Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch, Oliver Lass, Roberta Mancini Wintersemester 2013/2014
Ausgabe: Freitag, 31.01.2014
Abgabe: Donnerstag, 06.02.2014, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis I 13. Übungsblatt
Aufgabe 49(Regeln zur partiellen Integration und Substitution) (0 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
1
Z
−1
√ 1
1−x2dx,
1
Z
0
x2
√1 +xdx,
e2
Z
e
(lnx)2dx. (???)
Aufgabe 50(Anwendungen zum Hauptsatz der Differenzial- & Integralrechnung) (6 Punkte) 1. Seif : [a, b]→Rstetig differenzierbar. Zeigen Sie:
n→±∞lim
b
Z
a
f(x) sin(nx)dx= 0.
2. Seienf : [a, b]→Rstetig undg, h: [α, β]→[a, b]differenzierbar. Zeigen Sie, dassF : [α, β]→Rmit
F(x) =
h(x)
Z
g(x)
f(t) dt
differenzierbar ist, und bestimmen Sie die Ableitung vonF.
Aufgabe 51(Uneigentliche Integrale) (6 Punkte)
Überprüfen Sie, für welches≥0die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:
∞
Z
1
1 xsdx,
1
Z
0
1 xsdx,
∞
Z
0
1 xsdx.
Aufgabe 52(Vertauschung von Limes und Integral) (8 Punkte) 1. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolgefn: [0,1]→Rmit fn(x) =nsin(nx)fürx∈[0,πn]undfn(x) = 0 sonst gegen eine Grenzfunktion konvergiert, dass Integration und Grenzwertbildung aber nicht vertauschen, d.h.
n→∞lim
1
Z
0
fn(x) dx6=
1
Z
0
n→∞lim fn(x) dx.
2. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolgefn:R→Rmitfn(x) = 1n fürx∈[0, n]undfn(x) = 0sonst gleichmäßig konvergent ist, dass aber dennoch gilt
n→∞lim
∞
Z
0
fn(x) dx6=
∞
Z
0
n→∞lim fn(x) dx.
