Differenzial- und Integralrechnung

Differenzial- und Integralrechnung

Ubungsblatt 6¨ WS 11/12

1. Punktweise- und Gleichm¨aßige Konvergenz: Sei fn= ^x_n Funktion mit Definitions- bereich D = [a, b] und a, b ∈ R. Zeigen Sie, dass die Folge (f_n(x)) gleichm¨aßig gegen 0 konvergiert. Was passiert wenn Sie den Definitionsbereich auf ganz Rerweitern?

2. Elementare Funktionen: Logarithmen: Vereinfachen Sie folgende Ausdr¨ucke:

(a) ln√⁸

x⁷+ ln ¹⁶√ x²

(b) ln(x²−y²) + ln_x−y¹ (c) log₂(8)−log₂(4)

3. Elementare Funktionen: Trigonometrie: Zeigen Sie die folgenden Relationen:

(a) sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β) (b) cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sin(α) sin(β)

(c) cos(x) = ^1−tan

2(^x₂) 1+tan²(^x₂)

(d) sin(x) = ^{2 tan(}

x 2) 1+tan²(^x₂)

4. Elementare Funktionen: Hyperbolische Funktionen: Zeigen Sie, dass areacoshy= ln(y+p

y²−1) gilt, wobeiy ≥1.

5. Potenzreihen: Konvergenz und Konvergenz am Rand: Untersuchen Sie die fol- genden Potenzreihen zun¨achst auf Konvergenz. F¨ur welchex∈Rkonvergieren sie? Wenn Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen bestimmt haben, untersuchen Sie das Konver- genzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzgebietes.

(a) P∞ n=1

(x−1)ⁿ n

(b) P∞ n=0 n

n+1(x−2)ⁿ (c) P∞

n=0 (x−3)ⁿ

n²+1