seienσ(S) = Σundσ(S0) = Σ0. Dann istσ(S ∩ S0) = Σ∩Σ0.
Aufgabe 31(Borelscheσ-Algebra) (6 Punkte)
Bezeichne B(R) die Borel-σ-Algebra, d.h. die vom System der offenen Teilmengen von R erzeugte σ-Algebra.
Zeigen Sie, dassB(R) =σ(S)für die folgenden TeilmengensystemeS ⊆ P(R)erfüllt ist:
a) S={(a, b) :−∞ ≤a < b≤ ∞}, b) S={[a, b) :−∞< a < b≤ ∞}, c) S={K⊆R:Kkompakt}.
Aufgabe 32(Grenzmenge) (6 Punkte)
Für eine Mengenfolge(An)n∈N⊆ P(Ω) auf einer GrundmengeΩdefinieren wir
lim sup(An) = \
n∈N
[
k≥n
Ak sowie lim inf(An) = [
n∈N
\
k≥n
Ak.
Wir sagen, dass eine Mengenfolge(An)n∈N⊆ P(Ω) gegen eineGrenzmenge A⊆Ωkonvergiert, falls
A= lim inf(An) = lim sup(An).
a) Zeigen Sie, dass für jede Folge(An)n∈N⊆ P(Ω) stets giltlim inf(An)⊆lim sup(An).
b) Es sei (An)n∈N ⊆ P(Ω), sodass (An)n∈N entweder monoton wächst, d.h. An ⊆ An+1 für alle n ∈N, oder monoton fällt, d.h. An⊇An+1 für allen∈N. Zeigen Sie, dass(An)n∈N konvergiert, und bestimmen Sie die Grenzmenge der Folge.
c) Es seiΩ =N. Entscheiden Sie, ob nachstehende Mengenfolgen konvergieren, und bestimmen Sie gegebenen- falls ihre Grenzmengen:
• An ={k∈N:nteiltk}.
• An ={k∈N:kist Primteiler vonn}.
