Dr. F. Mefo Kue, Dr. M. Ensenbach Siegen, den 13. Juni 2019 Department Mathematik
Universität Siegen
Übungsblatt 12 zur Analysis I
SS 2019
Aufgabe 1 (2+2+2+2+2+2+2+2 Punkte)
Man untersuche jeweils die Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz
(a)
∞
X
n=1
n4e−n2, (b)
∞
X
n=1
n2
(−2)n, (c)
∞
X
n=1
(−1)n
√3
n2 , (d)
∞
X
n=1
√n+1−√ n
n3/4 , (e)
∞
X
n=1
(−1)n2+ (−1)n
2n , (f)
∞
X
n=1
(n!)2 (2n)!
(g)
∞
X
n=1
(−1)n(1+n1)n
n , (h)
∞
X
n=1
(−1)n+1
√n
n n
Aufgabe 2 (2+2+2+2 Punkte)
Bestimmen Sie – gegebenenfalls in Abhängigkeit vona ∈ C\ {0} – die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen.
(a)
∞
X
k=0
2k k
zk, (b)
∞
X
k=0
ak2zk, (c)
∞
X
k=0
ik
32k−1zk, (d)
∞
X
k=0
5k 2k2+1zk
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Man gebe explizit eine Umordnung der ReiheP∞
n=1(−1)nn1 an, die bestimmt gegen∞divergiert.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Wann kann eine gegebene PotenzreiheP∞
n=1anzn invertiert werden? D.h. wann kann für die gege- bene Potenzreihe eine PotenzreiheP∞
n=1bnznkonstruiert werden, so dass die folgende Gleichung gilt:
∞
X
n=0
anzn
! ∞ X
n=0
bnzn
!
=1.
Wenn dies möglich ist, geben Sie eine Formel für diebnin Abhängigkeit von denanan. (Hinweis:
verwenden Sie das Cauchy-Produkt).
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